孫浩翔

摘 要 本文主要講述的是運(yùn)用MATLAB對一維定態(tài)薛定諤方程求解中遇到問題的分析。問題指的是在運(yùn)用文獻(xiàn)[1]所提供的程序，解一維定態(tài)薛定諤方程時(shí)出現(xiàn)了波函數(shù)與能量不能一一對應(yīng)的情況。因?yàn)槌绦蜃陨淼膬?yōu)點(diǎn)，免去了對波函數(shù)邊界進(jìn)行討論。所以，文中所運(yùn)用的，對波函數(shù)進(jìn)行篩選的工具是導(dǎo)函數(shù)。通過對導(dǎo)函數(shù)的分析能準(zhǔn)確得出波函數(shù)的變化率在定義域中的情況。篩選過后挑出了幾個(gè)有代表性的結(jié)果呈現(xiàn)在文中。

關(guān)鍵詞 Numerov算法；打靶法；Simpson法；導(dǎo)函數(shù)；邊界函數(shù)值

中圖分類號 O1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 2095-6363（2017）17-0052-03

1 概述

薛定諤方程是量子力學(xué)的核心：一個(gè)微觀粒子在一個(gè)含時(shí)的勢場中運(yùn)動(dòng)，所滿足的方程就是薛定諤方程：

（1）

通常情況下，我們只研究定態(tài)，即勢場V不顯含t。含時(shí)波函數(shù)拆分成只與位置有關(guān)的部分和只和時(shí)間相關(guān)的部分的乘積

其中：被稱為定態(tài)波函數(shù)，簡稱波函數(shù)，它所滿足的方程（4）叫作定態(tài)薛定諤方程。這說明，微觀粒子在不含時(shí)的勢場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需要確定的僅僅是定態(tài)波函數(shù)（本征波函數(shù)）和這個(gè)定態(tài)波函數(shù)對應(yīng)的能量（本征能量），這樣薛定諤方程的求解就轉(zhuǎn)化成了對本征能量和本征波函數(shù)的求

解上。

為了更好地說明定態(tài)薛定諤方程的性質(zhì)，我們先來研究一維情況下的薛定諤方程，一維定態(tài)薛定諤方程寫作：

即使一維的定態(tài)薛定諤方程情況，也僅有極少數(shù)情況存在精確解，比如無限深勢阱、諧振子勢、氫原子的庫侖勢。大部分情形下，薛定諤方程的求解只能訴諸于數(shù)值手段。

在科學(xué)發(fā)展的過程中，出現(xiàn)了大量較為成熟的求解薛定諤方程的數(shù)值算法，其中有矩陣對角化解法，轉(zhuǎn)移矩陣方法，虛時(shí)間方法等等。他們都有各自的優(yōu)點(diǎn)，當(dāng)然也有不同的程度的缺點(diǎn)，例如：轉(zhuǎn)移矩陣方法是將薛定諤方程求解轉(zhuǎn)化成性方程組求解，比較直觀，但由于中間涉及逆矩陣運(yùn)算，處理過程比較復(fù)雜。又如，虛時(shí)間算法能夠比較嚴(yán)格推導(dǎo)出來，并可以很好的估計(jì)誤差，但是由于涉及過多的抽象算符運(yùn)算，不能方便地由程序來實(shí)現(xiàn)，而且每一步迭代波函數(shù)的歸一化都會被破壞，所以每次迭代后都要對波函數(shù)進(jìn)行歸一化

操作。

綜上所述，我們選用Numerov算法+打靶法+Simpson法綜合算法，3種算法中以Numerov算法為

主[1]。這3種方法實(shí)現(xiàn)目的不盡相同：打靶法是用來求非零的能量本征值，Numerov算法是用來求解本征能量所對應(yīng)的本質(zhì)波函數(shù)，Simpson法是用來對波函數(shù)進(jìn)行歸一化（Numerov算法求解得到波函數(shù)后用Simpson積分后對Numverov得到的波函數(shù)進(jìn)行歸一）。3種方法結(jié)合起來就數(shù)值求解任意勢場的薛定諤方程。我們以三角勢作為例子進(jìn)行計(jì)算，三角勢指的是勢肼深度與距離成正比關(guān)系，而在邊界處出現(xiàn)一個(gè)無限深勢壘。Numerov是一套非常成熟和完善的求解微分方程的算法，但是由于薛定諤方程除了其數(shù)學(xué)屬性外還必須保證求得的波函數(shù)滿足一定的物理?xiàng)l件，這樣的解被稱為“物理解”，而那些僅僅滿足數(shù)值方程但不滿足相應(yīng)的物理?xiàng)l件的純粹數(shù)值解被稱為“假態(tài)”。本文的目的就是找到Numerov算法中得到的“假態(tài)”并對提出相應(yīng)的準(zhǔn)則對其進(jìn)行

剔除。

2 方法和原理

一般來說，波函數(shù)需要滿足的條件有：

1）波函數(shù)有界要求：根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，邊界處的波函數(shù)值是一定等于0。

2）波函數(shù)歸一要求：由于波函數(shù)在全空間的積分對應(yīng)著找到粒子的總概率1。

3）波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)性要求：波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的是經(jīng)典中粒子的動(dòng)量或者速度。經(jīng)典粒子不可能出現(xiàn)速度或者動(dòng)量的“跳變”，所以要求波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必須是連

續(xù)的。

在求解定態(tài)薛定諤方程的算法中，Numerov算法是比較常用的一個(gè)。利用這個(gè)算法求得的波函數(shù)在邊界處可以自然滿足有界的條件，即可以巧妙得避開邊界發(fā)散的情況。

在實(shí)際程序運(yùn)行過程中，我們發(fā)現(xiàn)Numerov算法仍舊會帶來一些

“假態(tài)”。

Numerov算法求解三角勢薛定諤方程時(shí)，所給出的本征能量數(shù)組維度和本征波函數(shù)的數(shù)組維度對比發(fā)現(xiàn)：波函數(shù)中存在著一些

“假態(tài)”。

運(yùn)行程序過程中發(fā)現(xiàn)，所得到的本征能量E是一個(gè)36維的數(shù)組，這說明程序運(yùn)行后給出36個(gè)本征能量；本征波函數(shù)Psi是50×501維的數(shù)組，其中501是波函數(shù)格點(diǎn)的數(shù)目，前面的50代表著存在50個(gè)本征波函數(shù)。在排除了波函數(shù)“簡并”的情況后，我們認(rèn)為用Numerov算法計(jì)算得到的波函數(shù)中有一些并不是對應(yīng)本征能量的，即出現(xiàn)了一些

“假態(tài)”。

在薛定諤方程中波函數(shù)模的平方對應(yīng)的是某個(gè)區(qū)域出現(xiàn)這個(gè)粒子的概率密度，很明顯因?yàn)檫@是粒子運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的結(jié)果，所以波函數(shù)的圖像的變化應(yīng)該是平穩(wěn)的，圖像應(yīng)該是平滑的曲線。前面已經(jīng)論述過，波函數(shù)有界性和歸一性能夠分別由Numerov算法和Simpson算法保證，在波函數(shù)滿足的準(zhǔn)則中我們發(fā)現(xiàn)，只有第（2）準(zhǔn)則目前還沒有用到。因此，我們可以求出某個(gè)波函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并分析其連續(xù)性來判定這個(gè)波函數(shù)是否有意義。如果導(dǎo)數(shù)的圖像不存在較大的起伏那么證明這個(gè)波函數(shù)是對應(yīng)能量的，也就是成立的。如果導(dǎo)數(shù)的圖像有較大變化，存在不平滑的拐點(diǎn)那么這個(gè)波函數(shù)就是不成立的，是不對應(yīng)任何能量的，這樣的波函數(shù)就應(yīng)該被

排除。

3 結(jié)果及分析

對得到的50個(gè)波函數(shù)都進(jìn)行了求導(dǎo)分析，gradient（Y，X）類型的命令行對數(shù)組求導(dǎo)得到相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)。本文選取一些有代表性的波函數(shù)和其導(dǎo)數(shù)的圖形進(jìn)行

分析。

不難看到，波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的圖像在定義域內(nèi)沒有較大的起伏，且圖像平滑因此可以斷定這個(gè)圖像是對應(yīng)能量的，應(yīng)該屬于第一能量級波函數(shù)即基態(tài)波

函數(shù)。

這副圖中在X=3.5左右存在一個(gè)明顯的不平滑的拐點(diǎn)，在這里導(dǎo)函數(shù)出現(xiàn)一個(gè)不連續(xù)的“跳躍”。相對應(yīng)的波函數(shù)函數(shù)圖象在這里應(yīng)該對應(yīng)的是一個(gè)變化幅度很大的拐。

在X=3.5附近確實(shí)如上分析存在一個(gè)不平滑的拐點(diǎn)，所以這幅圖不符合規(guī)律，應(yīng)該是不對應(yīng)任何能量的。同時(shí)也證明了導(dǎo)數(shù)作為工具確實(shí)可靠。

這個(gè)導(dǎo)函數(shù)圖像在X=6.5左右存在一個(gè)不平滑的拐點(diǎn)，所以，這個(gè)導(dǎo)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)圖象也是不對應(yīng)任何能量的。同時(shí)也證明波函數(shù)的序列的奇偶沒有決定性的作用。

這個(gè)函數(shù)圖像在定義域內(nèi)都呈光滑的曲線，所以說這個(gè)波函數(shù)對應(yīng)能量。同時(shí)也證明波函數(shù)序列的大小對波函數(shù)是否對應(yīng)能量無決定性作用。

經(jīng)過對波函數(shù)圖像以及其性質(zhì)的分析我發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致導(dǎo)函數(shù)曲線不成立的區(qū)域都存在于函數(shù)值趨近于零的一端，波函數(shù)圖像同導(dǎo)函數(shù)圖像的問題相同。我猜想程序中可能不完善的步驟應(yīng)該與波函數(shù)的末端有關(guān)，我們可以通過對末端的限制在程序中就將這多余的波函數(shù)去除掉。

4 結(jié)論

本文在研究“Numerov算法+打靶法+Simpson法”求解一維定態(tài)薛定諤方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)此法求解出來的本征能量與本征函數(shù)數(shù)目不同，即存在著不對應(yīng)任何本征能量的“假態(tài)”波函數(shù)。根據(jù)量子力學(xué)的波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋，得知波函數(shù)在定義域內(nèi)圖像成平滑的曲線，在邊界波函數(shù)的值因該歸于零點(diǎn)。本文以此為依據(jù)，對存在的“假態(tài)”波函數(shù)進(jìn)行了一一篩選。

參考文獻(xiàn)

[1]張杰.Matlab在量子力學(xué)中的應(yīng)用[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自科版），2003，9（4）：53-54.

[2]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)教程[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[3]王憶鋒，唐利斌.利用轉(zhuǎn)移矩陣和MATLAB求解一維薛定諤方程的一種簡潔方法[J].紅外技術(shù)，2010，32（3）：177-180.endprint