趙密密

二次根式一直是中考中非負(fù)數(shù)、實數(shù)計算等熱點考點必考的部分，考查的題型有低檔的填空題、選擇題，中檔的計算題，除考查定義、性質(zhì)、計算等常規(guī)題外，還經(jīng)常結(jié)合實數(shù)、勾股定理等綜合考查貼近生活實際的應(yīng)用題、閱讀理解題以及探究題等，也經(jīng)常與幾何知識、函數(shù)等學(xué)科內(nèi)知識結(jié)合作為壓軸題出現(xiàn).

例1 （2016·廣東茂名）計算：

（-1）2016+[8]-[-2]-（π-3.14）0.

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握乘方有意義的條件、二次根式的化簡、絕對值有意義的條件、零指數(shù)冪和同類二次根式的合并法則.

【解答】原式=1+[22-2-1=2].

【點評】本題最容易出現(xiàn)差錯的地方是沒有正確區(qū)分“-[-2]”“-[-2]”.另外，在化簡二次根式后，注意要合并同類二次根式.

例2 （2014·湖北荊州）如圖，點P是以AB為半徑的圓弧與數(shù)軸的交點，則數(shù)軸上點P表示的實數(shù)是（ ）.

A.-2 B.-2.2

C.-[10] D.-[10]+1

【分析】在△AOB中，利用勾股定理求出AB的長，即可確定AP的長，得到P表示的實數(shù).

【解答】在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，根據(jù)勾股定理得：AB=[32+12]=[10]，∴AP=AB=[10]，∴OP=AP-OA=[10-1]，則P表示的實數(shù)為-[10+1].故選D.

【點評】本題考查了勾股定理，以及實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

例3 （2016·山東濰坊）實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡[a]+[（a-b）2]的結(jié)果是（ ）.

A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b

【分析】直接利用數(shù)軸上a、b的位置，進(jìn)而得出a<0、a-b<0，再利用絕對值以及二次根式的性質(zhì)化簡得出答案.

【解答】如圖所示：a<0，a-b<0，

則[a]+ [（a-b）2]=-a-（a-b）=-2a+b.

故選A.

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，也考查了絕對值的意義以及數(shù)軸上的點與實數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系.

例4 （2014·江蘇鹽城）計算：[9]+[-1]-（[3]-1）0.

【分析】原式第一項利用平方根定義化簡，第二項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，第三項利用零指數(shù)冪法則計算即可得到結(jié)果.

【解答】原式=3+1-1=3.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

例5 （2016·廣西桂林）已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？

古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式——海倫公式S=[pp-ap-bp-c]（其中a、b、c是三角形的三邊長，p=[a+b+c2]，S為三角形的面積），并給出了證明.

例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計算：

∵a=3，b=4，c=5，

∴p=[a+b+c2=6].

∴S=[pp-ap-bp-c]=[6×3×2×1]

=6.

事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決.

如圖，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9.

（1）用海倫公式求△ABC的面積；

（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

【分析】（1）先根據(jù)BC、AC、AB的長求出p，再代入到公式S=[pp-ap-bp-c]中即可求得S的值；

（2）根據(jù)公式S=[12]r（AC+BC+AB），將三邊長和S的值代入可得關(guān)于r的方程，解方程得r的值.

【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，

∴p=[BC+AC+AB2] =[5+6+92]=10，

∴S=[pp-ap-bp-c]

=[10×5×4×1]=10[2]，

故△ABC 的面積10[2].

（2）∵S=[12]r（AC+BC+AB），∴10[2]=[12]r[×]（5+6+9），解得r=[2].

故△ABC的內(nèi)切圓半徑r=[2].

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、二次根式的應(yīng)用，熟練掌握三角形的面積與內(nèi)切圓半徑間關(guān)系的公式是解題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）