苗春梅，張曉穎

(長春大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用

苗春梅，張曉穎

(長春大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

常微分方程是高等院校數(shù)學(xué)類、信息與計算科學(xué)等專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課之一。如何使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中掌握常微分方程的思想方法、具備以常微分方程為理論工具解決實際問題的能力，是常微分方程教學(xué)與改革中必須要解決的問題。本文結(jié)合常微分方程課程的特質(zhì)，探討合作學(xué)習(xí)模式與數(shù)學(xué)建模思想融入其教學(xué)過程的機理與方式，培養(yǎng)學(xué)生研究學(xué)習(xí)與創(chuàng)造學(xué)習(xí)的思維與能力。

常微分方程；合作學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)建模思想；教學(xué)改革

“高等教育面向21世紀教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計劃”的目標是培養(yǎng)具有以創(chuàng)新精神和實踐能力為核心的綜合素質(zhì)的高級人才。具有創(chuàng)新精神和實踐能力的人才必須掌握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究的方法和數(shù)學(xué)技術(shù)，而數(shù)學(xué)技術(shù)主要由數(shù)學(xué)分析技術(shù)、數(shù)學(xué)建模技術(shù)、數(shù)學(xué)軟件技術(shù)、數(shù)學(xué)實驗技術(shù)等組成[1]。

常微分方程源于對物體運動過程的數(shù)學(xué)研究，是一門應(yīng)用性很強的學(xué)科，在物理、生物、機械工程等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。比如，導(dǎo)彈彈道計算與飛機飛行中的穩(wěn)定性研究，生物種群穩(wěn)定性的研究等都歸為常微分方程模型[2]。就信息與計算科學(xué)專業(yè)而言，“常微分方程”是“數(shù)學(xué)分析”、“高等代數(shù)”和“解析幾何”的后繼課程，又是“數(shù)學(xué)建模”、“數(shù)值分析”等課程的先修課程，是從理論向應(yīng)用過渡的紐帶課程。因此，如何在常微分方程課程的教學(xué)中突出其應(yīng)用性與數(shù)學(xué)模型的思想，是其教學(xué)亟待解決的重要問題。長期以來，以理論推導(dǎo)與計算為主導(dǎo)的教學(xué)模式消解了常微分方程的實踐性，以至學(xué)生對其應(yīng)用性缺乏認識。

基于此，本文提出“合作學(xué)習(xí)模式”與“數(shù)學(xué)建模思想”相結(jié)合的教學(xué)模式，引入開放性題，讓學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)模式、應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、合作能力與研究能力。

1 合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模

1.1 合作學(xué)習(xí)模式

合作學(xué)習(xí)興起于20世紀70年代的美國，經(jīng)過30多年的理論研究和實踐發(fā)展，合作學(xué)習(xí)已成為世界上許多國家普遍采用的教學(xué)理論與實踐策略，被認為是“當代教育理論、研究和實踐中影響最大和成果最多的領(lǐng)域之一”。

不同的學(xué)者對合作學(xué)習(xí)的有著各具特色的研究與推進。美國約翰霍布金斯大學(xué)的Slavin提出了“學(xué)生小組成就區(qū)分法”，“合作學(xué)習(xí)是指使學(xué)生在小組中從事學(xué)習(xí)活動，并依據(jù)他們整個小組的成績獲取獎勵或認可的課堂教學(xué)技術(shù)”[3]。美國明尼蘇達大學(xué)的約翰遜兄弟認為：“合作學(xué)習(xí)就是在教學(xué)中運用小組，使學(xué)生共同活動以最大程度地促進他們自己以及他人的學(xué)習(xí)?！盵4]

20世紀80年代末、90年代初，我國學(xué)者開始關(guān)注合作學(xué)習(xí)的研究與應(yīng)用。王坦認為：“合作學(xué)習(xí)是一種旨在促進學(xué)生在異質(zhì)小組中互相合作，達到共同的學(xué)習(xí)目標，并以小組的總體成績?yōu)楠剟钜罁?jù)的教學(xué)策略體系。”[5]黃政杰認為：“合作學(xué)習(xí)是學(xué)生一起工作達成其共同的目標，此目標不但有利于己，也有利于其他人。合作學(xué)習(xí)采取小組學(xué)習(xí)方式，學(xué)生一起學(xué)習(xí)進而擴大自己和他人的學(xué)習(xí)。在合作學(xué)習(xí)中，所有成員式相互得力的，你的成功也就是我的成功，我的失敗也正是你的失敗，這是一種命運共同體的狀態(tài)，是屬于積極互賴的情景?！盵6]

合作學(xué)習(xí)的課堂實施是合作學(xué)習(xí)理論在課堂教學(xué)中的應(yīng)用與實踐，但是國內(nèi)大部分的合作學(xué)習(xí)的課堂案例都是中小學(xué)課程教學(xué)，缺乏在大學(xué)課堂教學(xué)中的優(yōu)秀案例。

1.2 合作學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模活動的關(guān)系

數(shù)學(xué)建模于20世紀六七十年代進入西方國家的大學(xué)，80年代初開始進入我國大學(xué)。數(shù)學(xué)建?；顒邮桥囵B(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力、合作能力、研究能力和創(chuàng)新能力的有效途徑，近年來受到數(shù)學(xué)教育者的廣泛關(guān)注。

合作學(xué)習(xí)，即“學(xué)生在小組中從事學(xué)習(xí)活動，并以他們小組的表現(xiàn)為依據(jù)獲得獎勵或認可的課堂教學(xué)技術(shù)”。在數(shù)學(xué)建模競賽活動中，合作學(xué)習(xí)主要體現(xiàn)在教師與學(xué)生的合作學(xué)習(xí)、學(xué)生與學(xué)生的合作學(xué)習(xí)兩個方面，即在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生以小組為單位進行學(xué)習(xí)。因此，合作學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)建?；顒又匾慕M織模式。

2 設(shè)置常微方程開放性題目

在常微分方程教材中，習(xí)題基本上是為了使學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計的。在這種情況下，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中往往容易產(chǎn)生以死記硬背代替主動參與、以機械方法代替智力活動的傾向。要改變這種情況，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更多地體現(xiàn)以學(xué)生為主體的積極探究精神，適當增加開放題，讓學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想解決問題是必要的。

2.1 開放題的設(shè)置原則

(1)問題導(dǎo)出理論、理論深化問題。常微分方程課程教學(xué)的開放題設(shè)置要與教材內(nèi)容有機結(jié)合起來，而不是做成各自獨立的兩套系統(tǒng)。比如在講授一階和二階常微分方程內(nèi)容時，設(shè)置相關(guān)的應(yīng)用性開放題，使學(xué)生了解問題背景，能夠?qū)W以致用。另一方面，開放題的設(shè)置應(yīng)與微分方程發(fā)展的主流相結(jié)合，使學(xué)生了解前沿問題的研究進展。這要求教師要對微分方程、動力系統(tǒng)和非線性科學(xué)領(lǐng)域的主流問題有所研究，從而滲透到起奠基性作用的常微分方程課程的教學(xué)中。

(2)針對實際能力、引導(dǎo)探索興趣。地方高等院校是一個基礎(chǔ)和能力有較大差異的學(xué)生群體，大約可以分成三類：A類，基礎(chǔ)和能力較強；B類，基礎(chǔ)和能力一般；C類，基礎(chǔ)和能力相對較弱。因此，常微分方程課程教學(xué)中開放題的設(shè)置，也要根據(jù)學(xué)生的能力和水平分層設(shè)置，不能“一刀切”。

2.2 開放題的解決方法

學(xué)生要以小組的形式進行合作學(xué)習(xí)，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想，在老師的指導(dǎo)下解決問題。以下根據(jù)筆者的研究方向，選取常微分方程課程教學(xué)中的開放題，通過指導(dǎo)學(xué)生解決這兩類問題的過程，闡釋課程教學(xué)中開放題的解決方法。

(1)生物種群模型。生物種群模型的穩(wěn)定性問題是筆者一直研究的課題，在常微分方程課程教學(xué)中引入相關(guān)的生物模型作為開放題，能夠使學(xué)生更好地掌握一階常微分方程理論、應(yīng)用和前景。Logistic模型[7]

(2.1)

是一階非線性常微分方程，是生物學(xué)中最簡單的單種群模型，最早由比利時數(shù)學(xué)家Verhulst于1838年提出的描述種群增長過程的數(shù)學(xué)模型。1920年，美國人口學(xué)家Pearhe和Reed在研究美國人口問題時再次提出這個方程，稱之為Verhulst-pearl阻滯方程，后來被稱為Logistic模型。學(xué)生學(xué)習(xí)了一階常微分方程的基本理論之后能夠求解該方程。

首先，對學(xué)生進行分組。共7個人：3個A類學(xué)生，2個B類學(xué)生，2個C類學(xué)生。其次，提出問題，建立模型。由2個B類學(xué)生查閱資料，分析數(shù)據(jù)，建模。然后，解決問題。由2個C類學(xué)生根據(jù)所學(xué)的一階常微分方程理論求解。最后，分析問題。由3個A類學(xué)生做如下幾方面的工作：① 結(jié)合模型的建立和求解，分析問題，并提出修改和推廣建議。② 在老師的指導(dǎo)下，查閱該問題的研究進展和發(fā)展前景。③ 撰寫成文。

(2)振動問題。1831年，英國曼徹斯特的布勞頓橋上一隊士兵齊步通過的時候橋突然坍塌。1940年，美國華盛頓塔克馬大橋突然發(fā)生振動，振幅達到28英尺。振動是工程中常見現(xiàn)象，研究振動規(guī)律有著極其重要的意義。近些年，筆者關(guān)注經(jīng)典的振動方程

mx″+kx′+hx=f(x).

(2.2)

的研究。根據(jù)我們的研究成果，在常微分方程課程教學(xué)中引入經(jīng)典的振動方程(2.2)作為二階常微分方程理論的開放題，以使學(xué)生更好地掌握二階常微分方程理論、應(yīng)用和前景。對學(xué)生進行分組解決開放問題(2.2)的過程和方法同問題(2.1).

3 結(jié)語

在常微分方程課程的教學(xué)中，通過設(shè)置諸如以上的應(yīng)用性問題作為開放題目，組織學(xué)生分組合作進行研討，提出建模的基本思路，然后教師結(jié)合常微分方程的思想方法與學(xué)生進行深入研討，推進問題的解決。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，一方面，教師能夠結(jié)合具體問題很好地具體向?qū)W生解釋常微分方程的基本理論，形成學(xué)生對常微分方程的系統(tǒng)認識與邏輯把握；另一方面，學(xué)生在互動中真正體會到合作的意義，在爭議與碰撞中表現(xiàn)了自己的創(chuàng)造性思考與團隊意識，形成了創(chuàng)新思考的內(nèi)在動力和修正思想的自覺意識。同時，設(shè)置開放題應(yīng)該注意以下兩個問題：一是避免流于形式，問題不要過大，要注重精細；二是教師要對開放題有一定的研究。

[1] 石永福，王立群. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)技術(shù)及其影響 [J]. 西北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005(2)：94-97.

[2] JI.C.龐特里亞金.常微分方程 [M].林武忠，倪明康，譯.北京：高等教育出版社，2006.

[3] M.C. Wittrock. The cognitive movement in instruction [M]. Educational Psychology, 1978(71)：60-66.

[4] 大衛(wèi).W. 約翰遜，羅格.T. 約翰遜，卡爾. A.史密斯.合作學(xué)習(xí)的原理與技巧：在教與學(xué)中組建有效的團隊[M].劉春紅，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2002.

[5] 王坦. 合作學(xué)習(xí)導(dǎo)論 [M]. 北京：教育科學(xué)出版社，1994.

[6] 黃政杰，林佩璇. 合作學(xué)習(xí) [M].臺北：五南出版社，1996.

[7] 余愛華. Logistic模型的研究 [D]. 南京：南京林業(yè)大學(xué)，2003.

責任編輯：劉 琳

ApplicationofCooperativeLearningandMathematicalModelinginOrdinaryDifferentialEquationTeaching

MIAO Chunmei, ZHANG Xiaoying

(College of Science, Changchun University, Changchun 130022, China)

Ordinary differential equation is one of the important professional basic courses in mathematics as well as informational and calculative science in universities. It is a fundamental problem in teaching and reform to make students get the thinking methods of the ordinary differential equations and have the ability to solve practical problems by using ordinary differential equalities as theoretical tools. This paper, combining with the characteristics of ordinary differential equation course, discusses the mechanism and way of integrating the thought of cooperative learning and mathematical modeling into ordinary differential equation teaching, trying to cultivate the thinking and ability of students’ research learning and creative learning.

ordinary differential equation; cooperative learning; mathematical modeling thought; teaching reform

2017-04-06

吉林省教育科學(xué)規(guī)劃課題(GH170133)；吉林省高等教育學(xué)會2017年度高教科研課題(JGJX2017B28)

苗春梅(1977-)，女，遼寧大連人，副教授，博士，主要從事常微分方程理論研究。

G642

A

1009-3907(2017)10-0088-03