劉凱園

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610031)

基于撓度理論對懸索橋進(jìn)行豎向偏心荷載作用下的求解

劉凱園

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610031)

文章基于撓度理論，在撓度理論所作的各種假定前提下，推導(dǎo)并獲得了在偏心荷載作用下，加勁梁的扭轉(zhuǎn)變形微分方程組，并介紹了求解方法和步驟。以一座懸索橋?yàn)槔謩e采用撓度理論和有限元方法進(jìn)行求解，并對兩種計(jì)算方法的結(jié)果進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)采用撓度理論在計(jì)算扭轉(zhuǎn)變形方面保持了足夠的計(jì)算精度。

撓度理論； 扭轉(zhuǎn)變形； 有限元法

大跨度懸索橋在扭轉(zhuǎn)荷載或偏心荷載作用下，加勁梁將作為主要的受力構(gòu)件。扭轉(zhuǎn)荷載是由于荷載的偏心產(chǎn)生的，即荷載作用線不經(jīng)過橫截面的剪切中心[1]。以往計(jì)算偏載效應(yīng)的方法是應(yīng)用杠桿原理將豎向偏載分配到兩側(cè)吊桿，然后分別對兩側(cè)作豎向的平面結(jié)構(gòu)分析，或者將豎向荷載乘一個(gè)考慮偏載效應(yīng)的放大系數(shù)，只作一個(gè)平面結(jié)構(gòu)分析，不進(jìn)行扭轉(zhuǎn)分析，這種方法沒有對結(jié)構(gòu)抵抗扭矩的截面特性作出要求。

1 撓度理論

撓度理論[1-2]的一般假定為：(1)恒載沿跨度均勻分布，無活載狀態(tài)下主纜線型為拋物線；(2)加勁梁沿跨度等直；(3)吊桿假設(shè)為均勻分布的膜；(4)所有材料符合胡克定律(圖1)。

圖1 撓度理論采用的模型

在上述的假定下，主纜在恒載狀態(tài)下的線形方程為：

如果在上述四個(gè)假定的基礎(chǔ)上，不考慮吊桿的伸縮和傾斜，也不考慮主纜的縱向水平位移，忽略加勁梁的剪切變形，在外荷載p的作用下，荷載集度由qc變?yōu)閝p，加勁梁和主纜產(chǎn)生的豎向撓度為v，主纜的水平拉力由Hq變?yōu)镠q+Hp，假設(shè)加勁梁的EI常數(shù)，可以得到加勁梁的平衡方程為：

EIviv-(Hq+Hp)v″=p(x)+Hpy″

上式就是古典撓度理論的平衡微分方程，該方程是非線性的，有兩個(gè)未知數(shù)即Hp和v，還需要一個(gè)方程才能進(jìn)行求解，撓度理論的纜索相容方程為：

2 扭轉(zhuǎn)理論

在豎向偏載作用下(圖2)，加勁梁的平衡方程為：

圖2 偏載作用下加勁梁斷面位移

式中：Hp是豎向撓度為v時(shí)的活載纜力；HL和HR分別為加勁梁扭轉(zhuǎn)引起的左右主纜的附加水平拉力，它們兩個(gè)相對于Hp和Hq小很多，可以認(rèn)為有關(guān)系為HL=-HR?？梢钥闯鰜韛和θ呈現(xiàn)出了非線性耦合關(guān)系。

應(yīng)用閉口截面薄壁桿件烏曼斯基約束扭轉(zhuǎn)理論，獲得關(guān)于加勁梁扭轉(zhuǎn)角的微分方程[3]如下：

上式中有四個(gè)未知量，分別為豎向撓度v、加勁梁扭轉(zhuǎn)角θ、活載引起的主纜水平分力Hp和加勁梁扭轉(zhuǎn)引起的主纜附加水平分力HL。另外左右主纜的相容條件方程為：

建立這樣的方程考慮了加勁梁的扭轉(zhuǎn)角θ與豎向撓度v的非線性耦合。上述四個(gè)方程四個(gè)未知量，該方程是一個(gè)高階的非線性耦合的方程組，目前還沒有一個(gè)好的方法來進(jìn)行求解。下面將對方程進(jìn)行一定的近似簡化，并進(jìn)行求解。

如果扭轉(zhuǎn)角θ和撓曲v之間的耦合不是很顯著的話，將扭轉(zhuǎn)角θ和加勁梁的撓曲v認(rèn)為是獨(dú)立的，bHLv″是小量而可以忽略不計(jì)，從而有：

EIviv-(Hq+Hp)v″=p(x)+Hpy″

EIviv-Nvv″=qv

采用等代梁法[4-7]對上面兩式進(jìn)行求解，假設(shè)在梁上作用均布荷載，那么上面兩個(gè)方程的解為：

迭代的基本流程如下圖3所示。

圖3 迭代求解基本流程

3 實(shí)例介紹

以某大跨度懸索橋?yàn)閷?shí)例，分別采用撓度理論和有限元法來研究懸索橋的靜力扭轉(zhuǎn)特性。該橋是主跨1 700 m的單跨懸索橋，主桁為華倫式桁架，主跨的矢跨比為1/9，主跨纜索的矢度為188.889 m，主橋總體布置如圖4所示。撓度理論和有限元法計(jì)算需要的參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖4 主橋總體布置(單位:m)

該橋荷載等級(jí)是城市A-級(jí)，上層橋面6車道，下層橋面4車道，計(jì)算時(shí)，荷載除了考慮自重之外，只是計(jì)入車道荷載。各個(gè)荷載工況如表2所示，在多線車道荷載加載的時(shí)候考慮了橫向和縱向的折減。

4 有限元法求解

相比于有限元方法，由于撓度理論采用了各種理想化的假設(shè)，因此計(jì)算的結(jié)果會(huì)有較大的誤差，尤其是在懸索橋的跨度較大的情況下，因此有必要運(yùn)用有限元的方法進(jìn)行計(jì)算求解，與撓度理論的計(jì)算結(jié)果做一個(gè)比較。這里采用有限元分析軟件Ansys建立了全橋分析模型(圖5)。

工況1與工況2、工況3與工況4、5、6、工況7與工況8豎向荷載合力大小是相等的，圖6顯示求出的加勁梁的撓度基本上一致的。工況1與工況7的扭轉(zhuǎn)大小相等，圖7顯示求出來的扭轉(zhuǎn)變形一致。這說明了扭轉(zhuǎn)變形與豎向變形之間是相互獨(dú)立的，進(jìn)一步證明了采用撓度理論計(jì)算偏載荷載下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，將扭轉(zhuǎn)變形和豎向變形分開并獨(dú)立進(jìn)行分析是合理的。

表 2 荷載工況

圖5 全橋有限元分析模型

圖6 加勁梁豎向撓度

圖7 加勁梁扭轉(zhuǎn)變形

5 撓度理論與有限元法計(jì)算結(jié)果對比

從圖8和表3可以看出，對于豎向撓度的計(jì)算，有限元法和撓度理論的計(jì)算結(jié)果有較大的差異，在跨中位置處，兩者的比例最大達(dá)到了2.53。而圖9和表4則顯示了兩種方法求得的扭轉(zhuǎn)角的計(jì)算結(jié)果比較接近，兩者的最大比例為1.32。造成這樣的結(jié)果可以這樣理解：由于在撓度理論中為簡化計(jì)算而做出了一些假定，忽略了主纜的縱向水平位移以及吊桿的傾斜和拉伸，有計(jì)算結(jié)果表明，主纜在靠近橋塔位置處會(huì)發(fā)生較大的指向跨中位置的水平縱向位移，并且由橋塔到跨中逐漸減小為零，加勁梁與纜索之間的位移協(xié)調(diào)導(dǎo)致了有限元求得的加勁梁豎向位移要大于撓度理論的計(jì)算結(jié)果，而在計(jì)算加勁梁的扭轉(zhuǎn)變形方面，橫截面的計(jì)算是根據(jù)加勁梁兩側(cè)桁架的豎向位移差除以橋面寬度獲得的，正好抵消了由于主纜縱向位移導(dǎo)致的加勁梁豎向位移的增大，因此兩種計(jì)算方法的結(jié)果比較接近。

圖8 加勁梁豎向撓度對比

圖9 加勁梁扭轉(zhuǎn)變形對比

6 結(jié)論

在采用撓度理論對懸索橋進(jìn)行偏心荷載的結(jié)構(gòu)分析時(shí)，為了求解的簡化，假設(shè)豎向撓曲和扭轉(zhuǎn)變形的非線性耦合作用比較弱，將它們看作是兩個(gè)相互獨(dú)立的函數(shù)進(jìn)行求解，有限元的計(jì)算結(jié)果證明了這種假設(shè)的合理性，加勁梁的豎向位移只與豎向荷載的合力大小有關(guān)，扭轉(zhuǎn)變形只與外荷載的扭矩大小有關(guān)。

表 3 豎向撓度對比

表4 偏載工況下扭轉(zhuǎn)角對比

在對懸索橋全橋進(jìn)行靜力分析方面，與有限元方法相比，撓度理論在計(jì)算公式推導(dǎo)時(shí)做出了各種假定，特別是忽略了纜索的水平位移和吊桿的傾斜、拉伸，導(dǎo)致了求得的加勁梁的豎向撓曲有較大的誤差，但是獲得的扭轉(zhuǎn)變形的計(jì)算結(jié)果的一致性較高。

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[定稿日期]2017-05-22