太陽高度角計算公式及光伏應(yīng)用

于瓊燕，劉帥帥，李海東，張 倩

(河南工程學院 理學院，河南 鄭州 451191)

太陽高度角計算公式及光伏應(yīng)用

于瓊燕，劉帥帥，李海東，張 倩

(河南工程學院 理學院，河南 鄭州 451191)

為了更好地利用太陽能，需要研究太陽在一年內(nèi)的位置和輻射能的變化，而高度角作為確定太陽與地球位置的重要參數(shù)之一，理解其計算公式尤為重要.結(jié)合球面三角形邊余弦公式和天球坐標系參數(shù)，詳細分析了高度角的計算公式，并對太陽高度角的光伏應(yīng)用作了闡述.

太陽高度角；計算公式；光伏應(yīng)用

太陽能與地球生命息息相關(guān)，其研究遍布氣象、航天、工程建筑、植物種植等[1-4].特別是隨著世界經(jīng)濟的不斷發(fā)展和人口的持續(xù)增加，能源的緊缺和環(huán)境的污染問題被廣泛關(guān)注，而要解決能源和污染這兩大問題，就要尋找新能源.太陽能作為一種清潔無污染和資源豐富的新能源，對其有效利用引起了全世界科學界的關(guān)注，一個焦點就是太陽能光伏系統(tǒng)的研究與開發(fā).但是，由于不同地區(qū)太陽的輻射量存在較大差異，對各地區(qū)的太陽輻射量的研究成為開發(fā)利用太陽能的前提.在時角、赤緯角、地理緯度、海拔、氣候等眾多的影響因素中，太陽的高度角成為影響其輻射量的重要因素之一.但是，有關(guān)太陽高度角的文獻對其計算公式來源只是簡單說明，均未做詳細推導(dǎo)[5-7].本研究結(jié)合天文三角形邊余弦公式和天球坐標系參數(shù)詳細推導(dǎo)出太陽高度角的計算公式，以便在理解和掌握太陽高度角計算公式的基礎(chǔ)上更好地利用太陽能.

圖1 太陽高度角Fig.1 The solar elevation angle

1 太陽高度角計算公式推導(dǎo)

1.1太陽高度角的定義

太陽高度角是在天球的地平坐標系中定義的，在以觀測點為中心和任意長度為半徑作天球的基礎(chǔ)上，首先建立以觀測點正上方的天頂Z為基本點、南點為原點的地平坐標系，經(jīng)過天頂和太陽天體X的大圓與地平圈的交點M，弧度XM就定義為太陽的高度角h[8]，如圖1所示.

1.2天文學球面三角形的邊余弦公式

圖2 球面三角形PZX及輔助線Fig.2 The spherical triangle PZX and auxiliary lines

太陽高度角的計算公式起源于天文學球面三角形的邊余弦公式[9].圖2所示球面三角形PZX位于以O(shè)為球心,OP,OZ,OX為半徑的球體上，其3條邊分別為a，b，c，3個頂點與球心O相連接.過頂點P做a，b邊的切線，分別交OX，OZ的延長線于A，B，得到4個平面三角形OPA，OPB，OAB和PAB.其中，△OPA和△OPB為直角三角形，球面三角形PZX的3個邊a，b，c與球體中心O形成的三個角分別為角a，角b和角c.

利用平面三角形的邊余弦定理，在△OAB和△PAB中存在公式(1)和(2)：

AB2=OA2+OB2-2OA·OBcosc，

(1)

AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos∠APB.

(2)

由式(1)和式(2)得

2OA·OB·cosc=OA2+OB2-PA2-PB2+2PA·PB·cos∠BPA.

(3)

在直角△OPA和△OPB中，存在下面兩個等式：

OA2-PA2=OP2，OB2-PB2=OP2，

代入式(3)簡化得

OA·OBcosc=OP2+PA·PB·cos∠BPA.

整理后得式(4)：

(4)

在直角△OPA和△OPB中，存在下面幾個等式：

代入式(4)得式(5)，即球面三角形邊c的余弦公式：

cosc= cosa·cosb+ sina·sinb·cos∠BPA.

(5)

1.3太陽高度角計算公式

圖3所示的天球，O為天球球心，也是觀測點；Z為天頂；P為北天極；X為天體太陽；M是經(jīng)過Z和X的大圓與地平圈的交點；T是經(jīng)過P和X的大圓與天赤圈的交點；經(jīng)過天球球心O與OP垂直的面為天赤面，經(jīng)過O與OZ垂直的面為地平面;Q是經(jīng)過P,Z的大圓即子午圈與天赤面在南點附近的交點;S是經(jīng)過P,Z的大圓即子午圈與地平面在南點附近的交點.

根據(jù)天球的兩個坐標系——地平坐標系和時角坐標系中有關(guān)角度的定義，弧XT是太陽的赤緯角δ，弧XM是太陽的高度角h.根據(jù)和為90°的關(guān)系可以計算出弧ZX(邊c，對應(yīng)角c)和弧PX(邊a，對應(yīng)角a)分別為(90°-h)和(90°-δ).同理，有OZ與天赤面的夾角為地理緯度φ可以得到弧PZ(角b，對應(yīng)邊b)為(90°-φ)，即球面三角形PZX的3條邊PX，PZ和ZX與球心O形成的角分別為(90°-δ)，(90°-φ)和(90°-h)，即球面三角形PZX的3條邊a，b和c對應(yīng)的3個角a，b和c分別為∠a=90°-δ，∠b=90°-φ，∠c=90°-h.

為了更好理解，在圖3的基礎(chǔ)上過頂點P做球面三角形PXZ邊a的切線，即經(jīng)過P，X大圓的切線與OX的延長線交于點A.同樣，過頂點P做球面三角形PXZ邊b的切線，即經(jīng)過Z，X大圓的切線與OZ的延長線交于點B，則得到△OPA，△OPB，△OAB，△PAB.其中，△OPA，△OPB為直角三角形，如圖4所示.這說明圖3和圖4中的球面三角形PZX與圖2中的球面三角形PZX相同.則公式(5)在圖3和圖4中同樣成立，即

cosc=cosa·cosb+sina·sinb·cos∠BPA.

圖3 太陽X在地平坐標系中的位置Fig.3 The location of solar X in the coordinate system

圖4 坐標中的太陽X和球面三角形PZXFig.4 The spherical triangle PZX and solar X in the coordinate system

將角a,角b和角c的值代入公式(5)得到如下等式：

cos(90°-h)=cos(90°-δ)·cos(90°-φ)+sin(90°-δ)·sin(90°-φ)·cos∠BPA.

(6)

簡化式(6)得

sinh=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cos∠BPA.

(7)

圖4中，Q是經(jīng)過P，Z的大圓即子午圈與天赤面在南點附近的交點，則弧QT即天體太陽X的時角τ.由于球面三角形PZX的邊a的切線PA與OT平行且共面，邊c的切線PB與OQ平行且共面,則存在下面的關(guān)系式：

∠BPA=τ.

(8)

將式(8)代入式(7)得太陽高度角的計算公式：

sinh=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cosτ.

(9)

2 太陽高度角在太陽能光伏發(fā)電中的應(yīng)用

太陽高度角公式除了準確推算某地、某時的太陽高度角之外，還可以在其基礎(chǔ)上推算出有關(guān)光伏發(fā)電系統(tǒng)設(shè)計的其他重要參數(shù)公式，如正午太陽高度角、日照時數(shù)等，在太陽能光伏發(fā)電系統(tǒng)設(shè)計中也起著重要作用.

(1)正午太陽高度角

根據(jù)時角的定義，正午12∶00時角τ= 0，代入公式(9)得

sinh=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cos 0,

簡化整理得sinh=cos(φ-δ)=sin[90°±(φ-δ)]，則正午高度角的計算公式如下：

h=90°±(φ-δ).

(2)日照時數(shù)

日照時數(shù)T為每天日出和日落時刻之間的時間，也是日出和日落兩個時角的差值，這是太陽能光伏系統(tǒng)安裝選址的重要參考，其計算方法由高度角計算公式推導(dǎo)得出.利用日出和日落瞬間高度角h=0，代入公式(9)得sin 0=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cosτ,簡化整理得τ=arccos(-tanφ·tanδ).

日出和日落時刻時角分別為

τ出= arccos(-tanφ·tanδ)，
τ落=-arccos(-tanφ·tanδ).

已知地球繞太陽自轉(zhuǎn)時速為15°，則日照時數(shù)T的計算公式如下:

圖5 太陽電池組件安裝距離Fig.5 The installation distance of the solar cell components

(3)電池組件安裝間距

為避免前后太陽能電池組件的遮擋而影響太陽能的吸收利用，并且考慮到充分利用占地面積，需要精確計算出電池組件即電池組件安裝的間距S.此計算方法也廣泛用在工程建筑上，如計算樓間距以減少樓層間的陽光遮擋.

如圖5所示，電池組件方位角為正南方向，E和A分別為太陽光線與電池組件上邊緣和地面的交點，過E作地面的垂線交點為C，則EC為電池組件的垂直高度.經(jīng)過C作電池組件下邊緣的垂線交于D點，則CD指向正南方向，過A作CD的平行線交電池組件于F，連接AC，則AC為AE在地面的投影，即太陽光線在電池組件后面的投影.圖5中，∠EDC為電池板傾角β，∠EAC為太陽高度角h，∠CAF為太陽方位角γ，過A作DF的平行線交DC延長線于B，則△ABC為直角三角形且∠ABC為90°.

設(shè)電池組件長ED為L，電池組件間的地面距離為S，則S的計算公式為

S=DB=BC+DC=L·sinβ·ctgh·cosγ+L·cosβ.

出于保護的目的，電池板的安裝需要支架支撐，一般離地面幾十厘米，故在圖5(a)的基礎(chǔ)上，增加4個支架得到圖5(b).此時,電池板下邊緣距離地面高度為GD,按照上述分析方式得到電池組件間距BD為

S=DB=BC+DC=(L·sinβ+GD)·ctgh·cosγ+L·cosβ.

(4) 組件安裝傾角

太陽能光伏發(fā)電系統(tǒng)是光能轉(zhuǎn)化為電能的發(fā)電系統(tǒng)，充分利用太陽光和提高太陽能對電池板的輻射量是提高發(fā)電量的關(guān)鍵，而組件安裝的傾角β直接影響太陽能的輻射量，所以計算出精確的傾角至關(guān)重要.首先，由安裝的地理緯度及當?shù)氐妮椪罩道L制電池的光電轉(zhuǎn)換曲線[10-12]，再由太陽高度角確定電池組件安裝的傾角，而地面獲得的太陽能S0直接由高度角決定，見公式(10)[13]:

S0=J0Dm2sinh,

(10)

式中:J0是太陽常數(shù);Dm2是太陽到地球距離的訂正值.雖然高度角和安裝傾角沒有直接的計算公式，但是其公式推導(dǎo)間接利用了高度角.

3 結(jié)語

太陽高度角的公式來源于球面三角形的邊余弦公式，在介紹邊余弦公式的基礎(chǔ)上，結(jié)合天球坐標系中的高度角、赤緯角、時角等重要參數(shù)，將兩者放在一個球體里，分析太陽高度角的公式推導(dǎo).掌握太陽高度角公式推導(dǎo)首先能夠更好地理解太陽與天球坐標系中各坐標參數(shù)的關(guān)系，準確定位太陽與地球的相對位置,其次利用太陽高度角公式可準確計算出任意時刻、任意時間太陽的高度角,最后利用高度角可推算出組件安裝間距、太陽日照時數(shù)等重要參數(shù).

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Formuladerivationandapplicationofsolarelevationangle

YUQiongyan,LIUShuaishuai,LIHaidong,ZHANGQian

(CollegeofSciences,HenanUniversityofEngineering,Zhengzhou451191,China)

Study on location and radiant energy change of solar in a year is needed to make good use of the energy. As a major parameters to ascertain the location of solar, it is important to understand computational formula of solar elevation angle. In the article, the formula is detailedly analyzed with side cosine formula of spherical triangle and parameters in celestial coordinate system. Then the photovoltaic applications of solar elevation are elaborated.

solar elevation angle; computational formula; photovoltaic application

TM914

A

1674-330X(2017)03-0077-04

2017-04-02

河南省教育廳科學技術(shù)研究重點項目(15A150044)；河南工程學院博士基金(D2012020)

于瓊燕(1980-)，女，河南漯河人，講師，博士研究生，主要從事太陽能電池的研究.