基于非線性最小二乘法指數(shù)平滑系數(shù)估計

韓坤

【摘 要】運用指數(shù)平滑預(yù)測模型進行時序數(shù)據(jù)的預(yù)測分析時，關(guān)于指數(shù)平滑系數(shù)α最優(yōu)估計是研究者們長期以來需要解決的關(guān)鍵性問題。本文提出基于非線性最小二乘法的指數(shù)平滑系數(shù)α選取方法，其核心思想在于根據(jù)預(yù)測值與實測值之間的擬合誤差平方和最小值，利用非線性最小二乘法中具有松弛性質(zhì)的搜索算法，通過高斯-牛頓迭代程序估計最優(yōu)指數(shù)平滑系數(shù)α，使得指數(shù)平滑預(yù)測模型在預(yù)測過程中達到更為精準(zhǔn)的預(yù)測精度。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)平滑預(yù)測模型；平滑系數(shù)；非線性最小二乘法

中圖分類號： U461.51 文獻標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2017）26-0012-002

Based on nonlinear least-squares index smoothing coefficient alpha estimation

HAN Kun

（School of Advanced Manufacturing Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing，400065，China）

【Abstract】Using exponential smoothing prediction model to predict the time sequence data，optimal

estimation of exponential smoothing coefficient is the key problems researchers have needed to solve.In this paper，an exponential smoothing coefficient alpha selection method based on the nonlinear least squares is proposed，the core idea lies in the minimum sum of squared error between the predicted value and the measured value，using the search algorithm with relaxation property in nonlinear least square method，the optimal smoothness coefficient is determined by the Gaussian-Newton iteration procedure，the prediction accuracy of the exponential smoothing prediction model is achieved in the prediction process.

【Key words】Exponential smoothing prediction model；Smoothing coefficient；Nonlinear least square method

0 引言

Robert G.Brown[1]于1959年在《庫存管理的統(tǒng)計預(yù)測》一書中首次提出指數(shù)平滑法的概念，且將其常用于生產(chǎn)預(yù)測以及中短期經(jīng)濟發(fā)展趨勢預(yù)測中。指數(shù)平滑系數(shù)α是用指數(shù)平滑法計算預(yù)測趨勢值是否符合實際的關(guān)鍵，因為平滑系數(shù)α即代表指數(shù)平滑預(yù)測模型對時間序列數(shù)據(jù)變化的反映速度，又決定了預(yù)測模型修勻誤差的能力；平滑系數(shù)α的大小體現(xiàn)了各期觀察值在指數(shù)平滑值中所占的比重，權(quán)衡各期觀察值所起的不同影響作用。許多學(xué)者提出了各種對于指數(shù)平滑系數(shù)α的最優(yōu)估計方法，其原則是使預(yù)測值與實測值之間的誤差最小[3-4]；本文提出了一種新的基于非線性最小二乘法中具有松弛性質(zhì)的搜索算法確定平滑系數(shù)的最優(yōu)值。

1 一次指數(shù)平滑預(yù)測模型簡述

1.1 水平型指數(shù)平滑預(yù)測模型

設(shè)水平型時序數(shù)據(jù)實測值為y1，y2，…，yt-1，yt；按下式計算得到一次指數(shù)平滑預(yù)測值[5]：

t+1=St（1）=αyt+（1-α）S =α（yt-S ）+S （1）

式中，yt—時間t的實測觀察值（t=1，2，…，t）

t+1—時間t+1的預(yù)測值（或擬合值）

St（1）—時間t的一次指數(shù)平滑值

α—指數(shù)平滑系數(shù)，且0<α<1

從公式（1）中可以看出，下一期預(yù)測值 t+1是根據(jù)本期預(yù)測誤差yt-S 對本期預(yù)測值S 的修正而得，α的大小決定了預(yù)測模型修正誤差的程度。

將式（1）展開[2]：

S =αyt+（1-α）[αyt-1+（1-α）S ]

=αyt+α（1-α）yt-1+（1-α）2S

=αyt+α（1-α）yt-1+…+α（1-α）t-1y1+（1-α）tS

=α∑ （1-α）jyt-j+（1-α）tS （2）

當(dāng)資料數(shù)據(jù)足夠多，t趨于無窮時，隨著t的增大（1-α）t會逐漸趨于零，從而在平滑過程中S 對S 式（2）的變形式為：

S =α∑ （1-α）jyt-j（3）

本文僅探討一次指數(shù)平滑預(yù)測過程中平滑系數(shù)α最優(yōu)估計問題，并且所采用的一次指數(shù)平滑預(yù)測模型要求時序數(shù)據(jù)符合平穩(wěn)序列特點，即水平型指數(shù)平滑預(yù)測模型，后續(xù)討論研究均建立在預(yù)測公式（1）的基礎(chǔ)上。

2 基于非線性最小二乘法平滑系數(shù)α問題

本文運用非線性最小二乘法估計平滑系數(shù)α最優(yōu)值是根據(jù)其具有松弛性質(zhì)的搜索算法，以預(yù)測值（指數(shù)平滑值）與實測值之間的擬合誤差（預(yù)測誤差）平方和最小值，確定出最優(yōu)平滑系數(shù)α。endprint

假設(shè)S0已知，則t-1期指數(shù)平滑預(yù)測值St-1= t與t期實測值yt之間的擬合誤差平方和，其表示形式為：Q=∑ （yi- i）2。

設(shè)函數(shù)fi（α）=yi- i， （i=2，3，…，t）

根據(jù)公式（2）：

fi（α）=yi-Si-1=yi-[α∑ （1-α）jyi-1-j+（1-α）i-1S0]（4）

即，fi（α）是關(guān)于α的i-1次多項式函數(shù)，以擬合誤差平方和最小值確定平滑系數(shù)α的問題可以轉(zhuǎn)化成為基于函數(shù)fi（α）的非線性最小二乘問題。

F（α）=[f1（α），f2（α），…，ft（α）]T是關(guān)于fi（α）的列向量函數(shù)；其轉(zhuǎn)化關(guān)系表示形式為：

minα∈（0，1）Q=minα∈（0，1）FT（α）F（α）（5）

由于fi（α）在α∈（0，1）上任意階可導(dǎo)，按向量導(dǎo)數(shù)的定義，向量函數(shù)F（α）可微，則F（α）的Jacobi矩陣為：

J（α）= … ┇ ？塤 ┇ …

其中，j（α）的第i列（1≤i≤n）表示形式為：

JiT（α）= ， ，…， （7）

對于Q（α）一階，二階導(dǎo)數(shù)表示形式為：

Q（ ）=JT（α）F（α）（8）

Q（ ）=JT（α）J（α）+W（α）（9）

其中W（α）是一個n×n階矩陣，其表示形式為：

W（α）=∑ fi（α）fi（ ）（10）

根據(jù)非線性最小二乘理論且具有松弛性質(zhì)的搜索算法，對公式（4）逐次使用一維高斯-牛頓迭代程序步驟如下所示：

首先，定義搜索次序為：ik=k（mod n），k=1，2，…；

1°確定初始近似α0

2°假設(shè)αk-1為已知，則αk可按下述高斯-牛頓迭代程序進行計算：

αk=αk-1+ωkp

p =-[J （αk-1）TF（αk-1）/||J （αk-1）|| ]e

ik=k（mod n），k=1，2，…（11）

針對步長因子ωk，其滿足：Q（αk）

3°對于某一給定精度ε>0，成立：

|Q（αk）-Q（αk-1）|<ε或maxik|J （αk）TF（αk）|<ε

則計算停止， 確定出α的最優(yōu)估計值。

3 結(jié)束語

首先運用一次指數(shù)平滑預(yù)測模型針對符合平穩(wěn)序列特點的時序數(shù)據(jù)進行預(yù)測分析時，本文將指數(shù)平滑法中對于平滑系數(shù)的最優(yōu)估計轉(zhuǎn)化成為一個非線性最小二乘問題，根據(jù)其中具有松弛性質(zhì)的搜索算法，通過高斯–牛頓迭代程序得到更為精確的平滑系數(shù)，幫助實現(xiàn)最佳預(yù)測效果。

【參考文獻】

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