周子昂+徐坤+劉玉春+王洪雁

摘 要： 考慮穩(wěn)健波形優(yōu)化問題以提高多輸入多輸出雷達(dá)最差條件下參數(shù)估計精度?；谧钚?最大方法，將初始參數(shù)誤差模型顯式包含進波形優(yōu)化問題，并基于克拉美?羅界得到穩(wěn)健波形設(shè)計。為求解得到的復(fù)雜非線性優(yōu)化問題，基于哈達(dá)瑪不等式將其轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題，從而可高效求解。仿真結(jié)果表明，與不相關(guān)發(fā)射波形以及非穩(wěn)健方法相比，所提方法可顯著改善最差條件下參數(shù)的估計性能。

關(guān)鍵詞： 多輸入多輸出雷達(dá)； 穩(wěn)健波形設(shè)計； 凸松弛； 參數(shù)估計； 半定規(guī)劃

中圖分類號： TN951?34 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）17?0011?04

Optimization design for robust waveform of MIMO radar under condition

of uncertain target prior knowledge

ZHOU Ziang1， XU Kun2， LIU Yuchun1， WANG Hongyan3

（1. School of Mechanical and Electrical Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；

2. School of Network Engineering， Zhoukou Normal University， Zhoukou 466000， China；

3. College of Information and Engineering， Dalian University， Dalian 116622， China）

Abstract： The robust waveform optimization is considered to improve the parameter estimation accuracy of multiple?input and multiple?output （MIMO） radar under worst condition. On the basis of the min?max approach， the initial parameter error model is contained in the waveform optimization explicitly， and the robust waveform design is obtained on the basis of Cramér?Rao bound （CRB）. To solve the obtained complicated and nonlinear optimization problem， it is converted into the semi?definite programming （SDP） problem by means of Hadamard′s inequality to get the efficient solution. The simulation results show that， in comparison with the uncorrelated transmitted waveform and non?robust method， the method can improve the parameter estimation performance under worst condition.

Keywords： multiple?input and multiple?output radar； robust waveform design； convex relaxation； parameter estimation； semi?definite programming

0 引 言

近些年來，收發(fā)器均采用多個天線單元的多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)，其已成為國內(nèi)外雷達(dá)信號處理領(lǐng)域的研究熱點[1?8]。MIMO雷達(dá)可以利用發(fā)射單元發(fā)射任意波形，即波形分集 [1]。根據(jù)收發(fā)陣元間距，MIMO雷達(dá)可分為分置MIMO雷達(dá)[2]及共置MIMO雷達(dá)[1]兩類。MIMO雷達(dá)相對于相控陣?yán)走_(dá)具有明顯優(yōu)勢，比如更好的參數(shù)辨識性能[3]及更加靈活的波束方向圖設(shè)計[4?8]。本文考慮共置MIMO雷達(dá)。

由上述可知，發(fā)射波形在較大程度上決定了MIMO雷達(dá)的性能。因而，近年來波形設(shè)計已然成為MIMO雷達(dá)領(lǐng)域中的關(guān)鍵問題之一[4?8]。根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)，現(xiàn)有方法可分為僅設(shè)計波形[4?5]及波形和接收器聯(lián)合設(shè)計[6?8]兩類。文獻[4]設(shè)計波形相關(guān)陣（WCM），文獻[5]則考慮了恒模信號設(shè)計?；诓煌O(shè)計準(zhǔn)則，如最小化克拉美?羅界（CRB）跡，文獻[6]在無雜波場景下優(yōu)化波形，文獻[7]則基于約束CRB（Constrained CRB）在雜波場景下優(yōu)化波形。文獻[8]采用發(fā)射波形和接收器的聯(lián)合優(yōu)化以改善系統(tǒng)的參數(shù)估計性能。

文獻[6]優(yōu)化發(fā)射波形以改善系統(tǒng)參數(shù)估計性能，文獻[7]則在雜波場景下考慮了此問題。很明顯，求解此類問題需要某些參數(shù)的確切值，比如目標(biāo)位置等，然而，這些參數(shù)在工程中只能通過估計獲得，從而存在不確定性。正如文獻[6?7]仿真所述，基于優(yōu)化波形得到的參數(shù)估計精度對此參數(shù)不確定性比較敏感，這說明基于某一參數(shù)估計值得到的優(yōu)化波形會在更合理的估計值條件下表現(xiàn)出較差的參數(shù)估計性能。

綜上所述提出了如下問題：目標(biāo)先驗知識不確知場景下如何通過波形設(shè)計改善系統(tǒng)在最差條件下參數(shù)的估計性能。針對此問題，基于最小?最大方法，本文通過將參數(shù)估計誤差模型顯式地包含進波形設(shè)計中，基于最小化最差條件下Constrained CRB跡[9]準(zhǔn)則，考慮了穩(wěn)健波形優(yōu)化問題，以減緩系統(tǒng)參數(shù)估計性能對初始參數(shù)估計誤差的敏感性。在發(fā)射功率及參數(shù)不確定的凸集約束下，可得到穩(wěn)健波形優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)，然而，此數(shù)學(xué)表達(dá)較為復(fù)雜[10]。為求解此復(fù)雜非線性優(yōu)化問題，首先利用哈達(dá)瑪不等式（Hadamard′s Inequality）[11]將目標(biāo)函數(shù)分解為相互獨立的子問題，而后，內(nèi)層優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為最小化問題。接著，內(nèi)外層優(yōu)化可聯(lián)合轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃（SDP）問題[10]，從而此優(yōu)化問題可利用諸如CVX等成熟優(yōu)化工具箱得到高效求解[12]。endprint

1 問題描述

本文采用的MIMO雷達(dá)信號模型與文獻[7]相似，惟一不同的是此處模型不考慮雜波。在此條件下，MIMO雷達(dá)接收的信號可表述如下：

（1）

式中：為發(fā)射波形矩陣，為第個發(fā)射單元發(fā)射信號的離散基帶表示，且采樣數(shù)為和分別為個感興趣目標(biāo)的復(fù)幅度以及目標(biāo)位置參數(shù)；為噪聲加干擾，其每列可建模為獨立同分布的圓對稱復(fù)高斯隨機向量，其均值為協(xié)方差矩陣為未知矩陣[6]表示第個目標(biāo)信道矩陣，分別表示位于的目標(biāo)接收和發(fā)射導(dǎo)向矢量。

現(xiàn)在考慮已知的條件下，未知參數(shù)的CRB，即所謂的Constrained CRB[9]，其可表示為（關(guān)于Constrained CRB的推導(dǎo)可見文獻[7]）：

（2）

（3）

從式（3）可以看出，Constrained CRB是關(guān)于及噪聲加干擾的函數(shù)。實際應(yīng)用中，這些參數(shù)只能通過估計得到，因而存在誤差。因此，基于某估計值的CRB得到的波形會在更合理的估計值條件下表現(xiàn)出較差的估計性能，此已在仿真中得到論證[6?7]。本文假設(shè)目標(biāo)信道矩陣導(dǎo)數(shù)不確定但屬于某一凸緊支集，可建模為：

（4）

式中：以及分別表示第個目標(biāo)矩陣的真實和假設(shè)導(dǎo)數(shù)；為的誤差，屬于如下凸緊支集合：。為了不產(chǎn)生平凡解，本文假設(shè)。

基于以上討論，改善最差條件下參數(shù)估計性能的穩(wěn)健波形設(shè)計問題可簡述如下：在關(guān)于WCM功率約束下，優(yōu)化WCM以最小化凸集上最差條件下的CRB?；谯E準(zhǔn)則[6]，此優(yōu)化問題可描述為：

（5）

式中為總發(fā)射功率；第三個約束是由于實際中任意陣元發(fā)射功率大于等于0。明顯地，式中的目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于以及的復(fù)雜非線性函數(shù)。因此，利用諸如凸優(yōu)化[10]等傳統(tǒng)方法比較難以求解。

2 基于Hadamard不等式的波形優(yōu)化方法

本部分考慮如何得到非線性優(yōu)化問題的一個最優(yōu)解。為此，基于如下引理考慮目標(biāo)函數(shù)：

引理1：（Hadamard不等式）[11]： 設(shè)為半正定厄米特矩陣，那么，成立，當(dāng)且僅當(dāng)為對角矩陣時，上述不等式成立。

根據(jù)引理1，式（5）中的最大化問題可松弛為：

（6）

從式（6）可知，第項加項僅依賴于。因此，此問題可表示為如下個相互獨立的問題：

（7）

式中待優(yōu)化參數(shù)為復(fù)數(shù)。為了方便求解，可將其轉(zhuǎn)化為如下關(guān)于實數(shù)的問題：

（8）

式中：。由于為正定矩陣，因而亦為正定矩陣[11]。

明顯地，為關(guān)于的凸函數(shù)[10]，則式（8）可等價為關(guān)于的最小化問題，即：

（9）

式中：為輔助變量；第一個約束可基于Schur補定理[11]，改寫為如下線性矩陣不等式（LMI）：

（10）

式（10）可重寫為：

（11）

式中：。

根據(jù)文獻[13]中的引理2，式（11）可改寫為如下LMI （）：

（12）

綜上所述，優(yōu)化問題式（5）可等價為如下的SDP問題：

（13）

為了得到最差條件下的信道矩陣導(dǎo)數(shù)，給定最優(yōu)條件下，可得：

（14）

類似地，此問題等價于如下SDP問題：

（15）

將式（15）得到的以及式（13）得到的代入式（5），可得最差條件CRB。利用諸如文獻[12]的CVX優(yōu)化工具箱，式（13）以及式（15）可獲得高效求解。

3 仿真結(jié)果及分析

基于文獻[7]中的非穩(wěn)健方法（忽略雜波）以及不相關(guān)波形，本節(jié)通過數(shù)值仿真從最差條件下參數(shù)估計改善性能及算法穩(wěn)健性兩個方面驗證所提算法的有效性。

本實驗基于3發(fā)3收MIMO雷達(dá)，其具有如下兩種配置：MIMO雷達(dá)A（0.5，0.5）以及MIMO雷達(dá)B（1.5，0.5），括號中的參數(shù)分別為發(fā)射、接收陣列相鄰陣元的間距（以波長為單位）。陣列信噪比（ASNR）為取值為其中為白噪聲方差。干擾位于目標(biāo)位于。從第2節(jié)可知，構(gòu)建CRB須基于初始目標(biāo)位置參數(shù)估計，有許多方法可對目標(biāo)位置進行估計（參見文獻[14]）。

以下仿真中，考慮僅存在初始角度估計誤差場景下的算法有效性（其他未知參數(shù)情況類似）。在此場景中，假設(shè)初始角度估計值具有如下誤差：，即，其中為的估計值。經(jīng)過計算可得，對于MIMO雷達(dá)（0.5，0.5），而對于MIMO雷達(dá)（1.5，0.5），。

圖1為ASNR=10 dB時所提方法得到的發(fā)射波束方向圖。

最優(yōu)發(fā)射波束方向圖

從圖1可知，該方法在目標(biāo)附近放置一個峰值，此即意味著凸不確定集上MIMO雷達(dá)的最差參數(shù)估計性能可得到改善。此外，由圖1（b）可得， MIMO雷達(dá)B可產(chǎn)生柵瓣，這是由于稀疏發(fā)射陣列所致。

為驗證最差條件下的參數(shù)估計性能，所提方法，非相關(guān)波形以及基于完備目標(biāo)信道知識的非穩(wěn)健方法得到的CRB隨ASNR變化如圖2所示。

非穩(wěn)健方法得到的最壞情況下的CRB隨ASNR變化

無論ASNR為何值，所提方法明顯優(yōu)于非相關(guān)波形，這是由于優(yōu)化波形將發(fā)射能量集中于目標(biāo)信道不確定集，而非相關(guān)波形則全向發(fā)射。此外，所提方法與非穩(wěn)健方法得到最壞條件下CRB差距較小，說明所提方法可有效改善最壞條件下參數(shù)的估計性能。另外，比較圖2（a）與圖2（b）可知，MIMO雷達(dá)B的CRB比雷達(dá)A的小，這是由于前者虛擬接收陣列孔徑比后者大[1]。

圖3為所提方法得到的最差CRB均值隨ASNR的變化（100次蒙特卡洛試驗）。由圖3可知，所提方法相比于非穩(wěn)健、非相關(guān)波形有更好的最壞條件下CRB，換言之，所提方法關(guān)于有較好的穩(wěn)健性能。endprint

4 結(jié) 論

本文研究了穩(wěn)健MIMO雷達(dá)波形優(yōu)化問題，通過將參數(shù)不確定集顯式地包含進波形優(yōu)化問題，并基于constrained CRB以改善最差條件下參數(shù)估計性能。針對所得復(fù)雜非線性問題，本文提出一種基于Hadamard不等式方法求解此問題，所提方法可將此問題轉(zhuǎn)化為SDP問題，從而高效求解。仿真結(jié)果表明，與非穩(wěn)健方法以及非相關(guān)波形相比，所提方法可顯著降低最差條件下CRB，從而改善參數(shù)估計的穩(wěn)健性能。

參考文獻

[1] TANG B， NAGHSH M M， TANG J. Relative entropy?based waveform design for MIMO radar detection in the presence of clutter and interference [J]. IEEE transactions on signal processing， 2015， 63（14）： 3783?3796.

[2] RADMARD M， CHITGARHA M M， NAZARI MAJD M， et al. Ambiguity function of MIMO radar with widely separated antennas [C]// Proceedings of the 15th International Radar Symposium. [S.l.： s.n.]， 2015： 1?5.

[3] CHAN F K W， SO H C， HUANG L， et al. Parameter estimation and identifiability in bistatic multiple?input multiple?output radar [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2015， 51（3）： 2047?2056.

[4] FUHRMANN D R， ANTONIO G S. Transmit beamforming for MIMO radar systems using signal cross?correlation [J]. IEEE transactions on aerospace and electronic system， 2008， 44（1）： 171?186.

[5] CUI G， LI H， RANGASWAMY M. MIMO radar waveform design with constant modulus and similarity constraints [J]. IEEE transactions on signal processing， 2014， 62（2）： 343?353.

[6] LI J， XU L， STOICA P， et al. Range compression and waveform optimization for MIMO radar： a Cramer?Rao bound based study [J]. IEEE transactions on signal processing， 2008， 56（1）： 218?232.

[7] WANG H， LIAO G， LI J， et al. Waveform optimization for MIMO radar based on Cramér?Rao bound in the presence of clutter [J]. IEICE transactions on communications， 2012， 95（6）： 2087?2094.

[8] LIU J， LI H B， HIMED B. Joint optimization of transmit and receive beamforming in active arrays [J]. IEEE transactions on signal processing letters， 2014， 21（1）： 39?42.

[9] STOICA P， BOON C N. On the Cramér?Rao bound under parametric constraints [J]. IEEE transactions on signal processing letters， 1998， 5（2）： 177?179.

[10] YU Z， GU Z， SER W， et al. Convex optimization and its applications in robust adaptive beamforming [C]// Proceedings of the 9th International Conference on Information， Communications and Signal Processing. Taiwan， China： IEEE， 2013： 1?5.

[11] HORN R A， JOHNSON C R. Matrix analysis [M]. Cambridge： Cambridge University Press， 1985.

[12] GRANT M， BOYD S. CVX： Matlab software for disciplined convex programming [EB/OL]. [2013?02?10]. http：//www.cvxr.com/cvx.

[13] ELDAR Y C， MERHAV N. A competitive mini?max approach to robust estimation of random parameters [J]. IEEE transactions on signal processing， 2004， 52（7）： 1931?1946.

[14] XU L， LI J， STOICA P. Adaptive techniques for MIMO radar [C]// Proceedings of the 4th IEEE Workshop on Sensor Array and Multi?Channel Processing. Waltham： IEEE， 2006： 1?4.endprint