橢圓的法線性質(zhì)在物理中的幾個(gè)應(yīng)用

(1.江蘇省姜堰中學(xué)高二14班，江蘇 泰州 225500；2.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院，江蘇 鎮(zhèn)江 212026)

橢圓的法線性質(zhì)在物理中的幾個(gè)應(yīng)用

顧傲塵1陸旭2

(1.江蘇省姜堰中學(xué)高二14班，江蘇 泰州 225500；2.江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院，江蘇 鎮(zhèn)江 212026)

物理與數(shù)學(xué)關(guān)系緊密，數(shù)學(xué)作為一種工具，它的原理被賦予不同物理意義后，往往能呈現(xiàn)在不同的物理情境中。橢圓的法線性質(zhì)在聲學(xué)、力學(xué)中均有所體現(xiàn)，能解釋多種物理問題，其巧妙運(yùn)用能體現(xiàn)物理簡潔統(tǒng)一的美妙之處，對解決物理問題有很大幫助。

力學(xué)；聲學(xué)；橢圓;法線

物理和數(shù)學(xué)是緊密關(guān)聯(lián)的兩門學(xué)科，數(shù)學(xué)原理可以應(yīng)用在不同的物理情境中。橢圓作為解析幾何中的一種重要的圓錐曲線，它的法線性質(zhì)在物理學(xué)中有眾多應(yīng)用，本文結(jié)合力學(xué)、聲學(xué)中的幾個(gè)問題做探討。

1 橢圓的法線性質(zhì)及其證明

橢圓的法線性質(zhì)可表述為：橢圓的任一條切線，其法線平分過切點(diǎn)的兩條焦半徑所夾的角。

圖1

2 橢圓的法線性質(zhì)在物理中的應(yīng)用

2.1 在聲學(xué)中的應(yīng)用

如圖2所示，如果以橢圓面為反射面，根據(jù)反射定律，反射角等于入射角，則從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)上發(fā)出的聲音或光經(jīng)過反射將匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上。

圖2

據(jù)說意大利的西西里島上曾建造過一座奇特的巖洞監(jiān)獄，令人奇怪的是犯人們每次密謀越獄和暴動的計(jì)劃，很快就被看守所知曉。原來洞頂和墻壁都是橢圓面，囚犯被關(guān)押處正好是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，而看守的位置在橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上，只要犯人們張口說話，哪怕是很輕微的聲音，都會通過橢圓面的反射聚焦到看守的位置，這正是橢圓性質(zhì)的絕妙應(yīng)用。當(dāng)然這個(gè)故事很可能只是個(gè)傳說，但在醫(yī)療確有中類似應(yīng)用，在用超聲波給結(jié)石病人體內(nèi)碎石時(shí)，聲波發(fā)射裝置位于橢球反射面的一個(gè)焦點(diǎn)上，待碎石部位則位于橢球的另一個(gè)焦點(diǎn)上，如圖3所示，這樣超聲波的能量被集中在患處，易于碎石。

圖3

2.2 在力學(xué)中的應(yīng)用

2.2.1 機(jī)械能守恒問題

以下為一道有關(guān)機(jī)械能守恒的問題，特種兵過山谷的一種方法可簡化為圖4所示的情景：將一根長為2d的不可伸長的細(xì)繩兩端固定在相距為d的A、B兩等高點(diǎn)，繩上掛一小滑輪P，戰(zhàn)士們相互配合，就可沿著繩子滑到對面，戰(zhàn)士甲用水平力F拉住滑輪，質(zhì)量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，腳離地處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)AP豎直，然后戰(zhàn)士甲將滑輪從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，若不計(jì)滑輪摩擦及空氣阻力，也不計(jì)滑輪的質(zhì)量，求：

圖4

(1)戰(zhàn)士甲釋放滑輪前對滑輪的水平拉力F；

(2)戰(zhàn)士乙滑動過程中的最大速度。

這道題求解并不復(fù)雜，這里不探討其求解。在求解(2)問時(shí)需運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，戰(zhàn)士乙在滑動過程中，作用在滑輪兩邊的繩子拉力與戰(zhàn)士乙的運(yùn)動方向均不是垂直關(guān)系，也就是說兩側(cè)的繩子拉力均做功，那么機(jī)械能守恒是如何成立的呢？要說清楚這個(gè)問題就得借助橢圓的法線性質(zhì)了。

如圖5所示，根據(jù)幾何關(guān)系，戰(zhàn)士乙的運(yùn)動軌跡為橢圓，A、B分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，戰(zhàn)士乙沿橢圓的切線方向運(yùn)動；由于滑輪是光滑的，則滑輪兩側(cè)的繩子拉力大小始終相等，所以兩側(cè)繩子拉力的合力方向沿∠APB平分線方向，根據(jù)橢圓的法線性質(zhì)，該平分線方向與切線方向即戰(zhàn)士乙的運(yùn)動方向始終垂直，所以滑輪兩側(cè)繩子拉力的合力是始終不做功的，戰(zhàn)士乙在運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒。

圖5

2.2.2 萬有引力問題

物體在中心天體的萬有引力作用下的運(yùn)動軌跡為橢圓曲線，如行星的運(yùn)動以及人造天體的運(yùn)動軌跡大多為橢圓，利用橢圓的法線性質(zhì)可方便處理某些萬有引力作用下的運(yùn)動問題，如下面的導(dǎo)彈落地點(diǎn)問題。

圖6

如圖6所示，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在地心O處，另一個(gè)焦點(diǎn)設(shè)為F，發(fā)射點(diǎn)位置設(shè)為A，落地點(diǎn)位置設(shè)為B，過A點(diǎn)的法線為AC。

因?yàn)榘l(fā)射方向仰角為α，那么發(fā)射方向與豎直方向的夾角為90°-α，而法線AC與初速度v的方向垂直，所以∠OAC=α，又因?yàn)榉ň€AC平分∠OAF，則∠OAF=2α。

3 結(jié)語

橢圓的法線性質(zhì)是平面解析幾何中的一個(gè)普通性質(zhì)，但它在物理中的體現(xiàn)應(yīng)用卻是多方面的，充分體現(xiàn)了物理世界的豐富多彩以及物理規(guī)律的簡潔統(tǒng)一。在平時(shí)物理學(xué)習(xí)中，我們除了要學(xué)會處理問題的方法外，還要學(xué)習(xí)和體驗(yàn)物理規(guī)律的美妙之處，從而激發(fā)探索自然奧秘的興趣。

[1] 張憲華.高中知識清單數(shù)學(xué)[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2011：82-83.

[2] 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程力學(xué)篇[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002：225-226.