江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級中學(xué) 陳生虎 馮中芹

從一道題看高中生解析幾何運算的常見錯誤

江蘇省蘇州市吳中區(qū)甪直高級中學(xué) 陳生虎 馮中芹

心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富成效的學(xué)習(xí)時刻。”在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師抓住學(xué)生的錯誤根源，利用好錯誤的根源，必然會提高教師的日常教學(xué)效率，使得學(xué)生的成績得到真正的提高。

在很多數(shù)學(xué)考試中我們發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生雖然寫得滿滿的，但是分?jǐn)?shù)很低。一般情況下，學(xué)生能將卷子寫得滿滿的，說明他們對于知識的掌握程度還是可以的，那問題出在哪里呢？教學(xué)實踐表明，學(xué)生往往是在計算上出了問題。

解析幾何一直是高考解答題必考題，在江蘇高考試卷中位于18或19題的位置，滿分分值為16分，一般都有2～3小問。第一問一般比較簡單，最后一問都較難，屬于難題。學(xué)生怕做解析幾何題，主要原因是解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，而用代數(shù)方法就意味著要計算，從最近幾年流行的直線與橢圓問題來看，計算量在逐年提高，需要學(xué)生有很強(qiáng)的計算能力，使得學(xué)生對解析幾何的解答題產(chǎn)生了畏懼心理，怕算，很難得到滿分。那么為什么學(xué)生計算能力差呢？

最近，筆者所任教的學(xué)校組織了高二年級12月份摸底考試，數(shù)學(xué)試卷的19題為：

已知橢圓C：

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m。證明2m-k為定值。

考試結(jié)束后，筆者發(fā)現(xiàn)這道題并不是很難，但是學(xué)生的得分率很低。這道題共16分，絕大部分學(xué)生得到了第（1）小問的4分，第二小問答對的非常少，筆者詢問了本班的學(xué)生，大部分說“第（2）小問我會做，但是時間不夠，來不及運算，計算量太大、太復(fù)雜”，真的是“太復(fù)雜”嗎？為此，筆者進(jìn)行了調(diào)查研究。

一、研究方法

1.問卷編制：問卷分四部分：是否完全算出結(jié)果、做題時間、計算的步數(shù)、寫出計算出錯的步驟，最終形成調(diào)查問卷。

2.調(diào)查方法：觀察法、文獻(xiàn)分析、調(diào)查問卷與個別訪談相結(jié)合。

3.數(shù)據(jù)統(tǒng)計：調(diào)查共發(fā)放問卷300份，收回275份，有效問卷250份。

二、調(diào)查過程

1.制定周密、合理的調(diào)查問卷。

2.發(fā)放調(diào)查問卷，在甪直高級中學(xué)各班級發(fā)放調(diào)查問卷，以達(dá)到調(diào)查的普遍性。

3.回收調(diào)查問卷。

4.收集數(shù)據(jù)并進(jìn)行統(tǒng)計。

三、學(xué)生常見計算錯誤分析

解答本題的常規(guī)思路是，由給出BP的斜率為k和點B(2，0)寫出直線BP的方程；再聯(lián)立直線BP與橢圓方程，化簡得到點P坐標(biāo)，從而求出直線DP的方程；緊接著根據(jù)直線DP的方程求出點N坐標(biāo)；聯(lián)立直線BP與直線AD的方程得到點M坐標(biāo)；最終由M、N兩點坐標(biāo)得出結(jié)論。

（2）因為B（2,0），P不為橢圓的頂點，則直線BP的方程為

則2m-k=為定值。

1.過分追求計算速度，“跳步”現(xiàn)象嚴(yán)重

2.懼怕帶字母的運算，信心不足

學(xué)生2 算出P點坐標(biāo)為出現(xiàn)了k3，他們認(rèn)為接下來的運算肯定進(jìn)行不了，其實P點坐標(biāo)為沒有出現(xiàn)k3，是他沒有通分化簡。這種現(xiàn)象在學(xué)生中很普遍，很多學(xué)生對帶字母的代數(shù)式運算能力差，遇到三次或者三次以上的代數(shù)式無法正確運算。另外，因為高中數(shù)學(xué)計算量比初中大，對高二解析幾何學(xué)習(xí)缺乏自信心，遇到解析幾何解答題就沒有信心算下去。

3.對代數(shù)式子結(jié)構(gòu)分析能力差

四、對解析幾何有關(guān)運算教學(xué)的幾點看法

解析幾何一直是高考的重點，師生都非常重視，但是學(xué)生常常感覺似懂非懂，解題出錯率高。結(jié)合以上的分析，筆者對解析幾何的運算教學(xué)提出幾點看法：

1.注重基礎(chǔ)運算教學(xué)

本文中試題的參考答案是基本方法，學(xué)生容易理解，但是運算量偏大，很多學(xué)生不敢下筆，從這一方面說明我們教學(xué)中應(yīng)該重視基礎(chǔ)運算，特別是帶字母的代數(shù)式計算。其中主要包括點與點、點與直線的距離，直線中交點、斜率的計算，解方程組等等。筆者認(rèn)為，教師在平時教學(xué)時，一定不能過分強(qiáng)調(diào)特殊技巧的運算，要注重基礎(chǔ)運算。

2.注重計算過程，加強(qiáng)訓(xùn)練

對于很多學(xué)生來說，一講就會，一做就錯。很多教師都有這樣的經(jīng)歷：將學(xué)生聽懂、訂正過的一道解析幾何題目再讓學(xué)生做一遍，結(jié)果只有一部分同學(xué)能完成，很大一部分原因在計算上。在平時練習(xí)中，要有針對性地進(jìn)行計算訓(xùn)練。在平時上課時，運算過程要由學(xué)生自己完成，而不是老師板書。有句話說得好：“看老師講10道題也不及自己親手做一道題?！庇龅阶詈笠粏枙r，不能讓學(xué)生等著老師運算，只有不斷地訓(xùn)練，才能提高運算能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生分析代數(shù)式子結(jié)構(gòu)的能力

在日常教學(xué)中，不能盲目地讓學(xué)生算，要培養(yǎng)學(xué)生對代數(shù)式子的觀察能力，特別是在含字母的代數(shù)式計算過程中，要邊計算邊觀察能否進(jìn)行因式分解、約分。教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生合理地運算。在教學(xué)過程中要以幾何方法為輔助，比如圓的性質(zhì)等重要的幾何性質(zhì)，能給計算帶來很大的簡便。

4.在教學(xué)過程中要體現(xiàn)“教”學(xué)生運算

有專家指出，學(xué)生計算上的錯誤是教師在教學(xué)中的財富。教師不能漠視學(xué)生在解析幾何計算中錯誤的出現(xiàn)，珍視學(xué)生的計算錯誤，正確善待這些錯誤，會讓每一位教師的教學(xué)開拓出一片新的天地。