尹夢(mèng)迪　林偉華

【摘 要】觀察一在水中半浸沒的豎直振動(dòng)水平圓柱周圍的水波，圓柱的振動(dòng)頻率對(duì)其周圍水波流向有明顯影響。在低頻率時(shí)，平面波自振子向周圍推進(jìn)；增加頻率，交叉波逐漸取代平面波，在振子周圍形成不穩(wěn)定流場(chǎng)；繼續(xù)增加頻率，振子周圍形成拉格朗日相干結(jié)構(gòu)，并滿足Lighthill判據(jù)，繼而發(fā)生水波逆向流動(dòng)現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)通過(guò)改變振動(dòng)頻率、幅度及振子材質(zhì)觀察水波流動(dòng)現(xiàn)象，來(lái)探究水波逆向流動(dòng)的因素，并嘗試用流形解釋這一現(xiàn)象。通過(guò)振動(dòng)驅(qū)動(dòng)水波流向改變，這一非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，可在日后的水運(yùn)中得到應(yīng)用，達(dá)到節(jié)能、高效生產(chǎn)的目的。

【關(guān)鍵詞】豎直振動(dòng)；表面水波流向；拉格朗日相干結(jié)構(gòu)；Lighthill判據(jù)；流形

中圖分類號(hào)： G649.28 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2017）26-0001-004

The Study of the Effect of Oscillation Frequency of Vertical Oscillator on the Flow Direction of Surface Water Wave

YIN Meng-di LIN Wei-hua

（Physics National Experimental Teaching Demonstration Center，School of Physics Science and Technology，Wuhan University，Wuhan 430072，China）

【Abstract】Observing the surface water wave generated by a half-submerged vertically oscillating cylinder，the frequency of oscillation would have great influence on the propagating direction of the flow.When the cylinder is vibrating with a low frequency，the waves are observed escaping from the cylinder as plane waves.As the frequency is increased，cross-waves appear and the field around the object becomes unstable.When the frequency is high enough， Lagrangian Coherent Structures is formed around the cylinder and Lighthill criterion is satisfied，as well as the propagating direction of waves reversed.The influence effectors of the reversed flow are experimentally studied by changing the oscillating frequency and amplitude of the oscillators，as well as the materials.Whats more，the effectors could be explained using manifold.The method of changing the propagating direction of water flow by oscillations，a nonlinear dynamic phenomenon，could be applied in water carriage in the future with more energy conservation and higher efficiency.

【Key words】Vertical oscillation；Flow direction of surface water wave；Lagrangian Coherent Structures；Lighthill criterion；Manifold

0 引言

在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，由于水波現(xiàn)象對(duì)水運(yùn)水利工程生產(chǎn)中的方方面面有著顯著影響，人們對(duì)水波現(xiàn)象進(jìn)行了不斷的研究，并取得了顯著成果。而通過(guò)技術(shù)手段產(chǎn)生能將遠(yuǎn)處物體運(yùn)輸?shù)浇幍乃ǜ鼡碛袕V泛的應(yīng)用前景，例如幫助人們更好地理解海洋中船舶的運(yùn)動(dòng)，從而指導(dǎo)人們進(jìn)行技術(shù)改革，發(fā)明出更加節(jié)能有效的水運(yùn)工具。

一個(gè)半浸沒在水中的圓柱豎直振動(dòng)時(shí)，振子周圍會(huì)產(chǎn)生水波。在之前的研究已經(jīng)表明圓柱振幅[1]、容器壁對(duì)水流的反射作用以及振子形狀對(duì)水波和流場(chǎng)具有顯著影響[2]，同時(shí)發(fā)現(xiàn)有限振幅水波的調(diào)制不穩(wěn)定性和交叉波的產(chǎn)生是導(dǎo)致水波流向轉(zhuǎn)變?yōu)槌蛘褡恿鲃?dòng)的主要因素之一[2]。根據(jù)Lighthill判據(jù)[3-4]，調(diào)制不穩(wěn)定性是與水波頻率密切相關(guān)的，從而理論上，連續(xù)改變振子振動(dòng)頻率會(huì)對(duì)水波流動(dòng)方向產(chǎn)生明顯影響。

本文將探討研究振子振動(dòng)情況影響其周圍產(chǎn)生的水波流向，即產(chǎn)生背離和流向振子的變化。實(shí)驗(yàn)中選用清水和圓柱體作為研究對(duì)象，對(duì)在水中豎直振動(dòng)的水平圓柱因振動(dòng)頻率、振子材料導(dǎo)致周圍的水波流向產(chǎn)生的變化進(jìn)行觀察，并對(duì)現(xiàn)象展開討論，其中著重探討的是振子振動(dòng)頻率對(duì)水波流向的影響。

1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，在一透明方形水箱（長(zhǎng)l=53cm，寬w=39cm，水深h=13cm）中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，振子取為圓柱體。用鐵質(zhì)細(xì)桿將振子與信號(hào)轉(zhuǎn)換器連接，信號(hào)轉(zhuǎn)換器與信號(hào)發(fā)生器（型號(hào)DF1631F）相連。振動(dòng)頻率和振動(dòng)幅度都可直接從信號(hào)發(fā)生器上直接讀出，其中振動(dòng)幅度是通過(guò)峰峰值電壓（Vp-p）表示，振動(dòng)頻率范圍是從0Hz到100Hz，Vp-p的取值有22.1v（最大輸出電壓）、17.1v、12.1v，信號(hào)源輸出正弦信號(hào)。為使實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象易于觀察，在水面上加入了一些細(xì)小的泡沫塑料顆粒，并用高速攝像機(jī)進(jìn)行拍攝顆粒的運(yùn)動(dòng)。endprint

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，只要振動(dòng)幅度和頻率達(dá)到足夠條件，水波的方向就會(huì)發(fā)生逆轉(zhuǎn)。圖2中顯示的是在Vp-p=22.1v（振子振幅為0.75cm）下塑料圓柱（長(zhǎng)d=22.218cm，半徑r=1.830cm）周圍的水波隨振動(dòng)頻率變化的情況[1]。

當(dāng)頻率（f）低于7Hz時(shí)，圓柱周圍是有橢圓波前的平面波，如圖2（a）、（b）所示；當(dāng)頻率在7Hz以上時(shí)，波前開始抖動(dòng)，不再是規(guī)則的橢圓形狀，如圖2（c）、（d）所示；當(dāng)頻率到16Hz時(shí)，靠近振子處有明顯的交叉波產(chǎn)生[圖2（e）、（f）所示]；當(dāng)頻率達(dá)23Hz時(shí)局部區(qū)域出現(xiàn)朝向振子行進(jìn)的水波，繼續(xù)增加頻率，逆流水波區(qū)域逐漸增大；當(dāng)頻率達(dá)31Hz時(shí)全流場(chǎng)出現(xiàn)朝向振子流動(dòng)的水波[圖2（g）、（h）所示]；繼續(xù)增加頻率，觀察到逆流區(qū)域逐漸減小，增加到38Hz時(shí)，整個(gè)流場(chǎng)中水波再次背離圓柱流動(dòng)，上調(diào)頻率，流場(chǎng)中再次出現(xiàn)局部朝向振子行進(jìn)的水波，但整個(gè)流場(chǎng)中水波行進(jìn)速度十分緩慢，當(dāng)頻率上調(diào)至47Hz時(shí)，水流近似靜止。

當(dāng)Vp-p=17v時(shí)，在實(shí)驗(yàn)選取的頻率范圍內(nèi)（0～100Hz）流場(chǎng)中不出現(xiàn)整體逆流的現(xiàn)象，但有小規(guī)模逆流現(xiàn)象，在18Hz時(shí)出現(xiàn)小規(guī)模逆流，隨頻率增加逆流區(qū)域逐漸增大，到25Hz時(shí)逆流區(qū)域達(dá)到最大，范圍在從振子出發(fā)到在距離振子12cm處；36Hz以上，水流近似靜止。

但Vp-p=12v時(shí)，20Hz時(shí)出現(xiàn)小規(guī)模逆流；26Hz時(shí)在距離振子小于等于8cm的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)朝向振子流動(dòng)的水流，逆流區(qū)域最大；30Hz以上，水流近似靜止。

實(shí)驗(yàn)中將硬質(zhì)塑料棒換為同等條件但質(zhì)地較軟的橡膠棒，水流隨頻率的變化規(guī)律基本相似，但每次發(fā)生變化的頻率會(huì)有不同，在Vp-p仍為22.1v的情況下，當(dāng)頻率低于4.3Hz時(shí)，圓柱周圍是有橢圓波前的平面波[參考圖2（a）、 （b）]；當(dāng)頻率在4.3Hz以上時(shí)，波前開始抖動(dòng)，不再是規(guī)則的橢圓形狀[參考圖2（c）、2（d）]；頻率到7.9Hz時(shí)，靠近振子處有明顯的交叉波產(chǎn)生[參考圖2（e）、（f）]；17.3Hz時(shí)局部區(qū)域出現(xiàn)朝向振子行進(jìn)的水波，繼續(xù)增加頻率，逆流水波區(qū)域逐漸增大；25.3Hz時(shí)全流場(chǎng)出現(xiàn)朝向振子流動(dòng)的水波[參考圖2（g）、（h）]；增加頻率，觀察到逆流區(qū)域逐漸減小，流速減慢，增加到28Hz時(shí)，整個(gè)流場(chǎng)中水波再次背離圓柱流動(dòng)，上調(diào)至頻率30Hz，流場(chǎng)中再次出現(xiàn)朝向振子行進(jìn)的水波，但整個(gè)流場(chǎng)中水波行進(jìn)速度十分緩慢，當(dāng)頻率上調(diào)至38Hz時(shí)，水流再次向外流動(dòng)，50Hz以上，水流近似靜止。

而在Vp-p分別為17v、12v時(shí)，流場(chǎng)均出現(xiàn)一次逆流現(xiàn)象，頻率分別對(duì)應(yīng)26Hz和31.4Hz。

圖2Vp-p=22.1v（振子振幅為0.75cm）下塑料圓柱（長(zhǎng)d=22.218cm，半徑r=1.830cm）周圍的水波隨振動(dòng)頻率變化 （a） f <7Hz橢圓形波前平面波；（c） f≥7Hz波前開始不穩(wěn)定；（e）f≥16Hz出現(xiàn)交叉波；（g）31Hz≤f≤38Hz逆流時(shí)振子前的波場(chǎng)狀況；（b）、（d）、（f）、（h） 根據(jù)流場(chǎng)情況簡(jiǎn)化的水流曲線，分別與（a） 、（c）、（e）、（g）對(duì)應(yīng)。（a）、（c）、（e）、（g）中的長(zhǎng)方形邊框表示振子

實(shí)驗(yàn)觀察流場(chǎng)隨振動(dòng)頻率變化，其現(xiàn)象可分為4個(gè)過(guò)程：

（1）頻率較低時(shí)，水波有橢圓形波前，背離振子流動(dòng)，是平面波[圖2（a）、（b）]；

（2）增加頻率，水波波前不再是規(guī)則橢圓形，出現(xiàn)抖動(dòng)，方向仍然是背離振子[圖2（c）、（d）]；

（3）頻率繼續(xù)增加，振子兩端出現(xiàn)如圖2（e）、（f）所示的水流，振子周圍流場(chǎng)紊亂，湍流出現(xiàn)，出現(xiàn)交叉波，此時(shí)再增加頻率，水波向外流動(dòng)速度會(huì)逐漸減緩，接著流場(chǎng)類似靜止；

（4）繼續(xù)增加頻率，水波開始緩慢向內(nèi)流動(dòng)，隨著頻率增加，向內(nèi)流動(dòng)加劇。此時(shí)可明顯發(fā)現(xiàn)再振子的兩側(cè)形成四個(gè)渦旋，靠近振子處有隨機(jī)拉格朗日運(yùn)輸區(qū)域的產(chǎn)生，并且振子兩端的水流流向?yàn)楸畴x振子。在此區(qū)域中，流場(chǎng)為不穩(wěn)定流場(chǎng)[圖2（g） 圖2（h）]。

值得注意的是，每當(dāng)臨近水流方向改變的閾值時(shí)，按原向流動(dòng)的水流總是會(huì)減速，到流場(chǎng)近似靜止的情況后繼續(xù)增加頻率，水流方向會(huì)反向，并逐漸增加到一極大值，之后再逐漸減緩。出現(xiàn)水波背離圓柱流動(dòng)時(shí)，振子前的流場(chǎng)均是不穩(wěn)定的。

改變振子材料時(shí)，發(fā)現(xiàn)彈性振子相比于剛性振子，對(duì)流場(chǎng)產(chǎn)生的擾動(dòng)更大，出現(xiàn)現(xiàn)象時(shí)的頻率比同條件的硬質(zhì)棒更低，而現(xiàn)象發(fā)生頻率也更密集。

2 理論分析

2.1 不穩(wěn)定流場(chǎng)的成因

觀察實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生水波朝向振子流動(dòng)的流場(chǎng)，不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)振子前有不穩(wěn)定交叉波區(qū)域，此區(qū)域?qū)⒄褡忧耙后w排開；而流場(chǎng)中大型漩渦的產(chǎn)生，對(duì)流向振子的水波有驅(qū)動(dòng)作用。其中最原始的因素是流場(chǎng)中調(diào)制不穩(wěn)定性（modulation instability）[2]的產(chǎn)生。以下首先需探究產(chǎn)生不穩(wěn)定水波的因素及其影響。

在流場(chǎng)的非線性分析領(lǐng)域，Lighthill判據(jù)[3-4]為判斷是否形成不穩(wěn)定水波的一個(gè)重要依據(jù)。Lighthill判據(jù)可寫為：

L = （1）

其中ω = （2）

ω≈[gk+ 1+ ] （3）

式中T為液體表面張力系數(shù)（本文取7.182×10-2N/m）；|a|2為波動(dòng)強(qiáng)度（a取振子振幅）；k為波數(shù)；ρ為液體密度；ωk由式（2）給出；ω為非線性波動(dòng)的頻率，由（3）式給出。當(dāng)滿足Lj<0時(shí)，不穩(wěn)定流場(chǎng)產(chǎn)生[3-4]。

根據(jù)流體力學(xué)邊界條件[5-8]，振子周圍的流場(chǎng)振動(dòng)受到振子振動(dòng)的影響，當(dāng)振子振幅、振動(dòng)頻率改變時(shí)，其周圍流場(chǎng)的振幅、振動(dòng)頻率也會(huì)相應(yīng)改變。當(dāng)Lj=0時(shí)，式中ω即為閾值。則固定振幅時(shí)，隨著振子振動(dòng)頻率改變，流體振動(dòng)頻率也逐漸靠近、到達(dá)、遠(yuǎn)離不穩(wěn)定閾值，式（1）的值也不斷穿越0值線，于是造成水波流向的陣發(fā)性改變。endprint

x圖3（a）Vp-p=22.1v d=22.185cm r=1.830cm半浸沒塑料圓柱振子在頻率改變時(shí)流場(chǎng)中某點(diǎn)的速度變化情況圖，其臨界頻率為31Hz。（b）Vp-p=22.1v d=31.220cm r=1.565cm半浸沒橡膠圓柱振子在頻率改變時(shí)流場(chǎng)中某點(diǎn)的速度變化情況圖，其臨界頻率為19.2Hz。圖中橫坐標(biāo)代表頻率（Hz），縱坐標(biāo)代表某點(diǎn)速度（m/s），紅線為速率的零值線。

圖3中顯示了不同流場(chǎng)中在閾值頻率附近改變振動(dòng)頻率時(shí)流場(chǎng)中某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的變化情況，記錄時(shí)選擇流向振子為速度正向?？梢?，當(dāng)頻率靠近閾值時(shí)，流場(chǎng)的流速（絕對(duì)值）呈減小[3]趨勢(shì)，而遠(yuǎn)離時(shí)，流速又呈增加趨勢(shì)。當(dāng)振子材料不同時(shí)，其速度改變的頻率閾值也不同。此外，圖3（b）中擬合曲線在頻率大于19Hz之后有一段呈現(xiàn)速度絕對(duì)值減小的情況， 一是由于在該流場(chǎng)中，圖3（b）中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在19.5Hz～20.4Hz的頻段處于一個(gè)小型漩渦上；二是由于不排除跟蹤該點(diǎn)時(shí)操作誤差的影響。但從整體趨勢(shì)可得知，該點(diǎn)的速率變化規(guī)律仍然是符合理論的。

2.2 影響水流方向的因素

通過(guò)對(duì)不穩(wěn)定流場(chǎng)的成因的分析可知，流場(chǎng)不穩(wěn)定是出現(xiàn)水流方向改變的前提，但單純從不穩(wěn)定流場(chǎng)出發(fā)，并不能解釋為何流場(chǎng)內(nèi)會(huì)同時(shí)出現(xiàn)不同流向的水流，也不足以充分研究影響液體流向的因素。而些更深層次的問題需要借助流形來(lái)探究。本小節(jié)中將首先從流形出發(fā)，對(duì)問題進(jìn)行解釋。在流場(chǎng)中用實(shí)質(zhì)面MS（material surface）表示流場(chǎng)中某條實(shí)質(zhì)線ML（material line）在一定時(shí)間t中位移、形變所產(chǎn)生的曲面[9]。當(dāng)流體軌跡都以指數(shù)離開MS時(shí)，稱該MS是不穩(wěn)定的，此時(shí)滿足條件：

[ （t，t+Δt）]·J（ ）n（ ，t）≥e （4）

式中J（ ）為場(chǎng)的雅可比矩陣， [ （t，t+Δt）]為行進(jìn)時(shí)間間隔Δt后該點(diǎn)的單位矢量，n（ ，t）為初始點(diǎn)的單位矢量， 為初始位置條件，t為時(shí)間。

當(dāng)MS在反演時(shí)間中滿足上述條件時(shí)，則稱為穩(wěn)定實(shí)質(zhì)面。根據(jù)參考文獻(xiàn)[9]，在此定義下，MS的穩(wěn)定性與動(dòng)力學(xué)流形的不穩(wěn)定性相照應(yīng)，即穩(wěn)定的實(shí)質(zhì)面（stable material surface） 對(duì)應(yīng)的是不穩(wěn)定流形（unstable manifold）。而由上述定義可推知，實(shí)質(zhì)面是實(shí)質(zhì)線在相空間中的擴(kuò)展，定義初值條件 、t0下，在時(shí)間間隔[t0，t-1]內(nèi)的穩(wěn)定時(shí)間（stability time）T（ ，t0）為[9]：

T（ ，t0）= dτ（5）

積分區(qū)域?yàn)榱鲌?chǎng)中的最大開放空間，受到實(shí)質(zhì)面之間的距離限制；t-1為反演時(shí)間。沿著實(shí)質(zhì)線，T（ ，t0）將達(dá)到區(qū)域最值。當(dāng)其達(dá)到區(qū)域最大值時(shí)，實(shí)質(zhì)線周圍液體將朝向該實(shí)質(zhì)線流動(dòng)。結(jié)合實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，不難解釋，當(dāng)振子前穩(wěn)定實(shí)質(zhì)面上的穩(wěn)定時(shí)間達(dá)到區(qū)域最大值時(shí)（此時(shí)動(dòng)力學(xué)為不穩(wěn)定），液體朝振子匯聚，從而形成流向振子的水流；而在其余區(qū)域，沿著實(shí)質(zhì)線上分布的穩(wěn)定時(shí)間達(dá)到最小值時(shí)，會(huì)形成背離振子流動(dòng)的水流。此外，不同水流方向的界線也可以由此推知，應(yīng)分布在T（，t0）最大、最小值的交界處。

從參考文獻(xiàn)[2-5]可知水波逆向流動(dòng)時(shí)振子周圍會(huì)形成LCSs（Lagrangian Coherent Structures），而流場(chǎng)可以根據(jù)FTLE（Finite-time Lyapunov exponent）進(jìn)行研究判斷[2-10]，結(jié)合兩者，可以找到不穩(wěn)定流場(chǎng)中水波向外流和向內(nèi)流的界線——最大李亞普諾夫指數(shù)所構(gòu)成的脊線。

2.3 振子材料對(duì)閾值的影響

由于振子的振動(dòng)，振子周圍的液體不斷被振子推開，在振子離開時(shí)又由于重力等因素回到原來(lái)位置，于是流場(chǎng)中產(chǎn)生擾動(dòng)。對(duì)于有限振幅，當(dāng)振子振動(dòng)頻率很高時(shí)，振子在離開圖4（c）、（d）位置之后迅速回到原位置，流體團(tuán)所能由回復(fù)所得到的擾動(dòng)減少，從而導(dǎo)致在高頻率時(shí)流場(chǎng)趨于靜止的現(xiàn)象。

彈性材料與硬質(zhì)材料不同，在振動(dòng)時(shí)伴隨著相對(duì)較大的形變改變，在振子形變、恢復(fù)的過(guò)程中，振子偏離振動(dòng)中心處的區(qū)域有明顯的振動(dòng)延遲，從而使振子對(duì)流場(chǎng)的擾動(dòng)增加，流場(chǎng)的不穩(wěn)定性增強(qiáng)。圖4（a）、（b）給出了振子相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀況圖。當(dāng)振子離開（進(jìn)入）水面時(shí)，如圖4（a）、（b）所示，彈性振子兩端相比中心有一定的相位延遲，從而導(dǎo)致了水流受到擾動(dòng)的不均一性，使得彈性振子周圍的流場(chǎng)變化與非彈性振子明顯不同。

圖4 （a）、（b）向上振動(dòng)和向下振動(dòng)的橡膠棒； （c）、（d）硬質(zhì)棒振動(dòng)情況，振子下的流場(chǎng)振動(dòng)均一。

3 總結(jié)

實(shí)驗(yàn)研究了振子振動(dòng)因素對(duì)振子前水波流向的影響，通過(guò)改變振動(dòng)頻率、振動(dòng)幅度、振子材質(zhì)來(lái)研究振子前水波流向的關(guān)系，觀察流場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)隨著頻率增加、幅度增大和材質(zhì)彈性增強(qiáng)均會(huì)對(duì)水波流向產(chǎn)生影響，從而得出結(jié)論：流場(chǎng)不穩(wěn)定是導(dǎo)致水波流向改變的主要因素，水流方向是由不穩(wěn)定流場(chǎng)中實(shí)質(zhì)面上的實(shí)質(zhì)線值的分布確定，流動(dòng)邊界可以通過(guò)計(jì)算FTLE場(chǎng)確定。

本文研究得出參變量變化主要影響了流場(chǎng)穩(wěn)定性，當(dāng)超過(guò)流場(chǎng)穩(wěn)定的閾值條件之后，振子前流場(chǎng)不穩(wěn)定，結(jié)合流形，可通過(guò)位于實(shí)質(zhì)面上的實(shí)質(zhì)線確定水流方向， 又振子前水波會(huì)產(chǎn)生LCSs， 對(duì)水波流動(dòng)會(huì)起到引導(dǎo)的作用，再計(jì)算流場(chǎng)的FTLE場(chǎng)，則可明確不同流向水波之間的分界線。

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