朱勝蘭,李濤會(huì)
(無(wú)錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 無(wú)錫環(huán)境科學(xué)與工程研究中心, 江蘇 無(wú)錫 214153)
p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問(wèn)題研究
朱勝蘭,李濤會(huì)
(無(wú)錫城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院 無(wú)錫環(huán)境科學(xué)與工程研究中心, 江蘇 無(wú)錫 214153)
p-Laplacian橢圓型方程;Pohozaev恒等式;解的不存在性
Keywords: p-Laplacian elliptic equations; Pohozaev constant equation; nonexistence of solutions
利用Pohozaev恒等式來(lái)證明偏微分方程沒(méi)有非平凡解始于1965年P(guān)ohozaev在文獻(xiàn)[1]中關(guān)于二階半線性橢圓型方程齊次Dirichlet問(wèn)題的正則解建立的積分恒等式。由于Pohozaev恒等式在研究解的不存在性的同時(shí)也就得到了解存在的必要條件,從而引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視,并被積極地推廣。
本文我們主要討論下面的p-Laplacian橢圓型問(wèn)題
(1)
不存在非平凡解。
關(guān)于問(wèn)題(1)解的存在性和非存在性及其多解性的研究已經(jīng)取得了豐富的成果。
2008年, Lari在文獻(xiàn)[2]中又研究了問(wèn)題(1)在f(x,u)=p(x)uα+q(x)uβ時(shí),即
Δu=p(x)uα+q(x)uβ
(2)
整體解的存在性和不存在性。這里0<α≤β,p,q是非負(fù)連續(xù)函數(shù)。筆者通過(guò)研究得到如下結(jié)果:
1) 假設(shè)0<α≤1<β且函數(shù)p,q滿足條件
(3)
2) 若方程Δv=q(x)vβ(β>1)沒(méi)有非負(fù)整體大解,那么半線性橢圓方程(2)也沒(méi)有非負(fù)整體大解。
另外,在文中 Lari還證明了方程
Δu=u+e-|x|uβ(β>2)
(4)
也沒(méi)有正的整體大解。
最近, Wu在文獻(xiàn)[3]中對(duì)式(1)中的
(5)
解的存在性問(wèn)題進(jìn)行了探索,筆者通過(guò)變分方法發(fā)現(xiàn)其在滿足一定條件時(shí)在RN上存在多個(gè)正解。這里1 與上面文獻(xiàn)不同的是:本文主要是利用Pohozaev恒等式來(lái)證明幾類p=2的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性。 (6) (7) (8) 注意到 (9) (10) 那么對(duì)于等式(8)有 (11) (12) 注意到 (13) 所以 (14) (15) 即存在rn→∞使得 (16) 下面用反正法來(lái)證明結(jié)論式(15)。 (17) 那么就可以取rn=r0+n,n=1,2,3,…,當(dāng)所有n→∞時(shí),rn→∞且r0 (18) 所以有 (19) 在式(14)中取r→∞得 (20) 結(jié)論得證,到此,定理1的證明全部結(jié)束。 定理2 假設(shè)定理1中的條件滿足,且f(x,u)∈L1(R1),若存在α∈R1,u≠0,使得 (21) 則方程 -Δu+f(x,u)=0x∈R (22) 沒(méi)有非平凡解。 下面用一個(gè)具體的例子進(jìn)行說(shuō)明。 例如:在全空間上考慮方程 (23) 這里,1 證明:由式(23)知此時(shí)式(6)中 所以 (24) (25) 則可以得到 (26) 所以 (27) 從而可得 (28) 那么根據(jù)所給的條件,方程(23)在下列3種情況下于空間εr,s內(nèi)均無(wú)平凡解: 1)r<2*,s<2*,λ1,λ2≥0; 2)r>2*,s>2*,λ1,λ2≥0; 3)r<2*,s>2*,λ1,λ2≤0。 本文首先介紹了由Pohozaev 提出的恒等式,然后運(yùn)用它證明相關(guān)的p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性,得到更廣泛的解存在的必要條件,并給出了一些具體的實(shí)例來(lái)驗(yàn)證結(jié)論。 [1] POHOZAEV S.Eigenfunctions of the equation Δu+λf(u)=0[J].Soviet Math Dokl,1965(6):1408-1411. [2] LAIR A V.Large solutions of mixed sublinear-superlinear elliptic equations[J].Math Anal Appl,2008,346:99-106. [3] WU T F.Multiple positive solutions for a class of concave-convex elliptic problems in RN involving sign-changing weight[J].Funct.Anal.,2010,258:99-131. [4] MOSCHINI L,POHOZAEV S I,TESEI A.Existence and nonexistence of solutions of nonlinear Dirichlet problems with first order terms[J].Journal of Functional Analysis,2000,177:365-382. [5] OTANI M.Existence and nonexistence of nontrivial solution of some nonlinear degenerate elliptic equations[ J].Funct Anal,1988,76:140-159. [6] STRUWE M.Variational Methods[M].Berlin:Springer-Verlag,1996. [7] WAGNER A.Pohozaev identity from variational viewpoint[J].Math.Anal.Appl.,2002,266:149-159. [8] AN T Q.Non-existence of positive solutions of some elliptic equations in positive-type domains[J].Applied Mathematics Letters,2007,20:681-685. [9] DE PAIVA F O.Nonnegative solutions of elliptic problems with sublinear indefinite nonlinearity[J].Journal of Functional Analysis,2011,261:2569-2586. [10] 朱勝蘭.P-Laplacian 橢圓型方程的整體解[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2013,27(4):138-142. [11] LARI A V,WOOD A W.Large solutions of sublinear elliptic equations[J].Nonlinear Anal,2000,39:745-753. [12] LARI A V,WOOD A W.Existence of entire large positive solutions of semilinear elliptic systems[J].Diff.Equat,2000,164:380-394. (責(zé)任編輯何杰玲) StudyontheNonexistenceofSolutionsforP-LaplacianEllipticEquation ZHU Shenglan, LI Taohui (Wuxi Environmental Science and Engineering Research Center, Wuxi City College of Vocational Technology, Wuxi 214153, China) 2016-12-14 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201115); 江蘇省科技廳基礎(chǔ)研究計(jì)劃(自然科學(xué)基金)——青年基金項(xiàng)目(BK20140126) 朱勝蘭(1984—),女,博士,講師,主要從事偏微分方程研究,E-mail:zhushenglan2164@126.com。 朱勝蘭,李濤會(huì).p-Laplacian橢圓型方程解的不存在性問(wèn)題研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2017(9):200-204. formatZHU Shenglan, LI Taohui.Study on the Nonexistence of Solutions for P-Laplacian Elliptic Equation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science),2017(9):200-204. 10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.09.031 O29 A 1674-8425(2017)09-0200-051 主要結(jié)論
2 實(shí)例認(rèn)證
3 結(jié)束語(yǔ)
重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))2017年9期
——基于流動(dòng)性調(diào)整的VAR-BEKK-GARCH模型
——以天津薊縣為例