楊金英

基于間斷有限元模型的給排水干濕分離研究?

楊金英

（秦皇島市山海關(guān)排水管理處 秦皇島 066200）

針對給排水干濕分離難以確定運(yùn)動交界的問題，該研究將利用離散格式有限元建立淺水方程模式，結(jié)合細(xì)分化單元內(nèi)物理量進(jìn)行線性重構(gòu)，提出了一種新的給排水干濕分離方法。該方法保證了干濕交界處水體靜止?fàn)顟B(tài)不被破壞，并且在水體非物理流動條件下的干濕處的過渡區(qū)域之間可連續(xù)。經(jīng)過數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用間斷式的有限元模式能夠準(zhǔn)確地模擬給排水的水體情形，計算過程中可精確計算間斷間運(yùn)動過程。

有限元模型；給排水；干濕分離；淺水方程

AbstractIn order to solve the problem that the movement boundary is difficult to be determ ined by the dry and wet separation of water supply and drainage，a new method of water and wet separation is proposed by using discrete finite element method to estab?lish the shallow water equation model and linear reconstruction with the physical quantities in the subdividing unit.The method can ensure that the static state of the water and wet junction is not destroyed，and can be continuous between the transitional areas of the wet and dry place under the non-physical flow condition of the water body.The results of numerical experiments show that the inter?mittent finite element model can accurately simulate the situation of water supply and drainage，and the process of intermittent mo?tion can be accurately calculated.

Key Wordsfnite element model，water supply and drainage，wet and dry separation，shallow water equation

Class NumberTN915.6

1 引言

有限元方法被廣泛地應(yīng)用于求解水體流動模型中，利用改進(jìn)數(shù)值算法的形式將有限元劃分與空間數(shù)階相結(jié)合可以得到高精度的數(shù)值解［1～3］。在面對給排水工程項(xiàng)目時，間斷有限元模型可通過淺水域模擬得到非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格單元，確保了流體運(yùn)動中的初始條件與流動邊界的有機(jī)結(jié)合［4］。在模擬相流問題和激流問題過程中，傳統(tǒng)的數(shù)值求解在處理強(qiáng)對流問題時易出現(xiàn)數(shù)值求解的耗散并導(dǎo)致模擬失真的結(jié)果［5］。間斷有限元模型在模擬給排水這類間斷性流體可避免連續(xù)性空間單元數(shù)值求解，因此本文為了研究給排水過程中的干濕分離技術(shù)，利用間斷有限元模型分析水體淺水方程組，采用HLL函數(shù)的形式來對邊界處數(shù)值的通量加以計算，結(jié)合水深非負(fù)算子對間斷有限元模型進(jìn)行Runge-Kutta格式化以提高算法精度，通過水體體積守恒定律對干濕處過渡進(jìn)行數(shù)值分析。

2 間斷有限元模型

2.1 淺水方程

在計算水體質(zhì)量時采用固定網(wǎng)格的方法并且需要保證單元的拓?fù)潢P(guān)系穩(wěn)定，由于基于水體質(zhì)量守恒定律［6］，因此整個過程牽涉到的計算量較小。通常會采用一種線性近似方法來對單元內(nèi)的水深進(jìn)行重新構(gòu)建［7］，以此達(dá)到干濕交接單元內(nèi)水深為負(fù)的目的。但是采用上述的方法可能存在弊端，可能會造成水體自由表面計算錯誤，這樣的情況就使得單元內(nèi)的水體向周圍鄰近的單元內(nèi)形成非物理性的流動，同時會導(dǎo)致單元內(nèi)干濕交界面位置的計算錯誤［8］。采用上述的方法還會導(dǎo)致水體干濕界面捕捉困難的問題。存在這樣的原因主要在于真實(shí)的界面有可能會存在于水體單元的內(nèi)部而并非水體單元的表面或者交界處［9］。除上述情況之外，采用近似線性的薄層方法來處理，可能會使得淺水方程和諧性質(zhì)遭到破壞，這樣就無法對水體靜止的情況進(jìn)行模擬仿真，加大了研究的難度。即水體靜止形式如下［10］

盡管列出了上述的一些局限性，大多數(shù)的研究仍然利用薄層方法對水體加以計算，因?yàn)槠溆嬎愕牧枯^小，且使用的條件和范圍比較廣泛，因此仍然能夠廣泛的應(yīng)用于各種水體的淺水方程模型當(dāng)中。

關(guān)于一維的水體淺水方程組，一般由兩個方程所組成，一個方程用于描述水體的質(zhì)量守恒，另一個方程用于描述物理動量恒等。用于描述能量守恒的方程形式如式（2），其中U代表能量守恒，F(xiàn)(U)代表流量項(xiàng)，S(U)代表源項(xiàng)等，對于方程中每一項(xiàng)的定義如式（3）。

在上式的描述中，關(guān)于水體的總水深用h表示，水體的水流速度用u表示，q=hu則表示能量守恒，動量用x表示，關(guān)于水體中的底坡的高程則利用b來表示。在水中的重力加速度用g來表示。為了方便研究的進(jìn)行，在研究中我們將只考慮一種情況，即無粘情形，這樣的情況適用于更加復(fù)雜的附加源項(xiàng)，類似于科氏力、底部摩擦項(xiàng)以及風(fēng)應(yīng)力等因素都將被考察在內(nèi)。

2.2 間斷有限元格式

為了對間斷有限元格式加以應(yīng)用，我們首先需要對域離散互不重合的區(qū)間Ωi=[xi-1/2，xi+1/2]加以計算。利用上述的域離散互不重合控制方程（4）乘以實(shí)驗(yàn)函數(shù)φ∈Vp(Ωi)，同時在不重合區(qū)間Ωi內(nèi)進(jìn)行積分的運(yùn)算，則可以得到方程的弱解：

在上述的弱解形式中，Uh表示物理能量守恒變量的U的近似解。與實(shí)驗(yàn)函數(shù)φ類似，它們同屬于解空間Vp(Ωi)內(nèi)。在Ωi內(nèi)，存在不超過 p的多項(xiàng)式共同組成了解空間Vp(Ωi)，這樣的解空間使得多項(xiàng)式在單元的邊界不連續(xù)成為可能。同時為了使得解空間內(nèi)的單元間能夠?qū)崿F(xiàn)信息的交換和處理［11］，將利用數(shù)值通量 F*(Uh)來代替通量項(xiàng)F(Uh)。在本文的研究中，將采用HLL函數(shù)的形式來對邊界處數(shù)值的通量加以計算［12］，同時為了獲取到半離散的格式，本文中選用的基函數(shù)為Lagrang?ian函數(shù)［13］。利用上述提出的方法，我們將得到水體一維淺水方程的半離散化的形式，同時將其表示為常微分的形式，如下

一般情況下關(guān)于半離散形式的常微分方程，則能夠?qū)崿F(xiàn)二階顯式TVD Runge-Kutta格式化的計算，詳細(xì)的推理過程如下

在推理的式中，Runge-Kutta的各個分步的系數(shù)一般用 βil以及αil來表示。Un以及Un+1則用于表示n以及n+1時刻的數(shù)值的解。通過對上述的模型采用TVB限制器，實(shí)現(xiàn)對于每一步數(shù)值的解的計算，同時還需要對數(shù)值振蕩進(jìn)行控制以保證數(shù)據(jù)的格式穩(wěn)定。通過上述的公式與模型，我們最終能夠得到空間精度的Runge-Kutta以及具有二階時間的有限元間斷淺水方程模型。

3 給排水干濕分離

3.1 水深非負(fù)算子

對于水深我們需要設(shè)定其為正值，因此本文將采用水深非負(fù)算子，并將其作用于每個Runge-Kut?ta的分步過程中［14］。為了方便研究的進(jìn)行，我們需要對一些變量進(jìn)行標(biāo)識。Ui+=(hi+，q+i)用于表示非重復(fù)區(qū)間Ωi內(nèi)的變量均值，Ui=(hi，qi)用于表示節(jié)點(diǎn)i∈{1，2 }處的解。其中非負(fù)算子的具體表達(dá)式如下

上式中，hmini表示非重復(fù)區(qū)間Ωi內(nèi)的最小水深。根據(jù)上式的內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn)，對于所有的水深進(jìn)行修正后得到的水深值都為非負(fù)數(shù)值。同時還能夠保持水體單元內(nèi)的總體積以及總動量不發(fā)生變化。關(guān)于水深的平均值為負(fù)的干單元，則需要將其平均水深重新修正為h+i=0。

3.2 干單元處理方法

3.3 干濕處過渡

為了避免Gibbs現(xiàn)象的產(chǎn)生，本部分將采用對水體單元進(jìn)行細(xì)分的方法實(shí)現(xiàn)對過渡單元的重新構(gòu)建。完成干濕邊界分區(qū)之后，將過渡的水體單元以及為節(jié)點(diǎn)分為兩個子單元。同時為了使得干濕交界點(diǎn)的流速較小，也將以動量q為對象使用線性重構(gòu)方法在子單元實(shí)現(xiàn)對動量的重新分布。細(xì)分后h與q在子單元的分布將如下所示。

對于干濕過渡區(qū)域處于全濕狀態(tài)的單元，這樣的重新構(gòu)建的過程要較為簡單。全濕狀態(tài)的單元底坡以及水體自由面所組成的形狀為梯形形狀。水深連續(xù)以及參照物理水體體積守恒定律，單元內(nèi)水體深度的分布由以下公式確定：

4 實(shí)驗(yàn)分析

在本部分的試驗(yàn)中，將不均勻底坡上水面靜止的情況考慮在內(nèi)，同時需要驗(yàn)證在干濕交界時模型對于水體數(shù)值的處理能夠保持和諧的性質(zhì)。設(shè)定[0，1]為計算域，同時需要將區(qū)間劃分為100個均勻的小單元。底坡的高程如下式計算：

其中r=|x-0.5|，a的系數(shù)設(shè)定為1.3，rm的系數(shù)設(shè)為0.5。關(guān)于水體的初始水位高程則設(shè)定為η(x)=max(b(x)，1)，水體靜止即速度為0。根據(jù)CFL的條件，時間步的長度取為0.0001s，而模擬2s后則計算過程結(jié)束，結(jié)果如圖1所示。

圖1 給排水干濕分離計算結(jié)果

由圖1可見，對于干濕的處理方式有不同的方法，（a）與（b）為進(jìn)行比較的結(jié)果。CONV為針對傳統(tǒng)的線性重新構(gòu)建方法得出的計算結(jié)果，HREF為針對滿足和諧性質(zhì)的干濕處理線性重新構(gòu)建方法得出的計算結(jié)果。通過結(jié)果的對比顯示，傳統(tǒng)干濕處理方法無法對于水體的狀態(tài)穩(wěn)定下來，即無法保證水體的靜止。如圖1（b）所示，模擬2s后，在濕的單元內(nèi)水體流入能夠過渡到過渡單元內(nèi)，從而使得動量q由干濕交界的單元向水深值較大的區(qū)域流動。同時對于新的干濕區(qū)域處理方法，通過將過渡的單元劃分為干和濕兩個部分，并使其保持連續(xù)，這樣在動量q的計算過程中就能避免大量的舍入誤差的產(chǎn)生。

5 結(jié)語

本研究主要圍繞給排水過程中的干濕分離技術(shù)，以水體靜止情形為出發(fā)點(diǎn)，利用間斷有限元模型對離散互不重合的區(qū)間進(jìn)行計算。采用HLL函數(shù)的形式對邊界處數(shù)值的通量加以計算，同時，選用的基函數(shù)為Lagrangian函數(shù)得到水體一維淺水方程的半離散化的形式和二階顯式TVD Run?ge-Kutta格式化。運(yùn)用水深非負(fù)算子和Lagrangian基函數(shù)作用于每個Runge-Kutta的分步。參照Lewy的限制條件將過渡的水體單元以及為節(jié)點(diǎn)分為兩個子單元，使用線性重構(gòu)方法在子單元實(shí)現(xiàn)對動量的重新分布。

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Study on Dry and W et Separation of W ater Supp ly and Drainage Based on Discontinuous Finite Elem ent

YANG Jinying
（Drainage Administrative Department of Shanhaiguan District of Qinhuangdao City，Qinhuangdao 066200）

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.09.043

2017年3月8日，

2017年4月23日

楊金英，女，碩士，高級工程師，研究方向：給排水方面。