儲今雨
(北京師范大學附屬中學 100052)
高中遇到的很多解析幾何題,特別是一些證明題,給人的感覺總是充滿了機緣巧合.通過學習分析探究這些題目,發(fā)現(xiàn)所給的條件往往都是一般問題的特殊化處理.一些看似簡單的條件,往往都是做了精心的設計.因此在解題過程中,對所給條件內(nèi)在聯(lián)系的把握至關重要.
下面以2017年全國高考北京卷理科的第18題為例,對題目條件相關問題進行了探究,以揭示看似簡單的條件背后的秘密.
(Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程;
(Ⅱ)求證:A為線段BM的中點.
解(Ⅰ)略.
圖1
得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
因為點P的坐標為(1,1),
所以直線OP的方程為y=x,
點A的坐標為(x1,x1).
故A為線段BM的中點.
分析設直線的方程為y=kx+b(k≠0),
得k2x2+(2kb-1)x+b2=0.
也就是當點P(1,1)不變時,D換成y軸上除原點外的其他點,結論就不成立了,因此拋物線的方程是由點P(1,1)決定的,這說明D與P之間是有聯(lián)系的.
探究2過點D作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,點M,N是否會與點P重合呢?
也即直線DP與拋物線C只有一個交點,所以點M,N不會與點P重合.
探究3解決了上述兩個問題,對題目條件作進一步分析:直線DP與拋物線C只有一個交點,等價于直線DP是拋物C線的切線.那么能否從切線的角度將點D的范圍推廣呢?也就是對于拋物線C:y2=2px,過y軸上除原點外的任意一點D作拋物線的切線DP,若其他條件不變,A為線段BM的中點的結論仍成立嗎?
分析設D(0,b),直線l的方程為y=kx+b(k≠0),
得k2x2+2(kb-p)x+b2=0.
故A為線段BM的中點.
由此可得出:
推廣1已知拋物線C:y2=2px,過y軸除原點外的任意一點D作拋物線的切線DP,切點P,過點D作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B,其中O為原點.則A為線段BM的中點.
探究4再將點D的范圍作進一步的推廣:對于拋物線外任意點D,是否有類似的結論成立?原題中的其他條件是否也要變化?原題中點A,B是過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON的交點,與x軸垂直的直線也可以看作是與y軸平行的直線.從拋物線的角度來看,y軸是切線,O是切點,所以當點D推廣時,過點D作拋物線的兩條切線,點A,B是過點M作與一條切線平行的直線分別與直線QP,QN的交點,A還是線段BM的中點嗎?
分析設D(x0,y0),當x0=0時,已證明.下面證明x0≠0的情況,設切點Q(x3,y3),P(x4,y4),此時y0y3y4≠0.如圖2,直線DQ的斜率一定存在,則直線DQ:y3y=p(x+x3),
直線DP:y4y=p(x+x4),
解得2px0=y3y4,2y0=y3+y4.
①
直線PQ:y0y=p(x0+x),
因為D,M,N在一條直線上,
所以(y1-y0)(x2-x1)=(y2-y1)(x1-x0),
圖2
得(y1-y0)(y2+y1)=2p(x1-x0),
化簡得y1y2-y0y2-y0y1+2px0=0,
將①代入得
(y1+y2)(y3+y4)=2y1y2+2y3y4
②
若證明A為線段BM的中點,只要證明點M關于A的對稱點A′在直線QN上.A′在直線QN上等價于
(yA′-y3)(x2-x3)=(y2-y3)(xA′-x3),
即證 (yA′-y3)(y2+y3)=2p(xA′-x3)
③
又xA′=2xA-x1
2y32y4+y3y12+y4y12-y32y1-y32y2-2y12y2+3y1y2y3-3y1y3y4+y1y2y4-y2y3y4=0
④
原命題就是證明上式恒成立.
左邊變形為
(y3-y1)(2y3y4+2y1y2)+y1(y1y3+y2y3+y1y4+y2y4)-y3(y1y3+y1y4+y3y2+y2y4)
把②變形為y1y3+y2y3+y1y4+y2y4=2y1y2+2y3y4
顯然④成立,因此猜想得證.
由此得出:
推廣2已知拋物線C:y2=2px,過拋物線外任意一點D作拋物線的兩條切線,設切點為P,Q,過點D作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作與DQ平行的直線與直線PQ,QN交于點A,B,則A是線段BM的中點.
探究5類似地,如果把拋物線換成橢圓和雙曲線,同理可證類似結論仍成立.由此可得到以下兩個結論: