曹嘉芮, 吳 康
(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)
第四類切比雪夫型方程組的通解
曹嘉芮, 吳 康
(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)
定義了第四類切比雪夫型一元方程(組),通過各個方程根的兩兩配對,得到二階乃至高階方程組通解的表達(dá)形式.
切比雪夫型方程(組);第四類;高階;配對;通解
第一類切比雪夫多項(xiàng)式(Tn(x))和第二類切比雪夫多項(xiàng)式(Un(x))是以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫的名字命名的特殊函數(shù),起源于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式,是當(dāng)前研究的一個熱點(diǎn),并得到了廣泛應(yīng)用.目前對第一至第三類切比雪夫型方程組的通解[1-4]有一定的研究,但對第四類切比雪夫方程組的通解問題尚未研究,本文基于切比雪夫多項(xiàng)式的實(shí)用性,對第四類切比雪夫型方程(組)進(jìn)行深入的研究.
第四類切比雪夫多項(xiàng)式序列{Wn(x)}定義[5-6]為
其中n∈N,x∈R,且x<1,Wn(x)稱為第n個第四類切比雪夫多項(xiàng)式.
證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.
當(dāng)m=2時,由引理1知命題成立;
證明由數(shù)學(xué)歸納法證明.
當(dāng)m=2時,由引理2知命題成立.
當(dāng)m=n+1時,
又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,rn+1).則
又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,2rn+1+1).
綜上,命題成立.
3.1 第四類切比雪夫型方程
定義1設(shè)n,m∈N,n>m,稱方程Wn(x)=Wm(x)為第四類切比雪夫型一元方程.
3.2 第四類切比雪夫型一元二階方程組
定義2設(shè)n1,n2,m1,m2∈N,n1>m1,n2>m2,稱方程組
(1)
為第四類切比雪夫型一元二階方程組.
情況3)同情況2),不贅.
③同②,不詳述.
3.3 第四類切比雪夫型一元三階方程組
定義3設(shè)n1,n2,n3,m1,m2,m3∈N,n1>m1,n2>m2,n3>m3,稱方程組
(2)
為第四類切比雪夫型一元三階方程組.
情況3).證明同情況2),不贅.
3.4 第四類切比雪夫型一元r階方程組
定義4設(shè)ni,mi,∈N,ni>ml,稱方程組
(3)
為第四類切比雪夫型一元r階方程組.
且2mi+2ri+2=ds(2si+1),i∈Z(t+1,2r).
證明
3.5 第四類切比雪夫型一元高階方程組的應(yīng)用
例3方程組
例4方程組
中,a11=5,b21=5,b31=15,a12=21,b22=8,b32=22,故d1=(5,5,15)=5,d8=(21,8,22).
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GeneralSolutionsoftheForthKindofChebyshevEquations
CAO Jiarui, WU Kang
(SchoolofMathematics,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)
The forth kind of Chebyshev equations with one unknown are defined. Get the general solutions of the two-order and high-order equations by pairing each root of equation.
Chebyshev equations; the forth kind; high-order; pair; general solutions
2017-05-06
華南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016LKXM71)
曹嘉芮(1994—),女,福建長汀人,華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.
10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.005
O15
A
1007-0834(2017)03-0023-06