高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)實(shí)踐初探

周先華

(四川省成都市玉林中學(xué),四川 成都 610000)

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)實(shí)踐初探

周先華

(四川省成都市玉林中學(xué),四川 成都 610000)

數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6大組成部分之一.在課堂教學(xué)中，要讓學(xué)生實(shí)質(zhì)性地參與數(shù)學(xué)抽象的每一個(gè)過(guò)程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象這種創(chuàng)造性活動(dòng)的一般性原則與方法.在均值不等式教學(xué)中，通過(guò)對(duì)其幾何意義與證明、三個(gè)相鄰平均值之差的大小比較的探究，發(fā)現(xiàn)不等式與平面幾何、三角、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，進(jìn)行了一堂成功的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的嘗試，轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)觀，尊重學(xué)生的個(gè)體知識(shí)，嘗試進(jìn)行深度學(xué)習(xí)與協(xié)作學(xué)習(xí).

數(shù)學(xué)抽象；高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；均值不等式；深度學(xué)習(xí)

我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)已經(jīng)從20世紀(jì)50年代的“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)”發(fā)展到今天的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)”階段，即數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力，而且更要掌握核心素養(yǎng)，發(fā)展情感與態(tài)度，立德樹(shù)人.而普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(修訂稿)的一個(gè)重要特點(diǎn)就是“把學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培養(yǎng)和提高學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”作為高中數(shù)學(xué)課程的宗旨，并明確了高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6個(gè)方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.而數(shù)學(xué)抽象作為六大核心素養(yǎng)之首，它既是數(shù)學(xué)的基本思想，也是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征并貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展與應(yīng)用的整個(gè)過(guò)程中.因此，數(shù)學(xué)抽象能力在2016年全國(guó)高考考試大綱(數(shù)學(xué))中也被明確列為高考七大“能力要求”之一.

但是，怎樣在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)呢？

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)抽象能力

數(shù)學(xué)抽象是通過(guò)觀察、分析，撇開(kāi)數(shù)學(xué)對(duì)象的外部的、偶然的東西，抽象出其本質(zhì)、內(nèi)在、必然的東西，從空間形式和數(shù)量關(guān)系上揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種數(shù)學(xué)研究方法.它通過(guò)對(duì)具體而生動(dòng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析與提煉，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，進(jìn)而再概括出一些結(jié)論，并將其應(yīng)用于解決新的問(wèn)題之中，這就是數(shù)學(xué)抽象概括能力.

在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)抽象能力，主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：1.形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；2.形成數(shù)學(xué)命題與模型；3.形成數(shù)學(xué)方法與思想；4.形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

數(shù)學(xué)抽象是一種創(chuàng)造性的活動(dòng).這種創(chuàng)造性活動(dòng)有其常用的、一般性的原則與方法：概念意義上的一定層次上的普遍性和概括性、表達(dá)形式上無(wú)歧義的邏輯精確性和簡(jiǎn)潔性、弱抽象與強(qiáng)抽象方法、類比聯(lián)想、對(duì)偶化、悖向思維和美學(xué)方法等等.下面通過(guò)均值不等式的教學(xué)，對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)進(jìn)行實(shí)踐探究.

二、均值不等式≤≤≤(a>0,b>0)的探究

(一)問(wèn)題提出

結(jié)合歷年高考和全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，提出了下列探究問(wèn)題：

5.你還能提出相關(guān)的探究問(wèn)題嗎？請(qǐng)?zhí)岢鰡?wèn)題并嘗試解決.

(二)問(wèn)題探究

由上圖1可以得到a2+b2≥2ab.由此聯(lián)想到可以由完全平方公式證明此結(jié)論：

點(diǎn)評(píng) 這一步看似簡(jiǎn)單，但它是均值不等式證明的基石.它在教材給出的方法基礎(chǔ)上進(jìn)行類比聯(lián)想思維，是一種同向思維方法，同時(shí)也是數(shù)學(xué)抽象方法的常用方法.

有了前面的探究過(guò)程，可以順利地得到這個(gè)擴(kuò)展的均值不等式的代數(shù)證明方法：

(3)顯然，三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

上述探究過(guò)程讓學(xué)生很有成就感，極大地提升了學(xué)習(xí)興趣.但怎樣得到此式中另兩個(gè)代數(shù)式的平面幾何解釋，卻需要更深入的探究.

我們把這個(gè)問(wèn)題分成兩個(gè)小步驟：

(2)在平面幾何表示中證明均值不等式

三、比較兩個(gè)相鄰平均數(shù)的差的大小

(2)利用函數(shù)思想比較P,Q,R的大小

①證明Q≥P

②證明P≥R

由表2、表3可知，藥后30 d，各藥劑處理小區(qū)內(nèi)雜草株防效相對(duì)于藥后15 d整體略有降低，可能是由試驗(yàn)小區(qū)內(nèi)新增雜草較多所導(dǎo)致。1%甲基二磺隆·雙氟磺草胺可分散油懸浮劑各劑量處理對(duì)雀麥、播娘蒿、薺菜的株防效、鮮質(zhì)量防效均在80%以上，總體防除效果較好；單劑30 g/L甲基二磺隆可分散油懸浮劑對(duì)雀麥的株防效、鮮質(zhì)量防效仍高于90%，對(duì)播娘蒿、薺菜的防效略差；單劑50 g/L雙氟磺草胺懸浮劑對(duì)播娘蒿、薺菜的株防效、鮮質(zhì)量防效仍高于90%，但由于對(duì)雀麥無(wú)效，總體防效較差。

結(jié)合(1)(2)知，Q≥P≥R.

點(diǎn)評(píng) 本探究從不等式到平面幾何、再到平面三角、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，尋求在各大知識(shí)板塊的交匯點(diǎn)處研究問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，提出并解決問(wèn)題.

在比較P,Q,R的大小時(shí)，以角度為自變量，構(gòu)造出函數(shù)，再利用研究函數(shù)最值的一般性方法——導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的最值，從而比較大小.不等式判斷(或證明)本質(zhì)上就是函數(shù)的最值問(wèn)題.

四、探究收獲與反思

1.轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)觀，讓知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程成為數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)形成過(guò)程

素養(yǎng)不是知識(shí)，知識(shí)的積累是素養(yǎng)形成的必要而不充分條件.知識(shí)不是被儲(chǔ)存的一堆事實(shí)，而是觀念與思維方式；倘若秉持僵化、凝固的知識(shí)觀，并以灌輸、訓(xùn)練的方式教授知識(shí)，知識(shí)的積累反而會(huì)導(dǎo)致素養(yǎng)的衰減甚至冺滅.本探究就是讓均值不等式的結(jié)形成與證明、平均數(shù)的差的大小比較的過(guò)程作為教學(xué)的核心，同時(shí)從不同知識(shí)點(diǎn)之間尋求交匯，從而形成數(shù)學(xué)抽象能力，進(jìn)而培養(yǎng)成為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.尊重學(xué)生的個(gè)體知識(shí)

尊重學(xué)生的個(gè)體知識(shí)，在教學(xué)中表現(xiàn)為預(yù)留足夠的時(shí)間，把數(shù)學(xué)概念的形成、方法的產(chǎn)生、思想的提煉等等機(jī)會(huì)全部留給學(xué)生，讓學(xué)生感悟出來(lái).并遵循循序漸進(jìn)的原則，分層推進(jìn)，發(fā)現(xiàn)并肯定學(xué)生的閃光點(diǎn)，把成功的機(jī)會(huì)給予學(xué)生.這會(huì)極大地鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的勇氣與信心，從而形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，進(jìn)而培養(yǎng)成為終身學(xué)習(xí)的能力.

3.轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的方法，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)與協(xié)作學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)知識(shí)+數(shù)學(xué)實(shí)踐=數(shù)學(xué)素養(yǎng).一切知識(shí)，只有成為學(xué)生探究與實(shí)踐的時(shí)候，其學(xué)習(xí)過(guò)程才有可能成為素養(yǎng)發(fā)展過(guò)程.因此，轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方式是素養(yǎng)發(fā)展的前提.讓數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)現(xiàn)批判性思維與社會(huì)協(xié)作的連接.為此，一方面是進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)成為批判性思維和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的過(guò)程； 另一方面是要進(jìn)行協(xié)作學(xué)習(xí)，讓知識(shí)學(xué)習(xí)成為交往與協(xié)作，即集體創(chuàng)造知識(shí)的過(guò)程.

[1]羅增儒.從數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016(07):2.

[2]周先華.高中數(shù)學(xué)解題方法[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2015:209

[3]林崇德.對(duì)未來(lái)基礎(chǔ)教育的幾點(diǎn)思考[J].課程 教材 教法，36(03):3.

[4]張華.論核心素養(yǎng)的內(nèi)涵[J].全球教育展望，2016(4):10.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-06-01

周先華(1972.7-)，男，四川廣安人，中學(xué)高級(jí)，大學(xué)本科，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

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