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      第四類切比雪夫型方程組的通解

      2017-11-04 07:37:50曹嘉芮
      關(guān)鍵詞:比雪夫華南方程組

      曹嘉芮, 吳 康

      (華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

      第四類切比雪夫型方程組的通解

      曹嘉芮, 吳 康

      (華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

      定義了第四類切比雪夫型一元方程(組),通過各個方程根的兩兩配對,得到二階乃至高階方程組通解的表達(dá)形式.

      切比雪夫型方程(組);第四類;高階;配對;通解

      1 預(yù)備知識

      第一類切比雪夫多項(xiàng)式(Tn(x))和第二類切比雪夫多項(xiàng)式(Un(x))是以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫的名字命名的特殊函數(shù),起源于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式,是當(dāng)前研究的一個熱點(diǎn),并得到了廣泛應(yīng)用.目前對第一至第三類切比雪夫型方程組的通解[1-4]有一定的研究,但對第四類切比雪夫方程組的通解問題尚未研究,本文基于切比雪夫多項(xiàng)式的實(shí)用性,對第四類切比雪夫型方程(組)進(jìn)行深入的研究.

      第四類切比雪夫多項(xiàng)式序列{Wn(x)}定義[5-6]為

      其中n∈N,x∈R,且x<1,Wn(x)稱為第n個第四類切比雪夫多項(xiàng)式.

      2 引理

      證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.

      當(dāng)m=2時,由引理1知命題成立;

      證明由數(shù)學(xué)歸納法證明.

      當(dāng)m=2時,由引理2知命題成立.

      當(dāng)m=n+1時,

      又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,rn+1).則

      又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,2rn+1+1).

      綜上,命題成立.

      3 第四類切比雪夫型方程(組)

      3.1 第四類切比雪夫型方程

      定義1設(shè)n,m∈N,n>m,稱方程Wn(x)=Wm(x)為第四類切比雪夫型一元方程.

      3.2 第四類切比雪夫型一元二階方程組

      定義2設(shè)n1,n2,m1,m2∈N,n1>m1,n2>m2,稱方程組

      (1)

      為第四類切比雪夫型一元二階方程組.

      情況3)同情況2),不贅.

      ③同②,不詳述.

      3.3 第四類切比雪夫型一元三階方程組

      定義3設(shè)n1,n2,n3,m1,m2,m3∈N,n1>m1,n2>m2,n3>m3,稱方程組

      (2)

      為第四類切比雪夫型一元三階方程組.

      情況3).證明同情況2),不贅.

      3.4 第四類切比雪夫型一元r階方程組

      定義4設(shè)ni,mi,∈N,ni>ml,稱方程組

      (3)

      為第四類切比雪夫型一元r階方程組.

      且2mi+2ri+2=ds(2si+1),i∈Z(t+1,2r).

      證明

      3.5 第四類切比雪夫型一元高階方程組的應(yīng)用

      例3方程組

      例4方程組

      中,a11=5,b21=5,b31=15,a12=21,b22=8,b32=22,故d1=(5,5,15)=5,d8=(21,8,22).

      [1] 吳康,龍開奮.關(guān)于切比雪夫多項(xiàng)式的一些研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2006(3):27-30.

      [2] 凌明燦.第一類切比雪夫多項(xiàng)式方程的重根規(guī)律[J].五邑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013(5):13-15.

      [3] 凌明燦.第二類切比雪夫型和式方程的研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012(12):11-13.

      [4] 凌明燦.一類切比雪夫型方程組的通解[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012(12):46-49.

      [5] 吳蘭.關(guān)于四類切比雪夫多項(xiàng)式的研究[D].廣州:華南師范大學(xué),2014.

      [6] 王中德.兩類新的切比雪夫多項(xiàng)式[J].北京郵電學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1989(12):46-54.

      GeneralSolutionsoftheForthKindofChebyshevEquations

      CAO Jiarui, WU Kang

      (SchoolofMathematics,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

      The forth kind of Chebyshev equations with one unknown are defined. Get the general solutions of the two-order and high-order equations by pairing each root of equation.

      Chebyshev equations; the forth kind; high-order; pair; general solutions

      2017-05-06

      華南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016LKXM71)

      曹嘉芮(1994—),女,福建長汀人,華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.

      10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.005

      O15

      A

      1007-0834(2017)03-0023-06

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