魏偉一，文雅宏

(西北師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

一種精英反向?qū)W習(xí)的螢火蟲優(yōu)化算法

魏偉一，文雅宏

(西北師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

為了提高傳統(tǒng)螢火蟲算法的收斂速度和求解精度，提出了一種精英反向?qū)W習(xí)的螢火蟲優(yōu)化算法。通過(guò)反向?qū)W習(xí)策略構(gòu)造精英群體，在精英群體構(gòu)成的區(qū)間上求普通群體的反向解，增加了群體的多樣性，提高了算法的收斂速度；同時(shí)，為了避免最優(yōu)個(gè)體陷入局部最優(yōu)，使整個(gè)群體在搜索過(guò)程中出現(xiàn)停滯，提出了差分演化變異策略；最后，提出了一種線性遞減的自適應(yīng)步長(zhǎng)來(lái)平衡算法的開發(fā)能力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，算法在收斂速度和收斂精度上有更好的效果。

螢火蟲算法；精英反向?qū)W習(xí)；優(yōu)化算法；精英群體；反向解；反向?qū)W習(xí)策略；差分演化變異；自適應(yīng)步長(zhǎng)

螢火蟲算法(firefly algorithm，F(xiàn)A)是受自然界中螢火蟲發(fā)光特性的啟發(fā),由劍橋?qū)W者Yang于2008年提出的一種群體智能隨機(jī)優(yōu)化算法[1-5]。在多個(gè)科學(xué)與工程領(lǐng)域中，螢火蟲算法已得到成功的應(yīng)用[6-9]，雖然FA表現(xiàn)出了良好的性能，但在一些問(wèn)題的優(yōu)化上，螢火蟲算法依然存在收斂速度慢、解的精度不高、容易陷入局部最優(yōu)等不足。近年來(lái)，很多學(xué)者已經(jīng)進(jìn)行了多角度的改進(jìn)。文獻(xiàn)[10]為了解決螢火蟲算法過(guò)早地收斂和陷入局部最優(yōu)的不足，利用廣義反向?qū)W習(xí)策略來(lái)優(yōu)化螢火蟲算法。文獻(xiàn)[11]采用正交學(xué)習(xí)策略改進(jìn)FA算法,利用精英螢火蟲來(lái)構(gòu)造指導(dǎo)向量,通過(guò)指導(dǎo)向量引導(dǎo)群體向全局最優(yōu)區(qū)域移動(dòng)。文獻(xiàn)[12]提出基于蛙跳的螢火蟲算法,在原始的FA算法中引入蛙跳算法中的分群。同時(shí)，為了加強(qiáng)算法的局部開發(fā)能力，引入了模擬退火的思想。該算法對(duì)于高維多模態(tài)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，表現(xiàn)得還不夠理想。文獻(xiàn)[13]提出了一種基于多種群學(xué)習(xí)機(jī)制的螢火蟲優(yōu)化算法，把螢火蟲分為不同的子群，同時(shí)，子群建立學(xué)習(xí)機(jī)制，實(shí)現(xiàn)不同子群間的信息交流，完成局部和全局的尋優(yōu)。文獻(xiàn)[14]引入模式搜索思想，把FA算法與模式搜索相結(jié)合，F(xiàn)A算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，模式搜索具有較好的局部搜索能力，利用兩者的優(yōu)勢(shì)來(lái)提高FA算法的性能。文獻(xiàn)[15]針對(duì)高維問(wèn)題，提出了多維反向?qū)W習(xí)的螢火蟲算法，用反向?qū)W習(xí)策略初始化螢火蟲種群。同時(shí)，用基于多維的方法更新不同維度上螢火蟲的位置。算法在收斂速度和精度上比原始螢火蟲算法更優(yōu)。

以上文獻(xiàn)雖然對(duì)FA算法做了很好的改進(jìn)，但是在收斂速度和精度上還不夠理想，為了更好地提高FA算法的收斂速度和收斂精度，本文基于文獻(xiàn)[16]利用精英反向?qū)W習(xí)策略來(lái)改進(jìn)差分演化算法的思想，提出了一種精英反向?qū)W習(xí)的螢火蟲算法，在文獻(xiàn)[16]中，通過(guò)設(shè)置一個(gè)參數(shù)來(lái)選取精英個(gè)體，而本文根據(jù)原解和反向解適應(yīng)度值的大小選取精英個(gè)體，這樣能更充分地利用精英群體的良好信息，提高算法的收斂速度。同時(shí)，本文采用了差分演化策略(differential evolutionary mutation)來(lái)增強(qiáng)算法的局部搜索能力。最后，為了增強(qiáng)和平衡算法的開發(fā)能力，本文提出了一種線性遞減的自適應(yīng)步長(zhǎng)。在5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并和多個(gè)改進(jìn)的FA算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。結(jié)果表明，本文算法在收斂速度和收斂精度上更好。

1 螢火蟲算法(FA)

FA是受自然界中螢火蟲個(gè)體通過(guò)發(fā)光來(lái)吸引同伴求偶或覓食行為的啟發(fā)而提出的一種元啟發(fā)式算法[1-2]，螢火蟲之間相互吸引以及位置迭代更新的過(guò)程是搜索和優(yōu)化的過(guò)程。尋找最亮螢火蟲的問(wèn)題是求解最優(yōu)值的問(wèn)題，不斷用最好的位置替換較差的位置來(lái)完成整個(gè)搜索過(guò)程。在一定的搜索區(qū)域內(nèi)所有發(fā)光弱的螢火蟲向發(fā)光強(qiáng)的螢火蟲移動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)位置尋優(yōu)[17]。每個(gè)螢火蟲被看作一個(gè)個(gè)體，個(gè)體主要有“位置、亮度、吸引度”等屬性，有兩個(gè)重要的影響因子，即亮度I和吸引度β。亮度高說(shuō)明其所處位置好，并吸引亮度低的個(gè)體向其靠近。吸引度高則螢火蟲移動(dòng)的距離大。從FA開始,螢火蟲的個(gè)體隨機(jī)地分布在指定的局域內(nèi)，個(gè)體的亮度由目標(biāo)函數(shù)決定。

設(shè)I0表示螢火蟲個(gè)體的固有亮度，γ為介質(zhì)的光亮度吸收系數(shù)，rij為任意兩個(gè)個(gè)體i和j的相對(duì)距離(一般使用歐氏距離)，β0為螢火蟲個(gè)體固有吸引度，隨距離r變化的個(gè)體光強(qiáng)度I表示為

則螢火蟲i與螢火蟲j之間的相互吸引力計(jì)算公式為

設(shè)xi(t)和xj(t)分別表示螢火蟲i和j在t時(shí)刻的位置，則兩者之間的距離計(jì)算公式為

螢火蟲i向螢火蟲j移動(dòng)，其位置更新方程為

式中：xi+1(t+1)表示螢火蟲i在t+1時(shí)刻的位置；α∈[0,1]，表示步長(zhǎng)因子。

2 精英反向?qū)W習(xí)的螢火蟲算法

2.1 反向?qū)W習(xí)策略

反向?qū)W習(xí)策略是近年來(lái)計(jì)算智能領(lǐng)域出現(xiàn)的新概念[18-19]，其主要思想是對(duì)一個(gè)問(wèn)題的可行解，求其反向解，并對(duì)原解和反向解進(jìn)行評(píng)估，從中選出較優(yōu)的解作為下一代個(gè)體。其中反向點(diǎn)和反向解的定義如下。

式中：a(t)=min(xij(t))，b(t)=max(xij(t))為當(dāng)前搜索區(qū)域的最小值和最大值，其隨著迭代的改變，而發(fā)生變化；i∈[1,n]，j∈[1,D]；n是種群大??；D是解空間的維數(shù)；k是介于0～1的隨機(jī)數(shù)。

2.2 精英反向?qū)W習(xí)

反向解的引入，可以擴(kuò)大算法的搜索區(qū)域，但對(duì)那些原解適應(yīng)度值大于反向解適應(yīng)度值的個(gè)體，對(duì)其進(jìn)行反向區(qū)域的搜索，浪費(fèi)時(shí)間，則應(yīng)加強(qiáng)其領(lǐng)域搜索。而對(duì)原解適應(yīng)度值小于反向解適應(yīng)度值的個(gè)體，對(duì)其進(jìn)行反向區(qū)域的搜素價(jià)值要高于其領(lǐng)域的開發(fā)價(jià)值。因此，本文將原解適應(yīng)度值小于反向解適應(yīng)度值的個(gè)體作為研究對(duì)象，求其反向解，既可以擴(kuò)大搜素區(qū)域，也能有效避免盲目搜索帶來(lái)的時(shí)間浪費(fèi)。

同時(shí)，本文為了提高算法的收斂速度，首先在當(dāng)前解所構(gòu)造的空間中，求所有當(dāng)前解的反向解；然后，通過(guò)比較適應(yīng)度值，選出那些原解適應(yīng)度值大于反向解適應(yīng)度值的個(gè)體組成精英群體；最后，在精英群體構(gòu)造的新的搜索空間上，再求原解適應(yīng)度值小于反向解適應(yīng)度值的個(gè)體的反向解。如果算法能收斂到全局最優(yōu)解，則精英群體所形成的搜索區(qū)間必將收斂到最優(yōu)解所在的區(qū)域[16]，這樣充分利用了精英群體的有效信息，在精英群體所構(gòu)成的動(dòng)態(tài)定義區(qū)間上生成反向解，引導(dǎo)搜索向最優(yōu)解靠近。

定義4 精英反向解(elite opposite solution)[18]。設(shè)xij為普通個(gè)體xi在j維上的值，則其反向解可定義為

式中：k是介于0～1的隨機(jī)數(shù)；aj(t)=min(N1j(t),N2j(t),…,Npj(t))；bj(t)=max(N1j(t),N2j(t),…,Npj(t))。[aj(t),bj(t)]為精英群體所構(gòu)造的區(qū)間，當(dāng)反向解越過(guò)邊界[aj(t),bj(t)]時(shí)，可以用下列方式進(jìn)行重置：

2.3 差分演化變異策略

在FA中，群體中的最優(yōu)個(gè)體xbest引導(dǎo)群體向最優(yōu)方向移動(dòng)，如果xbest陷入局部最優(yōu)，群體的移動(dòng)終止，即收斂到局部最優(yōu)，則群體無(wú)法到達(dá)全局最優(yōu)。因此，本文為了求得全局最優(yōu)解，引入差分變異策略，對(duì)xbest進(jìn)行變異操作，使其陷入局部最優(yōu)的概率減小。

本文要對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行變異操作，使其跳出局部最優(yōu)的概率增大，因此選擇“DE/best/1”作為變異操作，公式為

式中：xbest,j為最優(yōu)個(gè)體的第j維；F是縮放系數(shù)；n1、n2是[1,n]上兩個(gè)互不相同的隨機(jī)整數(shù)，代表不同個(gè)體的下標(biāo)；j是維度；cij是變異后的值。

將變異后的個(gè)體和父代個(gè)體進(jìn)行如下交叉操作：

2.4 自適應(yīng)步長(zhǎng)

在原始螢火蟲算法FA中，步長(zhǎng)因子α在每次迭代時(shí)保持不變。但是當(dāng)α取較大的值時(shí)，增強(qiáng)了算法的全局搜索能力，降低了算法的收斂速度和搜索的精度；當(dāng)α取較小的值時(shí)，有利于算法的局部搜索，提高了搜索精度和算法的收斂速度。在算法迭代前期，較大的α有利于算法的全局搜索；在后期，較小的α顯得更有利。因此本文對(duì)α采用動(dòng)態(tài)遞減的方式，計(jì)算公式為

式中t為迭代次數(shù)。

2.5 EOFA算法描述

EOFA算法流程如下。

輸入目標(biāo)函數(shù)和搜索空間；

輸出全局最優(yōu)解和最優(yōu)位置 。

1)初始化參數(shù)m,n,T,α,β,γ，在[m,n]上生成初始種群xi(i=1,2,…,n)。

2)執(zhí)行EOFA算法搜索。

3)把xi(t)(i=1,2,…,n)帶入目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算函數(shù)值，把目標(biāo)函數(shù)的值作為每個(gè)個(gè)體的亮度值Ii(t)。

5)用式(7)在精英個(gè)體構(gòu)成的區(qū)間[aj(t),bj(t)]上計(jì)算普通群體的反向解xi′(t)(i=1,…,n-p)。

6)精英群體和普通群體的反向解群體構(gòu)成當(dāng)前新種群，計(jì)算新種群的亮度，并進(jìn)行排序，選出最優(yōu)的個(gè)體xbest(t)。

7)用式(3)計(jì)算每個(gè)個(gè)體i和最優(yōu)個(gè)體xbest(t)之間的距離Rij(t)。

9)用式(11)計(jì)算α(t)，并用式(9)、(10)對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行位置擾動(dòng)。

10)算法搜索結(jié)束，輸出全局最優(yōu)解和最優(yōu)位置。

若種群的規(guī)模為n，空間維度為D,則種群初始化的時(shí)間復(fù)雜度為O(nD)；從迭代開始到結(jié)束的整個(gè)過(guò)程中，迭代的次數(shù)為t,其中3)是計(jì)算種群的亮度，復(fù)雜度為O(nDt)；4)～9)是建立新的種群，并進(jìn)行位置的更新，復(fù)雜度為O((6n-p)·Dt)，p(p≤n)是精英群體的規(guī)模。因此本文算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nDt)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

3.1 測(cè)試函數(shù)

在仿真實(shí)驗(yàn)中，本文采用下列5個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行測(cè)試。

1) Sphere 函數(shù)

Sphere 函數(shù)為多維單峰值函數(shù)，在點(diǎn)x=(0,0,…,0)處取得極小值0。

2) Rosenbrock 函數(shù)

xi∈(-2.048,2.048)

Rosenbrock函數(shù)為多維病態(tài)二次函數(shù)，在點(diǎn)x=(1,1,…,1)處取得全局極小值0。

3) Ackley 函數(shù)

xi∈(-32.7,32.7)

Ackley函數(shù)為多維多峰值函數(shù)，在點(diǎn)x=(0,0,…,0)處取得全局極小值0。

4) Griewank 函數(shù)

xi∈(-600,600)

Griewank函數(shù)為多維多峰值函數(shù)，在點(diǎn)x=(0,0,…,0)處取得全局極小值0。

5) Rastrigin 函數(shù)

xi∈(-5.12,5.12)

Rastrigin函數(shù)為多維多峰值函數(shù)，在點(diǎn)x=(0,0,…,0)處取得全局極小值0。

3.2EOFA算法的測(cè)試結(jié)果

實(shí)驗(yàn)環(huán)境為:Inter Core(TM) i5-2450M CPU@2.50 GHz，內(nèi)存4 GB，Window7操作系統(tǒng)，MATLAB 7.8.0版本。分別選取標(biāo)準(zhǔn)的FA算法[1]，LFA算法[20]，MFA算法[21]與本文提出的EOFA算法在5種標(biāo)準(zhǔn)的測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)比較，種群規(guī)模n取40，初始α取值為0.98。維度D取10和30，γ=1，MFA算法中方向向量的個(gè)數(shù)m取30，其他參數(shù)分別取T=1 000,β=1。分別記錄4種算法迭代1 000次并在測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行40次的最優(yōu)值、最差值和平均值，結(jié)果如表1所示。

表1 4種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

FA是原始的螢火蟲算法。LFA是根據(jù)Levy分布來(lái)設(shè)置一種隨機(jī)步長(zhǎng)對(duì)傳統(tǒng)螢火蟲算法進(jìn)行改進(jìn)，其主要優(yōu)點(diǎn)是算法收斂到局部最優(yōu)的概率降低。MFA算法是從隨機(jī)生成的方向向量中選擇使種群進(jìn)化到最優(yōu)的方向向量，方向向量的個(gè)數(shù)對(duì)算法的性能有很大的影響，數(shù)量越大，算法收斂性越好。由表1可知，EOFA、LFA和MFA算法在10維和30維函數(shù)上都優(yōu)于FA算法。本文提出的EOFA 算法在5種測(cè)試函數(shù)上的函數(shù)值都小于FA、LFA、MFA算法在測(cè)試函數(shù)上的值，即EOFA算法的收斂性更好，在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上EOFA算法的求解精度比其他3種算法都高。

為了更好地驗(yàn)證EOFA算法的有效性，本文用圖描述4種算法的收斂性，由于受篇幅的限制，僅給出4個(gè)代表性的函數(shù)收斂曲線圖，結(jié)果如圖1、2所示。

(a)f1:Sphere函數(shù)

(b)f2:Rosenbrock函數(shù)

(c)f3:Ackley函數(shù)

(d)f4:Griewank函數(shù)圖1 維度為10時(shí)算法收斂曲線對(duì)比Fig.1 Comparison of convergent graphs for a dimensionality of 10

(a)f1:Sphere函數(shù)

(b)f2:Rosenbrock函數(shù)

(c)f3:Ackley函數(shù)

(d)f4:Griewank函數(shù)圖2 維度為30時(shí)算法收斂曲線對(duì)比 Fig.2 Comparison of convergent graphs for a dimensionality of 30

由圖1、2可以看出，對(duì)于每一個(gè)測(cè)試函數(shù)，EOFA算法總比其他3種算法表現(xiàn)出更好的收斂性，因?yàn)樗鼧?gòu)建了動(dòng)態(tài)的精英反向解區(qū)間，同時(shí)，精英群體的規(guī)模自適應(yīng)的改變，使普通個(gè)體向最優(yōu)個(gè)體移動(dòng)的速度加快。對(duì)于函數(shù)f1、f4，當(dāng)函數(shù)維度為10和30時(shí)，F(xiàn)A、LFA、MFA這3種算法出現(xiàn)了早熟，而EOFA算法繼續(xù)收斂，且收斂速度比其他3種算法都快。對(duì)于函數(shù)f2、f3雖然4種算法都出現(xiàn)了早熟，但EOFA算法解的精確度比其他算法更好。當(dāng)維數(shù)從10增加到30時(shí)，4種算法的性能都有所下降，但EOFA算法的性能優(yōu)于其他3種算法。EOFA算法具有較優(yōu)性能的原因是：首先EOFA算法采用反向?qū)W習(xí)策略，構(gòu)造精英群體和普通群體，擴(kuò)大了搜索范圍，通過(guò)生成每個(gè)個(gè)體的反向解，增加解的多樣性來(lái)提高種群多樣性。同時(shí)加入了差分演化變異策略，使其跳出局部最優(yōu)的概率增大。最后，為了增強(qiáng)算法開發(fā)能力，采用遞減的自適應(yīng)步長(zhǎng)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的精英反向?qū)W習(xí)螢火蟲算法(EOFA)，通過(guò)精英反向?qū)W習(xí)策略生成當(dāng)前解的反向解，評(píng)估當(dāng)前解和反向解，構(gòu)建精英群體和普通群體，增加了群體的多樣性；在動(dòng)態(tài)的精英區(qū)間上求普通群體的反向解，提高算法的收斂速度。差分演化變異策略對(duì)最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行變異操作，對(duì)其領(lǐng)域空間進(jìn)行搜索，增強(qiáng)了EOFA的局部開采能力。同時(shí)，采用自適應(yīng)步長(zhǎng)，提高和平衡算法的開發(fā)能力。通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出，EOFA算法在解的精度和收斂速度上都表現(xiàn)出更好的性能。本文只考慮了最優(yōu)個(gè)體對(duì)每個(gè)個(gè)體的影響，下一步工作是將個(gè)體鄰域的信息加入，進(jìn)一步提高算法性能。

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魏偉一 ,男，1976年生，博士，副教授，CCF會(huì)員，主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚?、?shù)字圖像處理。

文雅宏 ,男，1993年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)字圖像處理、智能計(jì)算。

Fireflyoptimizationalgorithmutilizingeliteopposition-basedlearning

WEI Weiyi， WEN Yahong

(College of Computer Science and Engineering, Northwest Normal University, Lanzhou 730070,China)

To increase the convergence speed and solution accuracy of the traditional firefly algorithm, in this paper, we propose a firefly optimization algorithm that utilizes elite opposition-based learning. Using an opposition-based learning strategy, we constructed an elite group and, in the interval of the elite group, we solved the opposite solutions of the ordinary groups. This strategy could increase group diversity and improve the convergence speed of the algorithm. To prevent the optimal individual from falling into the local optimum, which could cause stagnation of the whole group during the search process, we introduce a differential evolutionary mutation strategy. Finally, we propose an adaptive step size with a linear decrease to balance the development ability of the algorithm. Experimental results show that the proposed algorithm can increase convergence speed and accuracy.

firefly algorithm; elite opposition-based learning; optimized algorithm; elite group; opposite solutions; opposition-based learning strategy; differential evolutionary mutation; adaptive step size

10.11992/tis.201706014

http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170831.1058.006.html

TP309.2

A

1673-4785(2017)05-0710-07

中文引用格式：魏偉一，文雅宏.一種精英反向?qū)W習(xí)的螢火蟲優(yōu)化算法J.智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(5): 710-716.

英文引用格式：WEIWeiyi，WENYahong.Fireflyoptimizationalgorithmutilizingeliteopposition-basedlearningJ.CAAItransactionsonintelligentsystems, 2017, 12(5): 710-716.

2017-06-07. < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版日期

日期：2017-08-31.

甘肅省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(1506RJZA130)；甘肅省高等學(xué)校科研項(xiàng)目(2014B-018).

文雅宏.E-mail:wwyahong@126.com.