逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗下BS分布的統(tǒng)計分析

佘紀濤，徐曉嶺，顧蓓青

(上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計與信息學(xué)院， 上海 201620)

【機械制造與檢測技術(shù)】

逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗下BS分布的統(tǒng)計分析

佘紀濤，徐曉嶺，顧蓓青

(上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計與信息學(xué)院， 上海 201620)

在逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗場合下，研究兩參數(shù)Birnbaum-Saunders(簡稱BS)疲勞壽命分布產(chǎn)品的可靠性統(tǒng)計分析似然函數(shù)，運用泰勒展開得到了近似似然方程，通過求解僅含刻度參數(shù)的超越方程得到形狀參數(shù)的近似極大似然估計；最后通過Monte-Carlo模擬算例說明方法的可行性。

兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布，逐步增加II型截尾，近似極大似然估計

在可靠性試驗中，逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗在實際中經(jīng)常碰到，具有理論與應(yīng)用價值。譬如當組織一批價值昂貴的產(chǎn)品做壽命試驗，若已發(fā)生一部分產(chǎn)品失效時，考慮到試驗費用等因素，經(jīng)常從未失效的產(chǎn)品中抽取一部分產(chǎn)品移離試驗現(xiàn)場，這樣可以大大節(jié)約成本。又例如在壽命試驗過程中為了解產(chǎn)品的失效機理和退化情況，以便更好設(shè)計產(chǎn)品，需要從尚未失效的產(chǎn)品中選取部分產(chǎn)品進行解剖分析。關(guān)于逐步增加的II型截尾壽命試驗的統(tǒng)計分析可見文獻[1-6]，其主要針對的是威布爾與對數(shù)正態(tài)等壽命分布。

Birnbaum-Saunders(簡稱BS)模型是概率物理方法的一個重要失效分布模型，這個模型是Birnbaum和Sauders在1969年研究主因裂紋擴展導(dǎo)致的材料失效過程中推導(dǎo)出來的，這一模型在機械產(chǎn)品可靠性研究中應(yīng)用廣泛，主要應(yīng)用于疲勞失效研究，對于電子產(chǎn)品性能退化失效分析也有重要應(yīng)用。Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布比常用壽命分布如威布爾分布,對數(shù)正態(tài)分布更適合描述某些由于疲勞而引起失效的產(chǎn)品壽命規(guī)律，因此該分布已經(jīng)成為可靠性統(tǒng)計分析中的常用分布之一。關(guān)于Birnbaum-Saunders疲勞壽命的統(tǒng)計分析研究可見文獻[7-18]，其中關(guān)于統(tǒng)計分析的研究大多是全樣本場合，而針對Birnbaum-Saunder疲勞壽命分布逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗的統(tǒng)計分析至今未見文獻報導(dǎo)。

逐步增加的Ⅱ型截尾試驗是Ⅱ型截尾試驗的一個推廣，它是在n個產(chǎn)品的樣本中先觀察到r1個失效，然后剩下的n-r1個未失效的產(chǎn)品中有n1個被移離試驗，留下n-r1-n1個產(chǎn)品繼續(xù)試驗；當再有r2-r1個產(chǎn)品失效后,將剩余仍未失效產(chǎn)品中的n2個被移離試驗。試驗如此進行下去，直到有一定數(shù)量的產(chǎn)品失效為止，終止試驗。試驗數(shù)據(jù)如表1所示，其中r0=0,n0=0,x(0)=0,ri≥1,ni≥0,i=1,2,…,k,k≥1，而nk為最后試驗結(jié)束時未失效的產(chǎn)品數(shù)。當ni=0,i=1,2,…,k-1時，便為通常的定數(shù)截尾壽命試驗；當r1=1,r2=2,…,rk=k時，通常稱為逐次截尾實驗。

表1 逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗數(shù)據(jù)

本文給出兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布在逐步增加Ⅱ型截尾壽命試驗下的近似極大似然估計，并通過實例分析說明該方法的應(yīng)用可行。

1 兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布參數(shù)的近似極大似然估計

將n個壽命服從兩參數(shù)Birnbaum-Saunders疲勞壽命分布(記為BS(α,β))的產(chǎn)品做逐步增加的Ⅱ截尾壽命試驗，試驗數(shù)據(jù)如表1所示。而兩參數(shù)BS(α,β)分布函數(shù)FX(x)與密度函數(shù)fX(x)分別為

x>0,α,β>0

易見

FX(x)=Φ(z)

而

似然函數(shù)：

注意到

(1)

(2)

(3)

將式(3)代入式(1)得：

化簡得：

即

α2-H(β)α-Q(β)≈0

(4)

將式(3)代入式(2)得：

于是得如下方程：

α2-G(β)α-L(β)≈0

(5)

由此可得：

(6)

進而可得僅含參數(shù)β的超越方程：

[Q(β)-L(β)]2-H(β)[Q(β)-L(β)][G(β)-H(β)]-

Q(β)[G(β)-H(β)]2≈0

(7)

(8)

再者

其中，

2 實例分析

例[19]：某種軸承的疲勞壽命，共10個數(shù)據(jù)(單位：小時)：

152.7， 172.0， 172.5， 173.5， 193.0， 204.7，

216.5， 234.9， 262.6， 422.6

先保留前5個數(shù)據(jù)，后按照隨機原則刪掉2個數(shù)據(jù)(刪掉234.9和262.6)后，留下3個數(shù)據(jù)(204.7，216.5，422.6)，利用本文方法可以得到參數(shù)的近似極大似然估計為

作為比較，文獻[19-20]利用全樣本數(shù)據(jù)得到如下6種點估計，見表2所示。

表2 全樣本場合下參數(shù)β,α的6種點估計

3 結(jié)論

介紹了在逐步增加的II型截尾壽命試驗條件下BS疲勞壽命分布產(chǎn)品的可靠性統(tǒng)計分析似然函數(shù)。及得到近似似然方程和形狀參數(shù)的近似極大似然估計的推導(dǎo)過程，通過實際算例說明了方法實用可行。

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(責任編輯唐定國)

StatisticalAnalysisofBSDistributionUnderProgressiveType-ⅡCensoredLifeTest

SHE Jitao, XU Xiaoling, GU Beiqing

(School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 201620, China)

The reliability statistical analysis method of two parameters Birnbaum-Saunders (BS) fatigue life distribution products is studied under progressive type-II censored life test. The likelihood function is given, and the approximate likelihood equation is obtained by Taylor expansion. By solving the transcendental equation with only scale parameter, we get approximate maximum likelihood estimation of shape parameter. Finally, the examples illustrated the feasibility of the method by Monte-Carlo simulations.

two-parameter Birnbaum-Saunders fatigue life distribution; incremental type II truncated censoring; approximate maximum likelihood estimation

2017-05-12；

：2017-05-30

：2017年上海市大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(102732017093)；國家自然科學(xué)基金資助項目(11671264)

佘紀濤 (1995—)，女，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計研究。

10.11809/scbgxb2017.09.033

format:SHE Jitao, XU Xiaoling, GU Beiqing.Statistical Analysis of BS Distribution Under Progressive Type-Ⅱ Censored Life Test[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(9):156-160.

O251

：A

2096-2304(2017)09-0156-05

本文引用格式：佘紀濤，徐曉嶺，顧蓓青.逐步增加的Ⅱ型截尾壽命試驗下BS分布的統(tǒng)計分析[J].兵器裝備工程學(xué)報，2017(9):156-160.