有界單連通區(qū)域上解析逆緊映射的拓?fù)涠?/h1>
2017-11-28 12:08戴作科董新漢
湖南師范大學(xué)學(xué)報·自然科學(xué)版 2017年5期
戴作科+董新漢
摘 要 設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，假設(shè)f是Ω到G的解析逆緊映射. 通過將單連通區(qū)域提升至單位圓盤，本文得到了G的邊界點(diǎn)的分支數(shù)和其逆象點(diǎn)分支數(shù)之間的等式關(guān)系，并討論了f的拓?fù)涠群湍嫦簏c(diǎn)個數(shù)之間的不等式關(guān)系.
關(guān)鍵詞 割點(diǎn)；拓?fù)涠?；分支?shù)
中圖分類號 G420； O174.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2017）05-0077-03
Topological Degree of Proper Holomorphic Mapping on Bounded Simply Connected Domains
DAI Zuo-ke， DONG Xin-han
（College of Mathematics and Computer Science， Hunan Normal University， Changsha 410081， China）
Abstract Letting Ω and G be two simply connected domains with locally connected boundary， letting f be a proper holomorphic mapping from Ω onto G， and lifting Ω and G onto unit discs， in this work， we have obtained the equality relationship between component numbers of the point on G and those of its different inverse image points on G. The inequality relationship between the topological degree of f and the number of the different inverse image points is also obtained and discussed.
Key words cut point； topological degree； component number
假設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，令Ω和G分別為X和Y中的兩個子集，f：Ω→G為一個連續(xù)映射，如果G中每個緊子集的逆象集都是Ω中的緊集，則稱f是Ω到G的逆緊映射[1]. 在分形幾何與復(fù)分析的交叉研究中[2-6]，Cantor邊界性質(zhì)的專題研究必須借助全純逆緊映射的性質(zhì). 對一般解析函數(shù)（非逆緊），其定義域邊界的象集分全平面C為若干個連通分支，則相關(guān)連通分支的個數(shù)、拓?fù)涠群团袆e點(diǎn)個數(shù)又緊密聯(lián)系著. 著名的Riemann-Hurwitz公式闡述了這個聯(lián)系[7]. 為了更深入揭示Cantor邊界性質(zhì)中Cantor集C的性質(zhì)，我們需要邊界上割點(diǎn)的重數(shù)[8]和連通分支上的拓?fù)涠戎g的聯(lián)系. 本文的目的就是刻畫這種聯(lián)系，至于它的應(yīng)用我們將另文給出.
多于一點(diǎn)的連通緊集稱為連續(xù)統(tǒng)，它包含有不可數(shù)多個點(diǎn). 令E為一個局部連通的連續(xù)統(tǒng)，對于a∈E，如果E＼{a}不連通，則稱a為E的割點(diǎn)[8]. 令Ω為一個有界的區(qū)域，記由在Ω上解析且在上連續(xù)的函數(shù)構(gòu)成的空間為A（Ω），賦予上確界范數(shù)，A（Ω）是一個Banach空間. 對于FΩ，記方程f（z）=w在F中的根的個數(shù)為nf（w，F(xiàn)），根的個數(shù)按重數(shù)計算.
參考文獻(xiàn)：
[1] RUDIN W. Function theory in the unit ball of Cn [M]. New York： Springer Verlag， 1980.
[2] DONG X H， LAU K S. Cantor boundary behavior of analytic functions. Recent development in fractals and related fields[J]. Birkhuser， 2010，232（1）：283-294.
[3] DONG X H， LAU K S， LIU J C. Cantor boundary behavior of analytic functions[J]. Adv Math， 2013，232（1）：543-570.
[4] DONG X H， LAU K S， WU H H. Cauchy transform of self-similar measures： Starlikeness and univalence[J]. Trans Am Math Soc， 2017，369（7）：4817-4842.
[5] DONG X H， LAU K S. Cauchy transforms of self-similar measures： the Laurent coefficients[J]. J Funct Anal， 2003，202（1）：67-97.
[6] DONG X H， LAU K S. An integral related to the Cauchy transform on the Sierpinski gasket[J]. Exp Math， 2004，13（4）：415-419.
[7] TEINMETZ N S. The formula of Riemann-Hurwitz and iteration of rational functions[J]. Complex Variables Theory Appl， 1993，22（3）：203-206.
[8] POMMERENKE C. Boundary behaviour of conformal maps [M]. New York：Springer Verlag， 1992.endprint
戴作科+董新漢
摘 要 設(shè)Ω和G都是邊界局部連通的有界單連通區(qū)域，假設(shè)f是Ω到G的解析逆緊映射. 通過將單連通區(qū)域提升至單位圓盤，本文得到了G的邊界點(diǎn)的分支數(shù)和其逆象點(diǎn)分支數(shù)之間的等式關(guān)系，并討論了f的拓?fù)涠群湍嫦簏c(diǎn)個數(shù)之間的不等式關(guān)系.
關(guān)鍵詞 割點(diǎn)；拓?fù)涠?；分支?shù)
中圖分類號 G420； O174.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2017）05-0077-03
Topological Degree of Proper Holomorphic Mapping on Bounded Simply Connected Domains
DAI Zuo-ke， DONG Xin-han
（College of Mathematics and Computer Science， Hunan Normal University， Changsha 410081， China）
Abstract Letting Ω and G be two simply connected domains with locally connected boundary， letting f be a proper holomorphic mapping from Ω onto G， and lifting Ω and G onto unit discs， in this work， we have obtained the equality relationship between component numbers of the point on G and those of its different inverse image points on G. The inequality relationship between the topological degree of f and the number of the different inverse image points is also obtained and discussed.
Key words cut point； topological degree； component number
假設(shè)X和Y是兩個拓?fù)淇臻g，令Ω和G分別為X和Y中的兩個子集，f：Ω→G為一個連續(xù)映射，如果G中每個緊子集的逆象集都是Ω中的緊集，則稱f是Ω到G的逆緊映射[1]. 在分形幾何與復(fù)分析的交叉研究中[2-6]，Cantor邊界性質(zhì)的專題研究必須借助全純逆緊映射的性質(zhì). 對一般解析函數(shù)（非逆緊），其定義域邊界的象集分全平面C為若干個連通分支，則相關(guān)連通分支的個數(shù)、拓?fù)涠群团袆e點(diǎn)個數(shù)又緊密聯(lián)系著. 著名的Riemann-Hurwitz公式闡述了這個聯(lián)系[7]. 為了更深入揭示Cantor邊界性質(zhì)中Cantor集C的性質(zhì)，我們需要邊界上割點(diǎn)的重數(shù)[8]和連通分支上的拓?fù)涠戎g的聯(lián)系. 本文的目的就是刻畫這種聯(lián)系，至于它的應(yīng)用我們將另文給出.
多于一點(diǎn)的連通緊集稱為連續(xù)統(tǒng)，它包含有不可數(shù)多個點(diǎn). 令E為一個局部連通的連續(xù)統(tǒng)，對于a∈E，如果E＼{a}不連通，則稱a為E的割點(diǎn)[8]. 令Ω為一個有界的區(qū)域，記由在Ω上解析且在上連續(xù)的函數(shù)構(gòu)成的空間為A（Ω），賦予上確界范數(shù)，A（Ω）是一個Banach空間. 對于FΩ，記方程f（z）=w在F中的根的個數(shù)為nf（w，F(xiàn)），根的個數(shù)按重數(shù)計算.
參考文獻(xiàn)：
[1] RUDIN W. Function theory in the unit ball of Cn [M]. New York： Springer Verlag， 1980.
[2] DONG X H， LAU K S. Cantor boundary behavior of analytic functions. Recent development in fractals and related fields[J]. Birkhuser， 2010，232（1）：283-294.
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[6] DONG X H， LAU K S. An integral related to the Cauchy transform on the Sierpinski gasket[J]. Exp Math， 2004，13（4）：415-419.
[7] TEINMETZ N S. The formula of Riemann-Hurwitz and iteration of rational functions[J]. Complex Variables Theory Appl， 1993，22（3）：203-206.
[8] POMMERENKE C. Boundary behaviour of conformal maps [M]. New York：Springer Verlag， 1992.endprint
