林慕凡

【摘要】現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展至今，已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)以千年的發(fā)展歷史，這其中蘊(yùn)含了無數(shù)數(shù)學(xué)賢者的智慧結(jié)晶與心血。其中，數(shù)論當(dāng)中有一個(gè)非常重要的分支理論，叫做二元二次型理論，它與初級(jí)數(shù)論當(dāng)中所涉及的許多基礎(chǔ)性定理都是息息相關(guān)的。本文，通過數(shù)篇原始級(jí)別文獻(xiàn)資料，全面化的分析了關(guān)于數(shù)論中二元二次型理論的起源與早期發(fā)展的一系列演化過程。隨著時(shí)間不斷的推移，筆者相信通過探究數(shù)論中二元二次型的演化歷史，將會(huì)對(duì)未來其余的數(shù)學(xué)有關(guān)學(xué)科帶來十分積極的影響，從而推動(dòng)整個(gè)中國(guó)乃至于全世界的數(shù)學(xué)文明進(jìn)程。

【關(guān)鍵詞】數(shù)論;二元二次型理論;起源;早期發(fā)展演化

從理論意義上來看，關(guān)于數(shù)論的概述，事實(shí)上即是指有關(guān)數(shù)字的所有規(guī)律性變化，尤其是整數(shù)性的規(guī)律。因?yàn)檎麛?shù)是最能貼近生活，也是最為淺顯易懂的數(shù)字化對(duì)象。據(jù)悉，早在古希臘時(shí)期人們就已經(jīng)把整數(shù)寓意為完美的和諧范本，而且把它當(dāng)做是宇宙萬物的基本守恒原則。古希臘智者通過數(shù)論，構(gòu)建了人們常談?wù)摰降摹叭f物皆數(shù)”的哲思理念世界?？梢院敛豢鋸埖恼f，關(guān)于數(shù)論當(dāng)中整數(shù)性質(zhì)的研究已然成為了所欲偶數(shù)學(xué)名家智力考據(jù)、宇宙探索的基礎(chǔ)性目標(biāo)。

一、關(guān)于二元二次型理論的萌芽狀態(tài)

從一般情況來看，運(yùn)用乘法以及加法是正整數(shù)最為基礎(chǔ)性的兩種運(yùn)算方式，它可以將一個(gè)正整數(shù)拆分成多個(gè)正整數(shù)相乘、相加得出的“積”與“和”來解決數(shù)學(xué)問題。用乘法來解決問題相對(duì)比較容易，因?yàn)樗銛?shù)的基礎(chǔ)定理可以從理論上進(jìn)行合理的闡述，而運(yùn)用加法來表示問題則相對(duì)比較復(fù)雜。因此緣故，社會(huì)大眾在探索每一個(gè)具體數(shù)字的時(shí)候都是用較為特殊的一些數(shù)字進(jìn)行相加來表示需要的數(shù)論，例如立方數(shù)、平方數(shù)以及圖形數(shù)等等。而關(guān)于二元二次型理論的萌芽，最早應(yīng)該從古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯身上，他是最早研究關(guān)于勾股數(shù)的數(shù)學(xué)家之一，不過這種類型的數(shù)論實(shí)際上到了古希臘數(shù)學(xué)的晚期方得以系統(tǒng)化成型，才能真正的用來解決對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。對(duì)此，將從如下幾個(gè)方面來具體闡述關(guān)于二元二次理論的起源于早期發(fā)展?fàn)顟B(tài)。

（一）關(guān)于丟番圖《算術(shù)》中的型數(shù)

遠(yuǎn)在古希臘時(shí)期，丟番圖就寫出了他的偉大數(shù)學(xué)巨作《算數(shù)》，這部巨著解決了當(dāng)時(shí)非常多的數(shù)論以及代數(shù)方程的問題，使得他被人們譽(yù)為“代數(shù)之父”。關(guān)于《算數(shù)》這本巨著，它與同樣驚為天人的歐幾里得的《幾何原本》交相輝映，兩人共同把代數(shù)以及數(shù)論的發(fā)展推動(dòng)到巔峰的位置?！端銛?shù)》這本著作全篇共有13卷，它對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“x2+y2=z2”不定方程式展開了更深層次的研究與分析。其中，在第18卷有一個(gè)問題是這樣的，“將已知的一個(gè)平方數(shù)，分解成為兩個(gè)平方數(shù)之和”;以及“要得出兩個(gè)平方數(shù)，致使它們之間的總和恰好為立方數(shù)”等等，丟番圖還有眾多諸如此類的解題思路，他無疑是那個(gè)時(shí)代的數(shù)論解題大師。

而事實(shí)上，丟番圖也并不是圣人，他自身有著某些較為固執(zhí)的特點(diǎn)，甚至從總體來看丟番圖缺乏實(shí)質(zhì)性的概括定論。而且，丟番圖還不承認(rèn)無理數(shù)解以及負(fù)數(shù)解這兩種數(shù)學(xué)理念，過多的側(cè)重于于立方數(shù)、平方數(shù)的研究。不過，他把型數(shù)當(dāng)成是一種獨(dú)立的數(shù)論個(gè)體來進(jìn)行研究，細(xì)致到把一個(gè)數(shù)分解成“ x2+y2”的問題進(jìn)行研究，而恰好這個(gè)定理就是最為簡(jiǎn)單、直接的二元二次型理論。由此可以推斷，二元二次型的萌芽正是丟番圖所提出的。歷史推進(jìn)到1621年，《算數(shù)》這本著作推出了拉丁文一本，這本巨著直接成為了法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究的起點(diǎn)。

（二）關(guān)于費(fèi)馬提出的“微積分”理論

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對(duì)于“x2+ ny2”的研究，促使他成為了數(shù)學(xué)研究歷史上首先提出“微積分”理論研究的先行者，費(fèi)馬奠定了幾何解析的基礎(chǔ)，并且在后期一同與帕斯卡構(gòu)建了“概率論”。盡管如此，費(fèi)馬其人更為令人驚嘆的是他在數(shù)論方面的非凡才能。毫不夸張的說，他對(duì)于數(shù)論的間接直接引導(dǎo)19世紀(jì)所有數(shù)論的研究動(dòng)向，亦正是由于他的成就，才導(dǎo)致整數(shù)論逐漸成長(zhǎng)為一門獨(dú)立的專業(yè)化學(xué)科。不過，遺憾的是費(fèi)馬終其一生都沒有發(fā)表過任何一門著作，關(guān)于他的數(shù)論理論成果幾乎都是通過他與朋友的通信以及各類讀書評(píng)注當(dāng)中。費(fèi)馬在一封寫給好友梅森的書信當(dāng)中就曾提出，類似“4n+1”這樣的素?cái)?shù)以及其平方數(shù)，可以直接以兩者之間的平方數(shù)之和來表示，例如：“5=22+12，52=42+32”。一直到1674年左右，費(fèi)馬提出：如若b被定義為一個(gè)非完全平方的整數(shù)，那么佩爾方程式“x2+by2=1”則會(huì)有無窮無盡的解法。之后，費(fèi)馬加深了“ x2+by2=c”的拓展范圍，指出此類數(shù)論方程式可以在已知b以及c時(shí)，可以存在無數(shù)的遞減法解題原則。

（三）歐拉對(duì)費(fèi)馬數(shù)論工作的推動(dòng)

在費(fèi)馬以后，數(shù)論陷入了一段長(zhǎng)時(shí)間的頹靡期，不過這段時(shí)間最終被著名的數(shù)學(xué)家歐拉所打破。毫無疑問，數(shù)論發(fā)展至歐拉時(shí)期，其中涉及到的許多問題在陳述的時(shí)刻都已經(jīng)逐漸顯得簡(jiǎn)單起來，不過一旦需要領(lǐng)用數(shù)論的方法論進(jìn)行對(duì)應(yīng)的回答，則令不少的數(shù)學(xué)名家都頓感頭疼。在數(shù)論的實(shí)踐過程中，歐拉以一己之力證明了“x2+y2、x2+2y2、x2+3y2”的數(shù)學(xué)論斷，之后又在1744年進(jìn)一步推動(dòng)了關(guān)于“x2+27y2、x2+64y2”等一系列論斷的數(shù)學(xué)論據(jù)，他的這些成果在數(shù)學(xué)研究歷史上具有非常重要的意義。其中，法國(guó)著名數(shù)學(xué)天才提出了一段關(guān)于二元二次型理論的論斷，他通過二元二次型的等價(jià)以及約化理論，提出了關(guān)于方便數(shù)的證明：如果d=1，2，3，4，5，6，7，8，9......1320，1365，1 848（共 65 個(gè)）滿足，如若d=ab，并且其中有一個(gè)數(shù)字為唯一性的表示型“ax2+by2”，其中“ax，by=1”那么一定可以推斷出這個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)“p、2p 或 2k”?？傮w而言，可以看出歐拉的研究成果實(shí)際上是對(duì)費(fèi)馬數(shù)學(xué)成果的一種拓展和推動(dòng)，而且事實(shí)上，歐拉關(guān)于“二平方定理”方面的貢獻(xiàn)無疑是舉足輕重的。

二、關(guān)于二元二次理論的發(fā)展

通過早期的歐拉提出的二元二次型理論，這套理念已經(jīng)逐漸成為一類數(shù)論問題的匯總版本，只要有相關(guān)的數(shù)論問題能夠提出，它就能給與明確的解決答案與技巧，可以讓無數(shù)數(shù)學(xué)家不斷的推翻在革新，類似這種看似逐漸深入的研究方式，實(shí)際上導(dǎo)致二元二次理論發(fā)展的愈發(fā)雜亂無章，一直到拉格朗日和高斯兩位數(shù)學(xué)家的誕生，二元二次型理論才逐漸完成了一次質(zhì)的飛躍，因?yàn)檫@套理論不再拘泥于個(gè)別的二次型，它能夠適用于幾乎所有的高抽象化數(shù)論研究。

（一）拉格朗日的奠基性工作

縱觀早期所有數(shù)論研究中關(guān)于二元二次理論的應(yīng)用，大部分時(shí)候都只是解決了部分問題，從現(xiàn)實(shí)意義來看，拉格朗日才是真正奠定二元二次理論的集大成者。他用自己獨(dú)特而敏銳的洞察力與創(chuàng)造力，證明了費(fèi)馬提出的一系列未能證明的數(shù)論猜想。發(fā)展到1768年，拉格朗日完成的數(shù)學(xué)論文《算數(shù)問題的解》，第一次證實(shí)了關(guān)于佩爾方程提出的“x2+by2=1”，他明確的指出此方程式不僅可以得出結(jié)論，而且解題的方法可以有無數(shù)種。不過，拉格朗日的數(shù)學(xué)研究也不是毫無遺憾的，因?yàn)檫@篇論文一直到1773年才得以問世，同年他發(fā)表的《算數(shù)研究》推出關(guān)于二元二次型的一般性理論，力證關(guān)于素?cái)?shù)成型的“x2+2y2、x2+3y2”等。拉格朗日其人的成就，已經(jīng)完美的超越了諸如費(fèi)馬以及歐拉關(guān)于二元二次型個(gè)別問題的研究，其思維之嚴(yán)謹(jǐn)，有效的將無窮多個(gè)型的研究進(jìn)行簡(jiǎn)化，毫不夸張的說，拉格朗日在整個(gè)數(shù)論研究歷史上都是二元二次理論的第一人。

（二）關(guān)于高斯的創(chuàng)新化發(fā)展

隨著歷史進(jìn)程的推進(jìn)，雖然拉格朗日對(duì)整個(gè)數(shù)論研究歷史起到了空前的推動(dòng)作用，但是若是要談及二元二次型理論的系統(tǒng)化發(fā)展，其功勞應(yīng)該歸功于著名的數(shù)學(xué)家高斯。在1801年，高斯撰寫的《算數(shù)研究》一經(jīng)問世便已轟動(dòng)數(shù)論學(xué)術(shù)界圈外，他在拉格朗日二元二次型規(guī)則之上，持續(xù)創(chuàng)新了眾多關(guān)于二元二次理論的專業(yè)化術(shù)語(yǔ)以及概念，并且將其規(guī)范化，在原有的數(shù)論基礎(chǔ)上推陳出新，制定了一整套完整的數(shù)論處理系統(tǒng)，并且從多個(gè)角度進(jìn)行二元二次理論的內(nèi)容擴(kuò)充與優(yōu)化。最終，高斯用自己對(duì)于數(shù)論中二元二次理論的研究成果，推動(dòng)了整個(gè)19世紀(jì)關(guān)于數(shù)論研究的風(fēng)氣，讓數(shù)論成為一個(gè)專業(yè)化，獨(dú)立性質(zhì)的數(shù)學(xué)研究對(duì)象。

三、二元二次型理論之于數(shù)學(xué)史的重要意義

總體而言，高斯關(guān)于數(shù)論中的二元二次理論的研究成果，不僅帶動(dòng)了現(xiàn)代數(shù)論研究的新潮流，并且還決定了這一課題在未來的正確引導(dǎo)作用，二元二次型理論之于數(shù)學(xué)史的重要意義有很多，如下從幾個(gè)方面展開詳細(xì)的闡述。

（一）成為代數(shù)理論的奠基

在諸如方程式“x2+y2= n”的求解過程中，利用高斯提出的整數(shù)理論“a + bi（其中a 、b 均為整數(shù)）”就可以得出正確的解答。通過一些列的數(shù)論“研究環(huán)”，發(fā)現(xiàn)在“Z[D]（ D = b2- ac）”之中，有很多元素其實(shí)都不具有唯一性的分解屬性，在這種情況之下，便延伸出了更廣泛的“域”和“環(huán)”，高斯在這一方面的工作可以說是二次域研究領(lǐng)域的起源。而且，高斯許多關(guān)于二次域的算數(shù)問題都是在現(xiàn)實(shí)中一系列精確化計(jì)算過程中得出的，由此可以論斷，高斯在二次型的基礎(chǔ)之上實(shí)現(xiàn)了二次域的具象化計(jì)算過程，這一成果無疑是非常偉大的。

而且，從技巧層面來看，高斯關(guān)于“型”理論的應(yīng)用是非常聰明的，著名的尚克斯曾經(jīng)說過：“大部分在數(shù)論當(dāng)中談及型的合成都是非常困難的一件事，乃至于有很多鼎鼎大名的數(shù)學(xué)家都懼怕關(guān)于型的合成，因?yàn)檫@只有通過分?jǐn)?shù)，乃至于更加理想化的研究形勢(shì)才能進(jìn)行改善”。而后的數(shù)論研究發(fā)展，一直到戴德金才探究出更加理想化的概念，再將其引入數(shù)論當(dāng)中，讓后代的數(shù)學(xué)家便于探討關(guān)于二次域等抽象化代數(shù)理論?？蒲兴鞯陆鹗歉咚苟卫碚摰睦^承者，他在前者的基礎(chǔ)之上記性創(chuàng)新化改造，并且促使二元二次型的相關(guān)理論成為整數(shù)形式數(shù)論的有力證明。

（二）逐漸演化成型的二元二次型理論

從高斯、尚克斯、戴德金等數(shù)學(xué)大師之后，關(guān)于二元二次新理論方面的論斷基本已經(jīng)成型，并且在人們的心中逐漸形成了一定的公信力。在此之后，越來越多的人逐漸把眼光從二元二次型理論延伸至多元二次型理論的研究，猶如西伯對(duì)三元二次型等價(jià)問題展開的研究，在至其后愛森斯坦將其成果進(jìn)一步的進(jìn)行推廣和深化。之后關(guān)于二元二次型的延伸名家越來越多，其中狄利克雷撰寫的數(shù)學(xué)巨著《數(shù)論講義》當(dāng)中，在原有數(shù)論認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，他還提出了更多極具創(chuàng)新價(jià)值的結(jié)論。經(jīng)過無數(shù)的數(shù)論研究實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)有很多的數(shù)學(xué)分支，例如“不定方程、三角和、積分學(xué)”等等，它們與數(shù)論之中都存在千絲萬縷的關(guān)聯(lián)性，進(jìn)而拓展了各個(gè)數(shù)學(xué)分支之間的研發(fā)高度。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)大師切比雪夫帶領(lǐng)他的學(xué)生，一同對(duì)朗格朗日的數(shù)論研究路線進(jìn)行深入的挖掘，進(jìn)而延伸出了“N元二次型數(shù)論理論”。二元二次理論發(fā)展至此，逐漸成為主流的抽象化數(shù)學(xué)思想，并且廣泛的進(jìn)行延伸和應(yīng)用。

四、結(jié)語(yǔ)

綜合以上文獻(xiàn)內(nèi)容所述，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)論中關(guān)于二元二次理論從萌芽到研究拓展，在到如今逐漸成型的體系當(dāng)中，其經(jīng)過了漫長(zhǎng)的演化過程。它集合了無數(shù)數(shù)學(xué)大師的心血與智慧，在整個(gè)數(shù)學(xué)體系當(dāng)中都具有無可替代的特殊性地位。從古希臘時(shí)期的數(shù)論初期，數(shù)論便已經(jīng)是偉大的一門學(xué)問，玄妙務(wù)必的二元二次理論發(fā)展到當(dāng)前階段，找已經(jīng)成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基石。在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中的數(shù)論應(yīng)用上，它可以沖破許多陳舊的數(shù)學(xué)思想，更啟迪了諸如“代數(shù)結(jié)構(gòu)思想、抽象大師叔、線性代數(shù)”等一系列的數(shù)學(xué)理念。而且實(shí)際上，這些看似離人們非常遙遠(yuǎn)的高深數(shù)論理念，也正在對(duì)人們的生活起到舉足輕重的影響。文末，殷切的期盼數(shù)論理念可以在未來開出更具開創(chuàng)性意義的數(shù)學(xué)分支，從而為全人類服務(wù)。

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