纖維在平面上隨機(jī)排列的模擬及其應(yīng)用

嚴(yán)廣松，蘇玉恒，石文英

(1.河南工程學(xué)院 紡織學(xué)院，河南 鄭州 450007；2.河南工程學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 451191)

纖維在平面上隨機(jī)排列的模擬及其應(yīng)用

嚴(yán)廣松1,2，蘇玉恒1，石文英1

(1.河南工程學(xué)院 紡織學(xué)院，河南 鄭州 450007；2.河南工程學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 451191)

纖維在平面上隨機(jī)排列是紡織產(chǎn)品常見的一種結(jié)構(gòu)，比如無紡布表面纖維的隨機(jī)分布、靜電紡濾網(wǎng)纖維的隨機(jī)排列、棉紡工藝中用于精梳機(jī)的小卷上纖維的排列等，都是平面集合體纖維隨機(jī)排列的結(jié)構(gòu).建立了描述此類纖維隨機(jī)分布的數(shù)學(xué)模型，使用了一個參數(shù)σ來描述纖維從有向到無序的變化，給出了纖維隨機(jī)排列參數(shù)σ對平面集合體雙向拉伸影響的理論表達(dá)，討論了纖維隨機(jī)排列對濾網(wǎng)效率的影響.進(jìn)一步提出了從實物到數(shù)學(xué)模擬的方法，對于控制纖維排列以得到需要的產(chǎn)品具有理論指導(dǎo)意義.

纖維；隨機(jī)排列；模擬；Monte Carlo方法

在紡織生產(chǎn)領(lǐng)域，有一類常見的纖維平面集合體，比如無紡布中的短纖維隨機(jī)排列于一個平面上，棉紡中的棉小卷上纖維按照一定方向隨機(jī)分布，靜電紡紗中的濾網(wǎng)生成也由長纖維隨機(jī)排列構(gòu)成.這些纖維集合體具有一些共同的特點：纖維隨機(jī)排列于一個平面上且基本上形成均勻的一層，層數(shù)可以忽略；纖維具有一定的方向性，這個方向性直接影響纖維集合體的物理和力學(xué)性質(zhì)；如果這類纖維集合體作為濾網(wǎng)使用，濾網(wǎng)的孔隙大小和均勻度與纖維的隨機(jī)排列狀態(tài)相關(guān).

關(guān)于這類纖維集合體的研究大多集中于性質(zhì)的測試和生產(chǎn)的技術(shù)上，對于纖維隨機(jī)排列的數(shù)學(xué)描述和分析較少.對于無紡布的研究大多集中在纖維均勻度和無紡布的強(qiáng)度分析上，對于棉纖維小卷的研究主要在勻整技術(shù)方面，而對靜電紡濾網(wǎng)的研究則集中于生產(chǎn)效率和過濾機(jī)理上[1-5].要深入研究這類纖維集合體，一個不能避開的問題就是纖維隨機(jī)排列的規(guī)律和形態(tài).只有給出這類纖維集合體的隨機(jī)生成過程和生成纖維排列的性質(zhì)，才能從根本上指導(dǎo)生產(chǎn)過程，得到滿足需要的纖維集合體.

首先建立了這類纖維集合體的數(shù)學(xué)模型，從基本的假設(shè)出發(fā)，利用Monte Carlo方法，給出了纖維集合體的圖形，然后分析了參數(shù)對圖形的影響，得到了從模型到圖形再從圖形到模型的構(gòu)造方法，為進(jìn)一步研究纖維在平面上的隨機(jī)排列打下了基礎(chǔ).

1 纖維在平面上隨機(jī)排列的模擬

紡織上的纖維平面集合體大致可以分為兩類：短纖維的隨機(jī)排列與長纖維的隨機(jī)排列.這里的短纖維是指具有一定長度分布的纖維.假設(shè)平面中的纖維是線段或者直線，平面總是一個邊長為1的正方形.對短纖維來講，纖維的中點在這個正方形內(nèi)是均勻分布的.對長纖維來講，纖維上的某一點在正方形內(nèi)也是均勻分布的.這樣的假設(shè)基本符合這類紡織纖維集合體的真實特征.

1.1短纖維的平面集合體

假設(shè)在一個邊長為1的正方形內(nèi)，按照平面上的均勻分布特點，首先生成一個點(x0,y0)，這個點就是短纖維的中點，然后按照隨機(jī)規(guī)律生成一個夾角，這個夾角就是纖維的長度方向與縱軸的夾角θ.隨機(jī)夾角θ的生成按照下列密度函數(shù)給出：

(1)

圖1 短纖維的模擬(n=2 000,σ=0.001)Fig.1 Simulation of staple fibers(n=2 000,σ=0.001)

1.2短纖維集合體的模擬圖形

按照上述的模擬方法，可以生成短纖維的模擬圖形，如圖1所示.

圖1是在某種棉纖維的長度分布下，按照σ=0.001模擬出的纖維排列圖，可以明顯地看出，纖維具有較強(qiáng)的有向性，其中的n是纖維的模擬根數(shù).圖2是σ=10時的纖維排列局部圖，顯然，纖維的有向性減弱，與一般棉網(wǎng)的特征相似.圖3是σ=1 000時的纖維排列局部圖，可以看出纖維呈現(xiàn)無序的狀態(tài).σ的取值是(0，∞)，當(dāng)σ=0時，纖維具有共同的方向；當(dāng)σ無限變大時，纖維的排列趨于均勻，沒有方向性.

圖2 短纖維的模擬(n=2 000,σ=10)Fig.2 Simulation of staple fibers(n=2 000,σ=10)

圖3 短纖維的模擬(n=2 000,σ=1 000)Fig.3 Simulation of staple fibers(n=2 000,σ=1 000)

1.3短纖維平面集合體的雙向拉伸性質(zhì)

纖維在平面上的隨機(jī)排列，決定了這個纖維平面集合體的各向異性性質(zhì).纖維隨機(jī)排列的狀態(tài)可以通過纖維平面集合體的雙向拉伸來檢測，而雙向拉伸性質(zhì)可以通過纖維隨機(jī)分布規(guī)律得到.

為了計算纖維平面集合體的雙向拉伸性質(zhì)，按照上述模型對纖維集合體的排列規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo).推導(dǎo)的基本思想是計算正方形內(nèi)纖維長度在縱橫兩個方向上的投影，得到兩個投影的比值.由于兩個方向上投影的表達(dá)式中均由纖維的平均長度作為系數(shù)，所以得到的雙向拉伸比值與纖維的長度分布無關(guān).

雙向拉伸的強(qiáng)力比為

q=tanθ0，

(2)

(3)

式(3)中的g(x)由1.1定義.將g(x)代入式(3)，約去式子兩邊的B，可以得到

(4)

在給定σ的值以后，就可以通過公式(4)計算出θ0的值，然后再代入公式(2)計算雙向拉伸強(qiáng)力比q的值.這個結(jié)論提供了一個通過估計σ的大小來估計一個纖維平面集合體雙向拉伸比的方法.

1.4長纖維平面集合體的模擬

長纖維平面集合體在紡織生產(chǎn)中也是一類特別的結(jié)構(gòu)，靜電紡絲產(chǎn)生的濾網(wǎng)就可以看成這個類型的集合體.當(dāng)然，濾網(wǎng)具有一定的層數(shù)，纖維的密度也不相同.這里所討論的是在一定面積的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生一定數(shù)量的長纖維.在實際的應(yīng)用中，總是可以通過改變?nèi)拥慕咕?，把一定面積的纖維數(shù)控制在一定范圍.因此，這里不需要討論纖維網(wǎng)的密度，只需要討論纖維的形態(tài).

長纖維平面集合體所產(chǎn)生的濾網(wǎng)在實際生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，濾網(wǎng)的過濾機(jī)制和效率是一個值得研究的問題.在建立了長纖維平面集合體模擬的基礎(chǔ)上，可以對這類過濾機(jī)制進(jìn)行進(jìn)一步討論.

長纖維平面集合體的模擬原理類似于短纖維的情形，長纖維上任一點的分布是正方形區(qū)域上的均勻分布，長纖維與軸向的夾角θ按照式(1)的概率分布密度函數(shù)給出.

圖4至圖8是當(dāng)σ等于不同值時的長纖維平面集合體模擬圖，圖中的n是模擬次數(shù)，也就是纖維根數(shù).可以明顯地看出，當(dāng)σ逐漸增大時，圖形中的纖維趨于離散，有向性減弱，這與短纖維的情形類似.

圖4 長纖維的模擬(n=30,σ=0.1)Fig.4 Simulation of long fibers(n=30,σ=0.1)

圖5 長纖維的模擬(n=30,σ=1)Fig.5 Simulation of long fibers(n=30,σ=1)

圖6 長纖維的模擬(n=30,σ=10)Fig.6 Simulation of long fibers(n=30,σ=10)

圖7 長纖維的模擬(n=30,σ=100)Fig.7 Simulation of long fibers(n=30,σ=100)

圖8 長纖維的模擬(n=30,σ=1 000)Fig.8 Simulation of long fibers(n=30,σ=1 000)

2 纖維平面集合體模擬的應(yīng)用

以上給出了纖維的平面上隨機(jī)排列的模擬，這個模擬的結(jié)論可以在實際生產(chǎn)中得到應(yīng)用，主要應(yīng)用在以下幾個方面：

(1)估計纖維平面集合體雙向拉伸比.在纖維平面集合體上取樣，可以通過拍照和顯微拍照的方法，得到一個小區(qū)域上纖維的圖形.測量每一根纖維與軸向的夾角，利用統(tǒng)計方法計算出這些夾角的標(biāo)準(zhǔn)差，這個標(biāo)準(zhǔn)差的估計值就是σ的估計值，于是可以使用公式(2)來計算雙向拉伸比的值.反過來，如果需要一定拉伸比的纖維平面集合體，也可以通過控制纖維的排列來得到相應(yīng)的拉伸比.這個方法可以通過實驗來驗證.

(2)研究長纖維集合體的孔徑大小，從而研究濾網(wǎng)的效率.長纖維平面集合體描述了靜電紡絲的濾網(wǎng)，而濾網(wǎng)的效率和過濾機(jī)制是需要進(jìn)一步研究的重要問題.由于長纖維平面集合體的模擬也采用了給出參數(shù)σ生成圖形的方式，所以纖維濾網(wǎng)的結(jié)構(gòu)與σ的大小相關(guān).從圖4至圖8的模擬可以看出一個規(guī)律，當(dāng)σ增大時，濾網(wǎng)平均孔徑的期望和方差都變小，從而得到了較好的過濾效果.

(3)利用長纖維平面集合體的模擬，可以進(jìn)一步研究多層過濾的結(jié)果.實際上，濾網(wǎng)的結(jié)構(gòu)并不完全是平面結(jié)構(gòu)，而是類似多層平面的結(jié)構(gòu).要模擬多層濾網(wǎng)的過濾過程，完全可以采用單層過濾的原理重復(fù)進(jìn)行，所有多層模擬的結(jié)果都可以通過實驗來驗證，濾網(wǎng)的使用壽命也可以使用此模擬結(jié)果進(jìn)行估計.

3 結(jié)語

使用Monte Carlo隨機(jī)模擬方法，對纖維在平面上的分布進(jìn)行了模擬，得到了在短纖維和長纖維兩種情形下描述纖維在平面上分布的方法，為進(jìn)一步研究纖維在平面上的分布和相關(guān)產(chǎn)品的性質(zhì)提供了一種可行的方法.模擬中假設(shè)了纖維是直線段或直線，在實際中，纖維可以具有一定的細(xì)度，而且總是彎曲的，長纖維的濾網(wǎng)孔徑大小也是不確定的，這些都是需要進(jìn)一步研究的課題.

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Simulationoftherandomalignmentoffibersinaplainanditsapplications

YANGuangsong1，2,SUYuheng1,SHIWenying1

(1.CollegeofTextiles,HenanUniversityofEngineering,Zhengzhou450007,China; 2.CollegeofSciences,HenanUniversityofEngineering,Zhengzhou451191,China)

The random alignment of fibers in a plain is a common structure in textile products. For example, the fibers scattering in the surface of nonwovens, the arrangement of fibers in the filter produced by electrostatic spinning, the fibers in cotton laps used for combing, etc, all belong to the similar structures. A plausible mathematical model has been established to describe such a stochastic fiber assembly, and a parameterσis used to indicate the change of fibers from properly directed to disorder. The theoretical effect ofσon the biaxial tension is derived. The random filter is discussed for the effect of its fiber alignment on the efficiency of the filtration. Therefore, a method is given to construct from the textile physical object to the mathematical models. The theory and the method are significant for manufacturing the required production of fiber assembly.

fiber; random alignment; simulation; Monte Carlo method

TS101

A

1674-330X(2017)03-0001-03

2017-03-23

國家自然科學(xué)基金(51173023)；河南省高?？萍紕?chuàng)新團(tuán)隊支持計劃項目(13IRTSTHN024)

嚴(yán)廣松(1958-)，男，湖北武漢人，教授，博士，主要研究紡織纖維加工理論及數(shù)理統(tǒng)計應(yīng)用.