李奕彤, 蘇亞坤

(1. 渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013; 2. 渤海大學(xué) 大學(xué)基礎(chǔ)教研部, 遼寧 錦州 121013)

帶有混合時(shí)變時(shí)滯的不確定中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)

李奕彤1, 蘇亞坤2

(1. 渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 遼寧 錦州 121013; 2. 渤海大學(xué) 大學(xué)基礎(chǔ)教研部, 遼寧 錦州 121013)

主要研究了帶有混合時(shí)變時(shí)滯的不確定中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問(wèn)題。在原有單一時(shí)變時(shí)滯的基礎(chǔ)上增加了混合時(shí)滯,并且加入了不確定項(xiàng)。首先,選取恰當(dāng)?shù)腖yapunov泛函,并在求導(dǎo)的過(guò)程中應(yīng)用了Schur補(bǔ)引理和Newton-Leibiniz公式。再引入適當(dāng)?shù)淖杂蓹?quán)矩陣.為了方便,將結(jié)果以線性矩陣不等式的形式給出。然后,利用Matlab軟件中的LMI工具箱求解,得到相應(yīng)數(shù)據(jù),并給出了帶有混合時(shí)滯的不確定中立型穩(wěn)定性判據(jù)。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于使判據(jù)具有較小的保守性。最后,通過(guò)數(shù)值例子驗(yàn)證了該方法的有效性和優(yōu)越性。

Lyapunov泛函; 混合時(shí)變時(shí)滯; 不確定; 自由權(quán)矩陣

0 引 言

時(shí)滯系統(tǒng)就是系統(tǒng)中一處或幾處的信號(hào)傳遞有時(shí)間延遲的系統(tǒng)[1-9]。而中立型時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)主要分為2類(lèi):時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)和時(shí)滯無(wú)關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)。因?yàn)闀r(shí)滯相關(guān)的保守性比時(shí)滯無(wú)關(guān)的保守性判據(jù)弱,所以對(duì)時(shí)滯相關(guān)的穩(wěn)定性分析通常需要構(gòu)造出合適的Lyapunov泛函,而研究的熱點(diǎn)問(wèn)題多歸結(jié)于如何降低所得結(jié)果的保守性。而時(shí)滯依賴(lài)穩(wěn)定性分析技術(shù)的發(fā)展主要集中在有效減小穩(wěn)定條件的保守性上。研究方法一般有模型變換法、自由權(quán)矩陣方法、積分不等式法、和時(shí)滯分割方法等。

本文在原有單一的變時(shí)滯中立系統(tǒng)的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了混合時(shí)滯,通過(guò)使用自由權(quán)矩陣的方法,利用schur性質(zhì)和時(shí)滯相關(guān)方法中常用的Newton-Leibiniz公式,得到了該系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。最后,仿真的例子成功的驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。

1 問(wèn)題描述

考慮下面一個(gè)帶有混合時(shí)滯的不確定中立型系統(tǒng):

(1)

式中:x(t)∈Rn是狀態(tài)變量;τ1(t),τ2(t)>0代表時(shí)變時(shí)滯;τ:max(τ1(t),τ2(t));A,B,C是Rn×n的常數(shù)矩陣;φ(t)是初始變量,且滿足下列不等式:

(2)

(3)

其中:A(t)=A+ΔA(t),B(t)=B+ΔB(t);ΔA(t)和ΔB(t)表示具有時(shí)變特征的不確定參數(shù)矩陣,假設(shè)它們范數(shù)有界,且滿足如下關(guān)系:

(4)

式中:Ea,Eb是具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣;F(t)是一個(gè)有Lebesuge可測(cè)元的未知函數(shù)矩陣,且滿足不等式FT(t)F(t)≤I;I為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

在引入主要結(jié)論之前,先給出4個(gè)引理:

引理1 假設(shè)D,S,F(t),其中F(t)滿足不等式F(t)TF(t)≤I,有下列不等式成立:

1) 對(duì)于任意的ε>0和向量x,y∈Rn,總有

2xTDF(t)Sy≤ε-1xTDDTx+εyTSTSy

2) 對(duì)于任意的ε>0,使得W-εDDT>0,總有

引理2 [schur性質(zhì)]線性矩陣不等式

式中:Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)和S(x)依賴(lài)于x,則上述不等式等價(jià)于:

ⅰ)R(x)<0,Q(x)-S(x)R-1(x)ST(x)<0;

ⅱ)Q(x)<0,R(x)-ST(x)R-1S(x)>0。

引理3 對(duì)任意的W∈Rn,W=WT>0,有下列不等式成立:

引理4 對(duì)具有適當(dāng)維數(shù)的任意矩陣Q=QT,E,H,對(duì)所有滿足FT(t)F(t)≤I的矩陣F(t),矩陣不等式

Q+HF(t)E+ETFT(t)HT<0

的必要充分條件是對(duì)任意的常數(shù)ε>0,都有下述矩陣不等式成立

2 主要結(jié)論

證明 首先考慮如下系統(tǒng);

(6)

為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化,令D1xt=xt-Cx(t-τ2(t))

構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

(7)

則V(t)的導(dǎo)數(shù)為

(8)

根據(jù)引理3可得到如下不等式:

(9)

(10)

(11)

(12)

為了研究不確定中立系統(tǒng)Σ的魯棒穩(wěn)定性原則,分別以A+ΔA(t)代替A(t),B+ΔB(t)代替B(t)。則根據(jù)引理1,給定任意的ε1>0,則式(7)部分項(xiàng)可得到下列不等式:

2(D1xt)TPDF(t)[Eax(t),Ebx(t)]≤

(13)

由系統(tǒng)(1),并結(jié)合具有適當(dāng)維數(shù)的自由權(quán)矩陣W1,W2,W3,下列零等式成立:

(14)

根據(jù)引理1,則式(14)中部分項(xiàng)可變?yōu)?/p>

2xT(t)W1ΔA(t)x(t)=2xT(t)W1DF(t)Eax(t)≤

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

綜合式(8)～式(20)可得

其中

3 數(shù)值例子

考慮帶有混合時(shí)變時(shí)滯的不確定中立型系統(tǒng)(1):

經(jīng)過(guò)求解線性矩陣不等式(5)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)τm1=T1=0.34,τm2=T2=0.33時(shí)可允許的最大時(shí)滯上限為-0.173 3,系統(tǒng)仍是漸近穩(wěn)定的,這充分說(shuō)明所提方法的有效性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文主要研究了帶有混合時(shí)變時(shí)滯的不確定隨機(jī)中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,使用自由權(quán)矩陣的方法,構(gòu)造出一個(gè)新的Lyapunov泛函來(lái)推導(dǎo)不確定中立型時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。創(chuàng)新之處在于采取混合時(shí)滯,且混合時(shí)滯的導(dǎo)數(shù)不再受限制,最后給出了該系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性原則。

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Robust stability of uncertain neutral systems with mixed time varying delays

LIYitong1,SUYakun2

(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China; 2. Department of the University Foundation, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper studies the mixture ofneutral systems with time-varying delays robust stabilization problem. On the basis of the original single time-varying delay,the mixed delay is added, and the uncertaintly is added. By selecting the appropriate Lyapunov function, the Schur complement lemma and the Newton-Leibiniz formula method are used in the derivation process. Reintroduce the free weighting matrix. For convenience, the results are given in the form of linear matrix inequalities. Finally, by using the LMI toolbox of Mablab software the corresponding data is got. The stability criterion with the mixture of neutral systems with time-varying delays is presented. The advantage of this method is that the criterion is conservative. Finally, one numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.

Lyapunov function; mixed time varying delays; uncertain; free-weighting matrix

2017-01-02。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403043)。

李奕彤(1993-),女,遼寧黑山人,渤海大學(xué)碩士研究生; 通信作者: 蘇亞坤(1977-),女,遼寧朝陽(yáng)人,渤海大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2017)03-0300-05

O231; TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.008