關(guān)于兩道數(shù)學(xué)奧林匹克題的推廣與證明

喻德生

(南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 330063)

1985年第26屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽一道候選題是這樣的[1]：已知:三角形ABC及形外的點(diǎn)X,Y,Z,∠BAZ=∠CAY,∠CBX=∠ABZ,∠ACY=∠BCX，求證：AX,BY,CZ共點(diǎn).該題的證明，通常要利用正弦定理和梅內(nèi)勞斯定理的逆定理，較具技巧性.本文利用有向度量定值法[2-7]研究該問(wèn)題，得到一個(gè)涵蓋面十分廣泛的定值定理.利用該定理，不僅容易推出該題和另一道數(shù)學(xué)奧林匹克題的結(jié)論，而且還將它們推廣到更為廣泛的情形.

定義1[2]三角形P1P2P3各邊PiPi+1(i=1,2,3;P3+j=Pj，以下類同)所在直線把平面分成兩部分，三角形所在的部分稱為直線PiPi+1的內(nèi)側(cè)，另一部分稱為直線PiPi+1的外側(cè).

定義2[2]設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離為dP0-l，則稱該點(diǎn)到該直線帶符號(hào)的距離±dP0-l為點(diǎn)P0到直線l的有向距離，記為DP0-l.即DP0-l=±dP0-l，其中當(dāng)Ax0+By0+C>0時(shí)，取“+”號(hào)；當(dāng)Ax0+By0+C<0時(shí)，取“-”號(hào).

特別地，當(dāng)dP0-l=0，即P0在直線l上時(shí)，規(guī)定P0到直線l有向距離為零，即DP0-l=0.

顯然，點(diǎn)到直線的有向距離具有有向性：點(diǎn)P0到方向相反的兩直線l:Ax+By+C=0與l-:-Ax-By-C=0有向距離的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，即DP0-l-=-DP0-l.

根據(jù)定義2和點(diǎn)到直線距離公式，容易證明點(diǎn)到直線有向距離公式：

引理1[2]點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的有向距離

(1)

(2)

證明(i)如圖1所示.設(shè)三角形P1P2P3頂點(diǎn)的坐標(biāo)為Pi(xi,yi)(i=1,2,3)，可得PiPi+1外側(cè)三角形PiPi+1Qi頂點(diǎn)Qi的坐標(biāo)為[2]

設(shè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y)，于是由有向直線PiQi+1的直線方程

(yi-yQi+1)x+(xQi+1-xi)y+(xiyQi+1-xQi+1yi)=0

圖1

和點(diǎn)到直線的有向距離公式，可得

dPiQi+1DP-PiQi+1=(yi-yQi+1)x+(xQi+1-xi)y+(xiyQi+1-xQi+1yi).

圖2

圖3

因?yàn)?/p>

(yi+1tanαi+1+yi+2tanαi+2)]

類似地，可得

tanαitanαi+1tanαi+2

(yi+1yi-yiyi+1)]

=0，

所以

=0，

因此式(1)成立.

證明(i)如圖2所示.設(shè)P1Q2,P2Q3所在直線的交點(diǎn)為G，則DG-P1Q2=DG-P2Q3=0.代入式(1)并注意到tanαi(tanαi+1+tanαi+2)dPiQi+1≠0，可得DG-P3Q1=0，因此G在直線P3Q1上.故P1Q2,P2Q3,P3Q1所在直線相交于點(diǎn)G.

證明如圖3所示.設(shè)∠P2P1Q1=∠P3P1Q3

注三角形各邊外側(cè)三角形的情形，推論1即為1985年第26屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽候選題；而當(dāng)P1P2P3銳角三角形時(shí)，推論2即1973年第7屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克題的第(2)部分.但應(yīng)注意本文定理及其推論，對(duì)αi∈(0,π/2)∪(π/2,π)(i=1,2,3)都成立，因此即使是對(duì)三角形各邊外側(cè)三角形的情形，兩推論的范圍比兩競(jìng)賽題的結(jié)論也要廣泛得多.這種非常一般性的結(jié)論，用傳統(tǒng)方法是不易證明的.