虛擬數(shù)字多通道壓縮采樣的頻譜檢測(cè)研究

杜成濤，汪安民

(1.皖西學(xué)院 電氣與光電工程學(xué)院，安徽 六安 237012；2.同方工業(yè)有限公司研究所，北京 100085)

虛擬數(shù)字多通道壓縮采樣的頻譜檢測(cè)研究

杜成濤1，汪安民2

(1.皖西學(xué)院 電氣與光電工程學(xué)院，安徽 六安 237012；2.同方工業(yè)有限公司研究所，北京 100085)

傳統(tǒng)的壓縮采樣在模擬域隨機(jī)調(diào)制，然后低速采樣，通過(guò)多通道采樣恢復(fù)出原始信號(hào)。本文研究壓縮感知的實(shí)現(xiàn)方法，針對(duì)信號(hào)的頻譜檢測(cè)和估計(jì)，提出了一種數(shù)字虛擬多通道壓縮采樣的方法。該方法通過(guò)在數(shù)字域隨機(jī)調(diào)制，將信號(hào)頻譜混疊到整個(gè)頻段，然后通過(guò)低于Nyquist頻率采樣，采用多通道聯(lián)合恢復(fù)信號(hào)。實(shí)驗(yàn)表明，該方法對(duì)信號(hào)頻譜檢測(cè)實(shí)用有效。數(shù)據(jù)虛擬多通道避免了模擬多通道的硬件復(fù)雜度，數(shù)字方法可以壓縮采樣數(shù)據(jù)量，節(jié)省了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間，降低了對(duì)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)傳輸?shù)囊蟆?/p>

壓縮感知；信號(hào)頻譜；數(shù)字多通道；采樣

Shannon-Nyquist采樣定理，是信息論特別是通訊與信號(hào)處理及控制學(xué)科中的一個(gè)重要基本定理。該定理指出，為了不失真地恢復(fù)被采樣的原始模擬信號(hào)，采樣頻率應(yīng)該不小于原始模擬信號(hào)頻譜中最高頻率的兩倍，即：fs≥ 2fmax，其中，fs為采樣頻率，fmax為被測(cè)信號(hào)頻譜中的最高頻率。從信號(hào)處理的角度來(lái)講，該定理描述了兩個(gè)過(guò)程：一是采樣，即將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)；二是信號(hào)的重構(gòu)，即將離散信號(hào)還原成連續(xù)信號(hào)。從采樣定理中可以得出以下結(jié)論：如果已知信號(hào)的最高頻率，采樣定理給出了保證完全重構(gòu)信號(hào)的最低采樣頻率；相反，如果已知采樣頻率，采樣定理給出了保證完全重構(gòu)信號(hào)所允許的最高信號(hào)頻率。這就要求被采樣的信號(hào)必須是限定帶寬的，即信號(hào)中高于某一給定值的頻率成分必須是零，或至少非常接近于零，這樣在重構(gòu)信號(hào)中這些頻率成分的影響可忽略不計(jì)，否則采樣后信號(hào)的頻率就會(huì)重疊，即高于采樣頻率一半的頻率成分將被重構(gòu)成低于采樣頻率一半的信號(hào)，這種頻譜的重疊導(dǎo)致的失真稱為混疊，混疊現(xiàn)象在信號(hào)采樣與重構(gòu)的工程實(shí)踐中需要努力避免。從信號(hào)重構(gòu)角度，采樣率越高，重構(gòu)信號(hào)就越接近原信號(hào)，但是對(duì)系統(tǒng)的要求就更高，轉(zhuǎn)換電路必須具有更快的轉(zhuǎn)換速度。

隨著電子技術(shù)和處理器技術(shù)的發(fā)展，寬帶信號(hào)的應(yīng)用越來(lái)越多，而且?guī)捲絹?lái)越大。根據(jù)采樣定理，模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)過(guò)程中，當(dāng)采樣頻率為fsHz時(shí)，采樣后的數(shù)字信號(hào)只能完全恢復(fù)出帶寬為0.5fsHz的信號(hào)。如果信號(hào)頻率超過(guò)0.5fsHz時(shí)，數(shù)字信號(hào)會(huì)按照一定的規(guī)律出現(xiàn)混疊信號(hào)，由于混疊的影響，無(wú)法在數(shù)字信號(hào)中分辨出真實(shí)信號(hào)和混疊信號(hào)[1]。如果通過(guò)提高AD器件的采樣頻率來(lái)解決寬帶信號(hào)的采樣問(wèn)題，高速的采樣將導(dǎo)致很多問(wèn)題：首先，目前AD器件的速度還不夠高；其次，采樣后的數(shù)據(jù)需要高性能的處理器支撐；此外，高速數(shù)據(jù)對(duì)實(shí)時(shí)傳輸和存儲(chǔ)的壓力較大。

采樣定理明確指出，其規(guī)定的采樣頻率和信號(hào)頻率的約束關(guān)系為充分條件，非充要條件。如何找到適合信號(hào)的最低采樣頻率一直是信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。這些研究從采樣方法、變換技術(shù)和數(shù)據(jù)處理上實(shí)現(xiàn)了低于Nyquist頻率的采樣，突破了Shannon-Nyquist采樣定理的限制。這些方法從隨機(jī)采樣、非均勻采樣、偽隨機(jī)/偽非均勻采樣一直發(fā)展到壓縮感知(Compressed sensing, Compressive sampling, Compressive sensing, CS)的信息采樣。這些采樣方法的一個(gè)主要目的就是降低數(shù)據(jù)量，隨機(jī)采樣通過(guò)有目的的隨機(jī)采樣，降低了平均采樣頻率，從而降低了數(shù)據(jù)量，但沒(méi)有降低最大采樣頻率，其最大采樣頻率仍然限制在Nyquist頻率[2]；非均勻采樣針對(duì)特定信號(hào)采集數(shù)據(jù)，根據(jù)信號(hào)特征提取出最能表現(xiàn)信號(hào)的數(shù)據(jù)，舍棄部分信號(hào)，從而降低了數(shù)據(jù)量，但只能針對(duì)某些已知特征的信號(hào)[3]；偽隨機(jī)/偽非均勻采樣提出了工程實(shí)現(xiàn)方法，通過(guò)周期非均勻或者部分隨機(jī)實(shí)現(xiàn)以上方法[4]；壓縮感知是基于信號(hào)在某個(gè)域的稀疏特性，采用信息采樣，來(lái)降低信號(hào)數(shù)據(jù)量，壓縮采樣已經(jīng)發(fā)展出相對(duì)較完備的壓縮變換和信號(hào)恢復(fù)的一整套理論體系[5]。

本文針對(duì)頻譜監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中，信號(hào)頻率域的稀疏特性，根據(jù)壓縮感知理論，采用數(shù)字技術(shù)虛擬多通道數(shù)據(jù)，通過(guò)數(shù)字域的隨機(jī)調(diào)制，將寬帶信號(hào)隨機(jī)混頻到基帶，然后使用變頻技術(shù)抽取數(shù)字信號(hào)，降低實(shí)際采樣頻率，減少數(shù)據(jù)量，然后對(duì)多路降采樣后的數(shù)據(jù)恢復(fù)出原始信號(hào)。

1 壓縮感知基本理論

傳統(tǒng)的Shannon-Nyquist采樣,要求采樣頻率必須大于或等于信號(hào)帶寬的兩倍才能無(wú)失真的重構(gòu)原始信號(hào)。但在很多工程實(shí)際應(yīng)用中，例如高分辨率的數(shù)碼裝置及超帶寬信號(hào)處理，為了減少高速采樣所帶來(lái)的高速采樣硬件要求及龐大采樣數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)、處理或傳輸壓力，往往采用數(shù)據(jù)壓縮的方法，但是信號(hào)壓縮實(shí)際上是一種資源浪費(fèi)，因?yàn)榇罅康牟恢匾幕蛘咧皇侨哂嘈畔⒃趬嚎s過(guò)程中被丟棄?；谛盘?hào)帶寬的Nyquist采樣是冗余的，帶寬并不是信號(hào)和信息的本質(zhì)表達(dá)。設(shè)想如果能夠直接采樣不被丟棄的重要信息，就可以大大降低采樣頻率，節(jié)約資源，提高效率，而且仍能夠精確重構(gòu)原始信號(hào)。

分析可得，Shannon-Nyquist采樣只利用了被采樣信號(hào)的帶寬這一最少的先驗(yàn)信息，現(xiàn)實(shí)生活中很多廣受關(guān)注的信號(hào)本身具有一些結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。相對(duì)于帶寬信息的自由度，這些結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是由信號(hào)的更小的一部分自由度所決定，或者說(shuō)，這種信號(hào)是稀疏信號(hào)(或者近似稀疏信號(hào)、可壓縮信號(hào))。另外一點(diǎn)是不相關(guān)特性。稀疏信號(hào)有用信息的獲取可以通過(guò)一個(gè)非自適應(yīng)的采樣方法將信號(hào)壓縮成較小的樣本數(shù)據(jù)來(lái)完成。壓縮感知方法拋棄了當(dāng)前信號(hào)采樣中的冗余信息，它直接從連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換得到壓縮樣本，然后在數(shù)字信號(hào)處理中采用優(yōu)化方法處理壓縮樣本。

壓縮感知基于信號(hào)的可壓縮性, 通過(guò)低維空間、低分辨率、欠Nyquist采樣數(shù)據(jù)的非相關(guān)觀測(cè)來(lái)實(shí)現(xiàn)高維信號(hào)的感知，豐富了關(guān)于信號(hào)恢復(fù)的優(yōu)化策略,極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論和工程應(yīng)用的結(jié)合。在無(wú)線通信、陣列信號(hào)處理、成像技術(shù)、模擬信息轉(zhuǎn)換、生理信號(hào)采集及生物傳感等領(lǐng)域受到高度關(guān)注并得到廣泛應(yīng)用。但傳統(tǒng)壓縮感知是以稀疏結(jié)構(gòu)為先驗(yàn)信息來(lái)進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)。當(dāng)前最新進(jìn)展顯示，數(shù)據(jù)中存在的其他簡(jiǎn)單代數(shù)結(jié)果也作為先驗(yàn)信息進(jìn)行信號(hào)估計(jì)。聯(lián)合開(kāi)發(fā)這些信號(hào)先驗(yàn)信息，將進(jìn)一步提高壓縮感知的性能。

壓縮感知理論指出，假設(shè)信號(hào)X為空間RN中N×1的維的向量，RN空間的一組規(guī)范正交基向量為Ψ=[ψ1，ψ2…ψN](ψ為空間CN中的1×N維的向量，ΨCN×N)，則有如下關(guān)系式：

Y=ΨXYCN×1

(1)

通過(guò)Ψ變換，信號(hào)X變換到另外一個(gè)域Y。使得在X域難以分辨的信號(hào)可以方便在Y域分辨。典型的傅里葉變換，就是通過(guò)一組正弦信號(hào)為基，將信號(hào)從時(shí)域變換到頻域；小波變換，就是通過(guò)一組小波基，將信號(hào)變換到小波域進(jìn)行研究。這里，域變換的原則就是將信號(hào)變換到稀疏域研究。傅里葉變換方便分析信號(hào)的頻譜，因?yàn)閱蝹€(gè)頻率的信號(hào)在時(shí)域上是連續(xù)變化的正弦或者余弦信號(hào)，而在頻率域就是單個(gè)點(diǎn)，具有非常大的稀疏性。短時(shí)信號(hào)在時(shí)域和頻域都不好分辨，而小波變換引入時(shí)間窗，一個(gè)存在周期非常短的信號(hào)，也可以在小波域清晰地表現(xiàn)出來(lái)。

(2)

這里，為了完美恢復(fù)出原始信號(hào)，有如下關(guān)系式：

(3)

測(cè)量矩陣的構(gòu)造前提是信號(hào)具有可稀疏表示的域，在此基礎(chǔ)上，好的測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)重構(gòu)后的質(zhì)量起著很重要的作用。測(cè)量矩陣應(yīng)該具有以下幾點(diǎn)性質(zhì)：(1)測(cè)量矩陣的列向量須滿足一定程度的線性獨(dú)立性。因?yàn)楦鱾€(gè)列向量獨(dú)立，才能成為空間的一個(gè)正交基，可以表示該空間內(nèi)所有的元素；(2)測(cè)量矩陣的列向量應(yīng)體現(xiàn)某種類似噪聲的獨(dú)立隨機(jī)性。因?yàn)樾盘?hào)轉(zhuǎn)換后的K個(gè)大值是隨著信號(hào)變化而變化，是一個(gè)時(shí)變參數(shù)，只有測(cè)量矩陣的隨機(jī)性才能使得該矩陣適應(yīng)信號(hào)的變化；(3)測(cè)量矩陣滿足稀疏度的解是L1范數(shù)最小的向量。根據(jù)測(cè)量矩陣的這幾條性質(zhì)可以看出，測(cè)量矩陣的最小奇異值必須大于某一個(gè)正常數(shù)，最小奇異值越大則矩陣的獨(dú)立性越強(qiáng)。當(dāng)最小奇異值趨于0時(shí)，矩陣的獨(dú)立性也就隨之消失。因此，需要去尋找一種新方法，該方法在不違背測(cè)量矩陣性質(zhì)的前提下，盡可能提高矩陣的最小奇異值[6]。

綜合以上分析，壓縮感知的采樣就是構(gòu)造一個(gè)測(cè)量矩陣Φ，應(yīng)用該矩陣測(cè)量信號(hào)，得到采樣后信號(hào)s=Φx。這樣，信號(hào)重建算法就是根據(jù)已知測(cè)量矩陣Φ和采樣后信號(hào)s恢復(fù)出原始信號(hào)x。信號(hào)的重建算法有基追蹤算法、貪婪算法、迭代閾值算法等[7]。本文主要研究壓縮采樣后信號(hào)的頻譜，不進(jìn)行信號(hào)的重建。

2 壓縮采樣

圖1直接采樣系統(tǒng)圖2基于測(cè)量矩陣的采樣系統(tǒng)

圖3 調(diào)制函數(shù)p(t)波形圖

定義ai為調(diào)制函數(shù)p(t)的取值，只能是+1或者-1。TP為p(t)的周期，M為一個(gè)周期內(nèi)±1的個(gè)數(shù)。則p(t)有如下關(guān)系：

(4)

p(t)的傅里葉變換為：

(5)

其中

(6)

(7)

其中

fp=1/Tp

(8)

3 數(shù)字壓縮采樣

基于數(shù)字多通道的壓縮采樣系統(tǒng)如圖4所示。

圖4 基于數(shù)字多通道的壓縮采樣系統(tǒng)

數(shù)字域進(jìn)行隨機(jī)調(diào)制濾波和抽取后，根據(jù)香農(nóng)采樣公式，該系統(tǒng)可以提高信號(hào)的信噪比，香農(nóng)采樣公式為：

SNR=6.02bit+20log(fs/B)+1.732

(9)

式中：bit為數(shù)據(jù)位數(shù)，也就是AD器件的位數(shù)；fs為采樣頻率；B為信號(hào)帶寬。數(shù)字壓縮系統(tǒng)和模擬壓縮系統(tǒng)相比，數(shù)字壓縮采用高速采樣，然后通過(guò)抽取降低信號(hào)分析帶寬，從而每降低一倍帶寬將帶來(lái) 6 dB的信噪比處理增益。模擬壓縮系統(tǒng)雖然也可以通過(guò)數(shù)字技術(shù)降低信號(hào)的分析帶寬，但其AD的采樣頻率低于數(shù)字壓縮系統(tǒng)，在同樣位數(shù)AD情況下，數(shù)字壓縮系統(tǒng)信噪比明顯高于模擬壓縮系統(tǒng)。數(shù)字壓縮系統(tǒng)只需要1路AD采樣，余下工作全部由數(shù)字信號(hào)處理器完成，而模擬系統(tǒng)需要多路低速AD采樣。模擬壓縮系統(tǒng)和數(shù)字壓縮系統(tǒng)相比，可以使用低速AD器件，就可以使用高位數(shù)的AD器件(目前AD器件的位數(shù)和采樣頻率成反比，位數(shù)少的AD采樣頻率可以很高，而位數(shù)多的AD采樣頻率不能太高)，通過(guò)改變公式(9)中的bit來(lái)提高信噪比，從這點(diǎn)可以看出，每提高一位AD位數(shù)，也會(huì)帶來(lái) 6 dB的信噪比位數(shù)增益。綜合以上分析，模擬壓縮系統(tǒng)和數(shù)字壓縮系統(tǒng)具有同樣的系統(tǒng)信噪比。模擬壓縮系統(tǒng)從模擬器件上實(shí)現(xiàn)，數(shù)字系統(tǒng)從數(shù)字抽取上實(shí)現(xiàn)。兩者實(shí)現(xiàn)方法不同，但結(jié)果一樣。下面將通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真，給出模擬壓縮采樣和數(shù)字壓縮采樣的優(yōu)劣及數(shù)字壓縮采樣的有效性。

4 實(shí)驗(yàn)與仿真

為了驗(yàn)證基于數(shù)字壓縮采樣方法的有效性，將其應(yīng)用到3余弦信號(hào)的頻譜分析。3余弦信號(hào)表達(dá)式為：

y(t)=cos(2πf0t)+0.5cos(2πf1t)+cos(2πf2t)+noise

(10)

式中：f0=13 Hz，f1=45 Hz，f2=172 Hz，noise為均勻分布在(-1，1)之間的白噪聲。在Matlab軟件平臺(tái)下，使用 512 Hz采樣頻率對(duì)信號(hào)進(jìn)行常規(guī)采樣，并進(jìn)行FFT分析，得到頻譜如圖5所示。

圖5常規(guī)采樣信號(hào)頻譜圖6低于Nyquist頻率采樣后信號(hào)頻譜

對(duì)于式(10)定義的3個(gè)信號(hào)，由于采樣頻率都大于Nyquist頻率。所以，圖5頻譜中較好分辨出三個(gè)譜線，由于信號(hào)f1的幅度為其他兩個(gè)信號(hào)的一半，圖5中低于 3 dB(10log0.5)。改變采樣頻率到Nyquist頻率以下，如 128 Hz，對(duì)信號(hào)采樣并進(jìn)行FFT分析，得到頻譜如圖6所示。

由于 128 Hz低于式(10)要求的Nyquist采樣頻率，圖6中出現(xiàn)信號(hào)的混疊譜線，如圖中的灰色線，這些灰色譜線代表的頻率依次為 44、83、84、115、141、173、211、212、243 Hz。圖中黑色譜線表示真實(shí)信號(hào)，依次為 13、45和 172 Hz?；疑V線的數(shù)值都是真實(shí)信號(hào)和按照采樣頻率整數(shù)倍關(guān)系的鏡像頻率。例如 83 Hz為真實(shí)信號(hào) 45 Hz的鏡像頻率(83=128-45)；141 Hz為真實(shí)信號(hào) 13 Hz的鏡像頻率(141=13+128)。

由于3余弦信號(hào)在頻域上只具有3根譜線，在頻域上滿足壓縮采樣的稀疏特性。為此，采用虛擬數(shù)字通道的方法，針對(duì)式(10)定義的信號(hào)，在Nyquist頻率 512 Hz采用，經(jīng)過(guò)一個(gè)隨機(jī)濾波器，將信號(hào)混頻到隨機(jī)位置，然后經(jīng)過(guò)16倍抽取到 32 Hz，使用4通道聯(lián)合恢復(fù)信號(hào)，檢測(cè)信號(hào)的頻譜，如圖7所示。

比較圖5和圖7，壓縮后的頻譜基本上和原始信號(hào)頻譜一致，真實(shí)信號(hào)譜的SNR相當(dāng)，但信號(hào)譜線的幅度有小的變化，這是因?yàn)閴嚎s和恢復(fù)過(guò)程，對(duì)真實(shí)信號(hào)存在一定的損失。圖7在無(wú)信號(hào)的噪聲頻段，噪聲譜降低了，這是因?yàn)閴嚎s過(guò)程，舍棄了幅度非常小的頻譜信息，恢復(fù)算法無(wú)法恢復(fù)出這些信息。由此可以看出，通過(guò)壓縮采樣的方法對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行檢測(cè)和估計(jì)是可行的，但壓縮損失了部分信號(hào)波形，對(duì)數(shù)據(jù)通信，可能會(huì)損失通信誤碼率。

圖7 壓縮采樣后的信號(hào)頻譜

由于壓縮后的信號(hào)的采樣頻率降低了16倍，通道數(shù)增加了4倍，所以整體數(shù)據(jù)量降低了4倍。壓縮采樣降低了數(shù)據(jù)量，節(jié)省了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間，降低了傳輸要求，尤其是需要實(shí)時(shí)傳輸?shù)膱?chǎng)合，不降低數(shù)據(jù)量無(wú)法實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)傳輸，但壓縮采樣，需要增加信號(hào)恢復(fù)算法，增加了后端的處理開(kāi)銷。

5 結(jié)論

由壓縮感知理論帶來(lái)的信息采樣，可以突破Nyquist采樣頻率的限制，減小了采樣海量冗余數(shù)據(jù)而造成的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸設(shè)備的使用量，而且降低了不斷接近模數(shù)轉(zhuǎn)換器件極限采樣頻率的要求。本文提出了虛擬數(shù)字多通道方法使用軟件方法實(shí)現(xiàn)了壓縮采樣，并將該方法應(yīng)用到信號(hào)的頻譜檢測(cè)和估計(jì)，采用軟件方法可以降低系統(tǒng)的硬件開(kāi)銷。通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較原始信號(hào)頻譜和壓縮恢復(fù)后的信號(hào)頻譜，該方法具有一定的有效性。但在觀測(cè)值存儲(chǔ)、傳輸和原始信號(hào)重構(gòu)的過(guò)程中，會(huì)產(chǎn)生一定的噪聲，所以設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣和恢復(fù)算法減少噪聲是目前壓縮采樣研究的熱點(diǎn)和新趨勢(shì)之一。

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Compressedsensingbased-ondigitalmulti-channelsamplingforsignalspectrumdetection

DU Cheng-tao1, WANG An-min2

(1.Electrical&PhotoelectricDept.,WestAnhuiUniversity,Lu'an237012，China； 2.ResearchofTongfangScienceandTechnologyLtd.,Beijing100085，China)

The traditional compression sampling is randomly modulated in the analog domain, then the low speed sampling is used to recover the original signal through multi-channel sampling. In this paper, we study the realization method of compression perception, and propose a digital virtual multi-channel compression sampling method for signal spectrum detection and estimation. In this method, the signal spectrum is mixed into the whole frequency band by randomly modulating in the digital domain, and then the multi-channel joint recovery signal is adopted by sampling below Nyquist frequency. The experimental results show that this method is useful for signal spectrum detection. The data virtual multi-channel avoids analog multi-channel hardware complexity, the digital method can compress the sampled data, save the data storage space and reduce the requirement of real-time data transmission.

compressed sensing; signal spectrum; digital multi-channels; sampling

2017-07-25

安徽省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ103762015B01)

杜成濤(1974—)，男，安微六安人，碩士，講師。

1674-7046(2017)05-0079-07

10.14140/j.cnki.hncjxb.2017.05.015

TN911.73

A