李西振, 陳行堤

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

Bloch型雙調(diào)和映照

李西振, 陳行堤

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

研究 Bloch 型雙調(diào)和函數(shù)的判別準(zhǔn)則和系數(shù)估計.通過建立雙調(diào)和函數(shù)的線性和復(fù)合性質(zhì)，得到雙調(diào)和函數(shù)的 Bloch 型判別法則.利用雙調(diào)和的表示理論及調(diào)和函數(shù)的 Pre-Schwarz 導(dǎo)數(shù)估計，給出 Bloch 型雙調(diào)和函數(shù)的單葉性判定定理及系數(shù)估計.

Bloch函數(shù); 雙調(diào)和映照; 系數(shù)估計; 擬正則映照

Abstract： This paper studies the criterion and coefficient estimate of Bloch-type biharmonic mappings. After establishing the linear and composite properties of biharmonic mappings, we give a criterion for biharmonic mappings to be Bloch-type. Combining the representation theorem of the biharmonic mappings with the estimation of Pre-Schwarz derivative of harmonic mappings, we obtain a univalent criterion and some coefficient estimates of biharmonic mappings for Bloch-type biharmonic mappings.

Keywords： Bloch function; biharmonic mapping; coefficient estimate; quasiregular mapping

1 預(yù)備知識

設(shè)f為單位圓盤D到自身上的保向映照，若它滿足f∈ACL2(D)，且不等式|f(z)|2≤KJf(z)在D上幾乎處處成立，則稱f為D上的K-擬正則映照，其中，|f|=|fz|+||.

如果一個C2函數(shù)f滿足

則稱為Bloch型函數(shù)，記這類函數(shù)全體為B.如果f為D上的解析函數(shù)時，記這類函數(shù)全體為BA.如果f為D上的調(diào)和函數(shù)時，記這類函數(shù)全體為BH.如果f為D上的雙調(diào)和函數(shù)時，記這類函數(shù)全體為BBH，則BA?BH?BBH?B.文獻(xiàn)[7-13]對類Bloch型函數(shù)BA，BH開展了研究，其中,文獻(xiàn)[10]證明了定理A,B.

本文主要研究具有表達(dá)式f=|z|2h的雙調(diào)和映照類.同時，給出該類雙調(diào)和Bloch型函數(shù)的系數(shù)估計.

2 主要結(jié)論及證明

2)f°φα∈BBH.

證明 1) 由假設(shè)知，存在兩個解析函數(shù)h1，h2滿足

從而有

同理可得

因此,有

故由f∈BBH可知，F(xiàn)∈BBH.

2) 令F=f°φα=|φα(z)|2h°φα，則有

同理可得

從而有

因此，有β(f)=β(F)，這隱含著f°φα∈BBH,證畢.

證明 令α∈D，定義

則Φ(z)在D上單葉調(diào)和，且滿足Φ(0)=0，Φz(0)=1.因此，它的展開式的系數(shù)a2(α)的模有界，且滿足

這隱含著

由于

假設(shè)函數(shù)ω∶D→D解析，定義

定理2假設(shè)f=|z|2h∈BBH，h=h1+h2，且f是K-擬正則的.對0<ε<1，令

證明 由假設(shè)f∈BBH，可得

又由于f為K-擬正則映照，有

上式隱含著

由于

所以可得

由定理C知函數(shù)F在D上單葉.證畢.

定理3若f=|z|2h∈BBH是K-擬正則的，且|h|

上式中：M為一正常數(shù).

令z=reit，t∈(0,2π)，r∈(0,1)，則有

所以

又由于β(f)的定義可知，對?z∈D，有

結(jié)合式(3)，可得?z∈D.由

進(jìn)而有

從而有

將z=reit,t∈(0,2π),r∈(0,1)代入，可得

由式(4)，(5)可得

[1] LEWY H.On the non-vanishing of the Jacobian in certain one-to-one mappings[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1936,42(10):689-698.

[2] DUREN P.Harmonic univalent functions[M].Cambridge：Cambridge University Press,2004:1-17.

[3] CLUNIE J,SHEIL-SMALL T.Harmonic univalent functions[J].Ann Acad Sci Fenn Ser A,1984，9(1):3-25.

[4] ABDULHADI Z,MUHANNA Y,KHURI S.On univalent solutions of the biharmonic equation[J].J Inequal Appl,2005,5(2005):469-478.

[5] KALAJ D.On quasiregular mappings between smooth Jordan domains[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2010,362 (1):58-63.

[6] AHLFORS L V,EARLE C J.Lectures on quasiconformal mappings[M].New York:American Mathematical Society,1966:21-34.

[7] ANDERSON J M,CLUNIE J,POMMERENKE C.On Bloch functions and normal functions[J].J Reine Angew Math,1974,270:12-37.

[8] DANIKAS N.Some Banach spaces of analytic functions, function spaces and complex analysis, joensuu[J].Univ Joensuu Dep Math Rep Ser,1997,2:9-35.

[9] POMMERENKE C.On Bloch functions[J].J London Math Soc,1970,2(2):689-695.

[10] EFRAIMIDIS I,GAONA J,HERNNDEZ R,etal.On harmonic Bloch-type mappings arXiv preprint arXiv[DB/OL].[2016-07-15][2016-09-05].https:∥arxiv.org/pdf/1607.04626v1.pdf.

[11] POMMERENKE C.Boundary behaviour of conformal maps[M].Berlin:Springer-Verlag,1992:185-187.

[12] SEIDEL J,WALSH L.On the derivatives of functions analytic in the unit circle and their radii of univalence and ofp-valence[J].Trans Amer Math Soc,1942,52(1):128-216.

[13] ZHU K. Operator theory in function spaces, marcel dekker[M]. New York: American Mathematical Soc,2007:101-132.

[15] BEARDON A,MINDA D.The hyperbolic metric and geometric function theory[J].Quasiconformal Mappings and Their Applications,2007,3:9-56.

(責(zé)任編輯： 陳志賢英文審校： 黃心中)

OnBiharmonicBloch-TypeMappings

LI Xizhen, CHEN Xingdi

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

10.11830/ISSN.1000-5013.201609021

2016-09-15

陳行堤(1976-)，男，教授，博士，主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:chxtt@hqu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11471128); 福建省自然科學(xué)基金計劃資助項目(2014J01013); 華僑大學(xué)青年教師科研提升資助計劃(ZQN-YX110)； 華僑大學(xué)研究生科研創(chuàng)新能力培育計劃資助項目(1511313003)

O 174.55

A

1000-5013(2017)05-0737-05