翟聰 巫威眺 黃玲 劉偉銘 鄭麗媛

(1. 華南理工大學(xué) 土木交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640

2. 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 交通與土木建筑學(xué)院， 廣東 佛山 528000)

基于時(shí)變安全距離的跟馳模型反饋控制*

翟聰1,2巫威眺1?黃玲1劉偉銘1鄭麗媛1

(1. 華南理工大學(xué) 土木交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640

2. 佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院 交通與土木建筑學(xué)院， 廣東 佛山 528000)

為了更真實(shí)地反映交通流特性,在Konishi提出的耦合映射(CM)跟馳模型基礎(chǔ)上,考慮不同速度下車輛的不同安全距離,設(shè)計(jì)了新的安全距離表達(dá)式,隨后提出了一類基于時(shí)變安全距離的CM跟馳模型,并對(duì)模型的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究;基于穩(wěn)定性理論,給出了模型滿足穩(wěn)定和交通擁擠現(xiàn)象不會(huì)出現(xiàn)的充要條件,在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一類滯后反饋控制器以更好地抑制交通擁堵;最后通過(guò)仿真算例,對(duì)比了Konishi模型和新跟馳模型在抑制交通擁堵和車輛行駛過(guò)程中二氧化碳排放方面的性能.仿真算例表明：與Konishi跟馳模型相比,基于時(shí)變安全距離的跟馳模型的收斂性更強(qiáng);所設(shè)計(jì)的控制器能通過(guò)調(diào)整車隊(duì)速度有效緩解交通擁堵和降低車輛二氧化碳排放.

CM跟馳模型;時(shí)變安全距離;穩(wěn)定性;滯后反饋控制器;二氧化碳排放

隨著機(jī)動(dòng)化水平和城市化水平的提升，越來(lái)越多的交通問題也隨之產(chǎn)生.為了緩解交通問題，一方面，學(xué)者們提出了一系列交通需求管理策略引導(dǎo)出行行為，如擁擠收費(fèi)策略等；另一方面，有學(xué)者從車流運(yùn)行演化角度探索交通擁擠形成機(jī)理，并提出了各類交通流模型，包括跟馳模型[1]、元胞自動(dòng)機(jī)模型[2]、水動(dòng)力模型[3]等.傳統(tǒng)的跟馳模型和水動(dòng)力模型利用微分方程或者偏微分方程建立交通流的具體表達(dá)形式，然而，當(dāng)考慮的因素較多時(shí)，模型的復(fù)雜程度會(huì)呈指數(shù)增長(zhǎng)，因而不利于仿真和求解.元胞自動(dòng)機(jī)模型則利用一系列交通規(guī)則更新交通狀態(tài)，有效降低了模擬計(jì)算的復(fù)雜度，但是此類模型僅能夠初略再現(xiàn)特定現(xiàn)象，很難分析現(xiàn)象的形成機(jī)理，因此，整合這兩類模型的優(yōu)勢(shì)顯得很有意義.

了解決上述問題，Yukawa等[4- 5]利用耦合映射理論對(duì)傳統(tǒng)的跟馳模型進(jìn)行離散化處理，提出了耦合映射跟馳模型，與以往模型相比，該模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于分析仿真的特點(diǎn).至此之后，學(xué)者們運(yùn)用耦合映射跟馳模型從不同角度對(duì)交通問題進(jìn)行分析，比較有代表性的有：Konishi[6]在Bando提出的最優(yōu)速度函數(shù)基礎(chǔ)上，對(duì)不允許超車的單車道耦合映射跟馳模型的穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究；Zhai等[7- 9]考慮駕駛員的時(shí)變滯后反應(yīng)時(shí)間，從駕駛員特性角度建立了時(shí)變滯后耦合映射跟馳模型，并對(duì)模型的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了探討；Huang等[10]分析了車間通訊對(duì)車流運(yùn)行穩(wěn)定性的影響;葛紅霞等[11]提出了優(yōu)化速度函數(shù)中涉及前方兩輛車車頭間距的耦合映射跟馳模型;韓祥臨等[12]考慮智能交通誘導(dǎo)提供的前

車信息,對(duì)耦合映射跟馳模型進(jìn)行改進(jìn);Han等[13]提出了一種駕駛員帶有非恒定靈敏度的耦合映射跟馳模型;Fang等[14]探討了耦合映射跟馳模型的混沌問題;其余的相關(guān)文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)[15- 16].另有一些文獻(xiàn)在分析車輛跟馳行為的基礎(chǔ)上研究消除擁擠現(xiàn)象的方法.例如,孫棣華等[17]從融合交通信息系統(tǒng)和交通物理系統(tǒng)的角度,運(yùn)用反饋控制理論,提出了考慮最鄰近前車綜合信息的交通擁堵反饋控制方案;Zhao等[18]在Konishi的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)了含滯后項(xiàng)的反饋控制器,發(fā)現(xiàn)在抑制交通擁擠方面更加有效;Fang等[19]考慮相鄰車輛速度差對(duì)車流穩(wěn)定性的影響,設(shè)計(jì)了靜態(tài)和動(dòng)態(tài)的反饋控制項(xiàng)以抑制交通擁擠現(xiàn)象.

盡管目前有較多耦合映射跟馳模型的研究成果,但是仍然存在著一些局限性.在安全管控方面,以往的模型均假設(shè)每輛車的安全距離是恒定的,而這一假設(shè)與實(shí)際車輛安全距離分布情況明顯不符.通過(guò)駕駛模擬發(fā)現(xiàn),車輛安全距離在不同行駛狀態(tài)下是有所差異的[20].另外,當(dāng)車輛的制動(dòng)加速度恒定時(shí),為保證車輛不發(fā)生碰撞,車速較高的車輛比低速行駛的車輛需要更大的安全距離,因此,車輛的安全距離和車輛的行駛速度(制動(dòng)速度)呈現(xiàn)正相關(guān)的關(guān)系.制動(dòng)距離在道路設(shè)計(jì)與運(yùn)行管理中是控制視距的一項(xiàng)重要指標(biāo),道路上高速行駛的車輛在遇到突發(fā)事件需要緊急制動(dòng)時(shí)因車輛制動(dòng)距離過(guò)長(zhǎng)和車輛制動(dòng)不穩(wěn)定而發(fā)生的事故頻發(fā),因此,有必要從安全管控角度研究車輛跟馳模型,并依此設(shè)計(jì)車隊(duì)運(yùn)行控制機(jī)制,為交通安全管理提供理論基礎(chǔ).

有鑒于此,文中提出一種時(shí)變安全距離的耦合映射跟馳模型,在構(gòu)造安全距離與速度關(guān)系表達(dá)式的基礎(chǔ)上,對(duì)該模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析.為了抑制交通擁堵,本研究設(shè)計(jì)了時(shí)滯的反饋控制器,同時(shí)給出了控制器的具體形式,最后通過(guò)仿真算例對(duì)該方法在緩解交通擁堵和降低廢氣排放方面的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 模型建立

N輛車行駛在單車道上時(shí)的模型如圖1所示.

為了研究單車道的車輛跟馳行為,根據(jù)Konishi提出的CM跟馳模型,文中假設(shè)頭車勻速運(yùn)動(dòng),則頭車的運(yùn)動(dòng)軌跡可通過(guò)下式給出：x0(n+1)=v0T+x0(n)

(1)

其中,x0(n)表示頭車在t=nT時(shí)刻的位置,v0(v0>0)表示頭車的速度,T代表采樣時(shí)間.與此類似,后續(xù)跟馳車輛的運(yùn)行軌跡可表示為

xi(n+1)=vi(n)T+xi(n)

(2)

(i=1,2,…,N)

其中,xi(n)表示第i輛車在t=nT時(shí)刻的位置,N表示總的車輛數(shù),vi(n)>0代表第i輛車在t=nT時(shí)刻的瞬時(shí)速度,其中vi(n)可通過(guò)如下表達(dá)式得到：

(3)

為了保證方法的可比性,文中仍沿用文獻(xiàn)[8]提出的最優(yōu)速度函數(shù)：

(4)

其中飽和函數(shù)Hsat(·)為

在以往研究中,安全車間距ηi設(shè)為恒定值,而該假設(shè)明顯不符合實(shí)際情況,根據(jù)上述討論,車輛制動(dòng)距離與行駛速度呈正相關(guān)關(guān)系.為了充分反映該特性,文中提出如下車輛安全距離表達(dá)式：

ηi(n)=ηlim+βvi(n)T

(5)

基于此,文中提出帶時(shí)變安全距離的CM跟馳模型,表達(dá)如下：

(6)

圖1 N輛車行駛在單車道上時(shí)的模型Fig.1 A platoon of N cars running on a single lane

當(dāng)β=0時(shí),式(6)所示模型可轉(zhuǎn)化為文獻(xiàn)[8]所提出的CM跟馳模型,所以文獻(xiàn)[8]的CM跟馳模型是文中模型的一個(gè)特例.

2 穩(wěn)定性分析

考慮前車(i-1)以速度v0勻速行駛,則車輛i的動(dòng)態(tài)方程可表示為

(7)

式(7)所示系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為

(8)

(9)

式(9)所示系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

Pi(z)=z2+aiz+bi

(10)

其中,ai=αiT+βαiriT2-2,bi=1-αiT+(1-β)αiriT2.

基于Jury準(zhǔn)則,可得到式(9)所示系統(tǒng)滿足穩(wěn)定的充要條件.

定理1 當(dāng)下列條件

(11)

成立時(shí),式(9)所示系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

證明根據(jù)Jury穩(wěn)定性判據(jù),系統(tǒng)(9)滿足穩(wěn)定的充要條件為

{Pi(1)>0

Pi(-1)>0

|Pi(0)|<1

(12)

當(dāng)不等式(11)滿足時(shí),式(12)同樣滿足條件,證畢.

當(dāng)前車(i-1)遭受外部干擾無(wú)法以恒定速度v0勻速行駛時(shí),則車輛i的誤差方程可表示為

(13)

則關(guān)于δvi-1(n)到δvi(n)的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為

(14)

其中,Pi(z)=z2+aiz+bi.

根據(jù)交通流系統(tǒng)原理可知,當(dāng)Pi(z)滿足穩(wěn)定,且‖Gi(z)‖∞≤1時(shí),則可知交通擁擠現(xiàn)象將不會(huì)出現(xiàn).

定理2 當(dāng)車隊(duì)中所有車輛運(yùn)行的參數(shù)滿足如下不等式時(shí)：

(1)如果1-αiT+(1-β)αiriT2>0

(15)

(2)如果1-αiT+(1-β)αiriT2<0

(16)

則交通擁擠現(xiàn)象不會(huì)出現(xiàn).

證明通過(guò)定理1可知,當(dāng)滿足式(11)時(shí),系統(tǒng)(9)滿足穩(wěn)定性,下面僅驗(yàn)證當(dāng)不等式(15)和(16)滿足時(shí),能夠滿足‖Gi(z)‖∞≤1.

首先,狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)的絕對(duì)值‖Gi(z)‖可利用下式進(jìn)行表述：

(17)

(18)

其中：

則原問題‖Gi(z)‖∞≤1可轉(zhuǎn)化為

(19)

根據(jù)式(15)和(16)，可知下列條件

成立，則條件(19)成立.

從以上可知,當(dāng)交通流系統(tǒng)滿足定理2時(shí),該系統(tǒng)具有一定的魯棒性,也即當(dāng)車輛遭受一定的外部干擾時(shí),車隊(duì)能夠通過(guò)自身速度調(diào)節(jié),最終回到平衡狀態(tài),即交通擁擠現(xiàn)象不會(huì)出現(xiàn);當(dāng)外部干擾增加到一定程度時(shí)，車輛運(yùn)行參數(shù)可能不再滿足定理2,此時(shí)交通擁擠將再次出現(xiàn)，下面將通過(guò)設(shè)計(jì)控制器抑制外部干擾和交通擁擠.

3 反饋控制器設(shè)計(jì)

為了抑制交通擁擠問題,基于當(dāng)前車輛與上一時(shí)刻瞬時(shí)速度差信息,文中提出新的反饋控制器,在式(6)中加入速度控制項(xiàng)ui(n).

(20)

其中,ui(n)的具體的形式如下：

(21)

則關(guān)于δvi-1(n)到δvi(n)的轉(zhuǎn)移函數(shù)可表示為

(23)

與定理2相似,為了抑制交通擁擠,式(6)所示模型在反饋控制器ui(n)作用下應(yīng)滿足:

定理3 若式(6)所示模型在式(21)所示反饋控制器作用下滿足如下條件：

(24)

(25)

(26)

4 二氧化碳排放模型

二氧化碳的過(guò)量排放直接影響著人們的正常生活,環(huán)境調(diào)查報(bào)告中指出,目前全球二氧化碳排放總量的40%來(lái)源于汽車尾氣.為了降低汽車尾氣排放,眾多學(xué)者從不同角度提出了排放模型[21- 22].與文獻(xiàn)[9]類似，文中引入排放模型來(lái)評(píng)價(jià)實(shí)施控制器的效果,在此沿用文獻(xiàn)[23]中提出的排放模型,該模型可表述為：

(27)

(28)

5 仿真算例

本節(jié)通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證文中所提出方法的可行性和有效性.假設(shè)有50輛車行駛在開放邊界的單車道上,且車與車之間不允許有超車行為,頭車以速度v0=20 m/s勻速行駛,車輛的最大行駛速度vmax=33.6 m/s,碰撞間距ymin=7.02 m,最短安全間距ηlim=20 m,調(diào)節(jié)系數(shù)ζ=23.3,采樣時(shí)間T=0.1 s,為了研究方便,假設(shè)每名駕駛員是同質(zhì)的,即ai=2 s-1,i=1,2，…,50,下面給定每輛車的初始位置和速度,其中：

vi(0)=v*=20 m/s,i=1,2…，50.

當(dāng)頭車在時(shí)間段[100 s,102 s]內(nèi)突然受外部擾動(dòng)影響,需要停車,即

100 s≤nT≤102 sx0(n)=0.

下面通過(guò)展示在控制器作用前后的速度-時(shí)間圖及車間距-時(shí)間圖,對(duì)比Konishi提出的經(jīng)典CM跟馳模型和文中提出的時(shí)變安全距離CM跟馳模型的性能.

兩種跟馳模型在無(wú)控制器作用下車輛的車間距變化情況如圖2(a)、2(b)所示,可以看出,在Koni-shi模型中,當(dāng)頭車遭受外部干擾時(shí),車輛間的相互作用加強(qiáng),使得車輛加減速頻繁,且車輛間的相互作用迅速向后傳遞,引起車隊(duì)整體運(yùn)行的巨大波動(dòng),因而該模型易發(fā)生交通擁堵;相比之下,時(shí)變安全距離跟馳模型的擁擠持續(xù)時(shí)間更短,從而可知,文中模型的收斂性更強(qiáng).兩種模型在加入反饋控制器后的運(yùn)行特性如圖2(c)、2(d)所示,,通過(guò)求解定理3,獲得控制器的增益項(xiàng)k=0.4,對(duì)比圖2(c)、2(d)不難發(fā)現(xiàn),相比較于圖2(a)、2(b),Konishi模型在控制器作用下,車隊(duì)整體趨于穩(wěn)定,車輛間的相互作用較低,但是仍然存在著一定的干擾,而圖2(d)與圖2(c)相比,車輛間的相互影響得到了進(jìn)一步的減弱,雖然未根本消除車輛間的干擾,但是該影響已經(jīng)可以近似忽略.

圖3、圖4給出了Konishi耦合映射跟馳模型和時(shí)變安全距離跟馳模型在控制器作用前后的車輛速度-時(shí)間圖,其中圖3僅對(duì)其中的第1、25、50輛車的速度進(jìn)行分析,而圖4中對(duì)所有車輛進(jìn)行描述.

從圖3(a)、3(b)不難發(fā)現(xiàn),在Konishi模型中,越靠近車尾位置的車輛速度震蕩幅度越大,同時(shí)其震蕩時(shí)間也越長(zhǎng),車隊(duì)也越難以恢復(fù)到平衡狀態(tài);相比于圖3(b),在新CM跟馳模型中,除了頭車的震蕩,編號(hào)為25和50的車輛震蕩時(shí)間和幅度均大幅度減少,說(shuō)明文中模型的車隊(duì)運(yùn)行整體收斂性較強(qiáng),車輛可以在較短的時(shí)間內(nèi)重新恢復(fù)到平衡狀態(tài).通過(guò)圖3(c)、3(d)可知,在控制器作用下,編號(hào)為25和50的車輛的速度震蕩幅度得到了進(jìn)一步的降低,即新CM模型在定理3所設(shè)計(jì)的控制器作用下交通擁堵發(fā)生的概率最低,通過(guò)圖4中所有車輛的速度隨時(shí)間的變化曲線可以驗(yàn)證這一點(diǎn).綜合圖2-4可以知道,文中所設(shè)計(jì)的時(shí)變安全距離的CM跟馳模型相比于Konishi跟馳模型車輛的收斂性得到了增強(qiáng),同時(shí)新模型在文中所設(shè)計(jì)的控制器下在抑制交通擁堵方法中效果更好.

圖2 車間距-時(shí)間圖Fig.2 Headway-time curves of all cars

圖3 第1、25、50輛車的速度-時(shí)間圖

圖4 所有車輛的速度-時(shí)間圖Fig.4 Velocity-time curves of all cars

最后,文中驗(yàn)證該控制器在降低車輛行駛過(guò)程中廢氣排放方面的有效性.其中Konishi耦合映射跟馳模型和時(shí)變安全距離跟馳模型在控制器作用前后的二氧化碳排放-時(shí)間曲線如圖5、圖6所示,其中圖5僅對(duì)其中的第1、25、50輛車的速度進(jìn)行分析,而圖6中對(duì)所有車輛進(jìn)行描述.

圖5 第1、25、50輛車的二氧化碳排放量-時(shí)間圖

Fig.5 Carbon dioxide emission-time curves of the 1th,25th,50thcar

圖6 所有車輛的二氧化碳排放量-時(shí)間圖

根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知,車輛在行駛過(guò)程中多余的廢氣排放主要是由車輛在行駛中頻繁的加減速造成的,一般情況下,交通狀況平順的路段中二氧化碳排放低于交通狀況惡劣的路段.基于此,從圖5(a)、5(b)可知,在時(shí)變安全距離跟馳模型下,車輛編號(hào)為25和50的車輛的二氧化碳排放相較于Konishi跟馳模型降低了50%.對(duì)比圖5(b)和5(d)可知,的控制器作用下,編號(hào)為25和50的車輛的二氧化碳排放得到了進(jìn)一步的降低,說(shuō)明該控制器可有效提高車隊(duì)運(yùn)行的穩(wěn)定性,通過(guò)圖6可進(jìn)一步驗(yàn)證該結(jié)論.綜上分析可知,式(21)所示的控制器對(duì)于降低廢氣排放也是有效的.

6 結(jié)論

文中提出了一類時(shí)變安全距離的CM跟馳模型,并對(duì)該模型的穩(wěn)定性問題進(jìn)行研究;為了抑制交通擁擠現(xiàn)象,文中設(shè)計(jì)了一類時(shí)滯控制器,并給出了該控制器的設(shè)計(jì)方法;最后在仿真算例中,對(duì)比了Konishi模型和新跟馳模型在抑制交通擁堵和車輛行駛過(guò)程中的二氧化碳排放情況,得到以下主要結(jié)論：

(1)新的時(shí)變安全距離跟馳模型與Konishi模型相比所表現(xiàn)的收斂性更好;

(2)所設(shè)計(jì)的新CM跟馳模型在滯后控制器下與文獻(xiàn)[8]所設(shè)計(jì)的控制器相比,有效地降低了車隊(duì)整體的整體震蕩幅度和時(shí)間;

(3)所設(shè)計(jì)的控制方法能有效降低車隊(duì)行駛中的二氧化碳排放量.

本研究對(duì)變安全距離的跟馳問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究,但是仍然有一些問題值得進(jìn)一步探討,比如本研究?jī)H對(duì)同質(zhì)車輛下的變安全距離的跟馳問題進(jìn)行了研究,并未把變安全距離引入到異質(zhì)車輛環(huán)境下,后續(xù)工作將對(duì)異質(zhì)車輛的變安全距離進(jìn)行探討,以更真實(shí)地反映現(xiàn)實(shí)交通環(huán)境.

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FeedbackControlofCarFollowingModelontheBasisofTime-VaryingSafetyDistance

ZHAICong1,2WUWei-tiao1HUANGLing1LIUWei-ming1ZHENGLi-yuan1

(1. School of Civil Engineering and Transportation, South china University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China; 2. School of Transportation and Civil Engineering and Architecture, Foshan University, Foshan 528000, Guangdong, China)

In order to reflect the traffic flow's characteristics more realistically, on the basis of CM (Coupled-Map) car following model proposed by Konishi, a new expression of safely distance is established, with the consideration of the safe distance of vehicles at different speeds. Then, a CM car following model on the basis of time-varying safety distance is proposed subsequently, of which the stability is studied. Moreover, on the basis of stability theory, the sufficient conditions that the traffic congestion phenomenon will never occur are presented, and, in order to suppress the traffic congestion, a delay-feedback controller is designed. Finally, a comparison between the proposed model and Konishi model is made in terms of inhibiting traffic congestion and carbon dioxide emission. Simulated results show that the convergence rate of the proposed model is faster than that of Konishi model, and that the designed controller is effective in suppressing the traffic congestion and reducing the carbon dioxide emission via adjusting motorcade speed.

CM car following model; time-varying safety distance; stability; delay-feedback controller; carbon dioxide emission

2016- 07- 16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61703165,51408237)；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016M600653)；華南理工大學(xué)中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(D2171990)

*Foundationitems: Supported by the National Natural Science Foundation of China (61703165,51408237)and the China Postdoctoral Science Foundation (2016M600653)

翟聰 (1989-)，男，博士生，主要從事智能交通控制研究.E-mail:957083516@qq.com

?通信作者: 巫威眺 (1987-),男，博士后，主要從事智能交通系統(tǒng)研究.E-mail:ctwtwu@scut.edu.cn

1000- 565X(2017)07- 0126- 09

TP 13

10.3969/j.issn.1000-565X.2017.07.018