斯托克斯阻力公式的簡單推導

王先智

(上海交通大學物理與天文學院,上海200240)

斯托克斯阻力公式的簡單推導

王先智1)

(上海交通大學物理與天文學院,上海200240)

斯托克斯阻力公式的傳統(tǒng)推導有些復雜.本文根據(jù)線性齊次微分方程所滿足的疊加原理提出了一個簡單的推導.由于斯托克斯方程是一個二階線性偏微分方程，根據(jù)球表面的兩個速度分量條件，方程應該有兩個線性獨立的和完備的解，這兩個解應該構成方程的基本解組，它們的線性組合應該就是方程的通解.使用拉普拉斯方程的解以及量綱分析,找到了這兩個解.這兩個解的線性組合就是斯托克斯問題的解.

斯托克斯方程，拉普拉斯方程，量綱分析,疊加原理

流體力學里最重要的問題之一就是斯托克斯問題[1]，即確定在無限大的不可壓縮流體里作緩慢的勻速直線運動的一個剛球所受到的阻力.據(jù)我們所知，存在3種解法.第1種解法就是斯托克斯流函數(shù)法[13]，即首先推導斯托克斯流函數(shù)所滿足的方程，然后求解該方程.第2種解法就是球諧函數(shù)展開法[2].第3種解法就是矢量勢法[4]，即利用不可壓縮流體的連續(xù)性方程，把流體速度表示為矢量勢的旋度.我們在流體力學本科教學中注意到，本科生對這三種推導的理解比較困難，因此有必要發(fā)展一種簡單的解法[59].本文根據(jù)線性齊次微分方程所滿足的疊加原理提出了一個簡單的線性疊加解法.

對于不可壓縮流體的定常流動，納維--斯托克斯方程為

式中ρ為流體密度，η為剪切黏滯系數(shù).連續(xù)性方程為

在球緩慢運動的情況下，可以略去納維--斯托克斯方程中的慣性項，方程成為線性方程(稱為斯托克斯方程)，即

取方程(3)的散度，并使用連續(xù)性方程(2)，我們發(fā)現(xiàn)壓強滿足拉普拉斯方程，即

取方程(3)的旋度，我們發(fā)現(xiàn)渦量?=?×v滿足拉普拉斯方程，即

使用球坐標 (r,θ,?). 把原點取在球心的瞬時位置上，z軸平行于球的速度，即 U = Uez=U(ercosθ?eθsinθ). 這里 ez，er和 eθ是單位矢量.由于斯托克斯流動是軸對稱流動，流體速度和壓強可以分別表示為 v=ervr(r,θ)+eθvθ(r,θ)，P=P(r,θ).因此連續(xù)性方程?·v=0化簡為

從上式可以定義斯托克斯流函數(shù)ψ(r,θ)，流體速度可以表示為

邊界條件為

式中a為球的半徑，P0為常數(shù).

把方程(7)代入條件(8)得

上式建議了斯托克斯流函數(shù)可能的形式

式中f(r)為一個待定函數(shù).

現(xiàn)在我們使用線性齊次微分方程所滿足的疊加原理來求解斯托克斯問題.任何線性齊次微分方程都滿足疊加原理[9]，即任何線性齊次微分方程的任意數(shù)目的解的任意線性組合都是方程的解.為了得到一些具體線索，我們首先回憶一下齊次線性常微分方程理論[10].n階齊次線性常微分方程定義為

可以證明，n個初始條件導致解的存在與唯一性定理,以及n階線性齊次常微分方程有n個線性獨立的和完備的解，它們構成方程的基本解組，它們的任意線性組合都是方程的通解.滿足n個初始條件的通解是唯一的[10].

現(xiàn)在回到斯托克斯問題.既然n個初始條件導致n階線性齊次常微分方程有n個線性獨立的和完備的解，而斯托克斯方程是一個二階線性偏微分方程，在球表面的邊界條件為 vr(r=a)=U cosθ和vθ(r=a)= ?U sinθ，那么根據(jù)球表面的這兩個速度分量條件,我們期望斯托克斯方程應該有兩個線性獨立的和完備的解，這兩個解應該構成方程的基本解組，它們的線性組合應該就是方程的通解并且應該滿足球表面的兩個速度分量條件.

現(xiàn)在我們來尋找斯托克斯方程的兩個線性獨立的和完備的解.當然，這兩個解需要滿足無限遠處的速度條件和壓力條件,但不滿足球表面的兩個速度分量條件.

從方程 (5)，我們馬上發(fā)現(xiàn)，無旋流動 ? =?×v=0是斯托克斯方程(3)的一個解.眾所周知[24]，無旋流動由速度勢Φ所確定，流體速度為v=?Φ.速度勢滿足拉普拉斯方程，即

在這種情況下，斯托克斯方程(3)化簡為?P=0，解為P=const.無旋流動解對流體壓強只不過貢獻了一個常數(shù).

拉普拉斯方程?2Φ=0的解為

式中Pl(cosθ)為勒讓德多項式，有P0(cosθ)=1和P1(cosθ)=cosθ,Cl和 Dl為常數(shù).

由球表面的邊界條件 vr(r=a) = U cosθ和 vθ(r=a)= ?U sinθ可知，速度勢 Φ 只與P1(cosθ)=cosθ有關，即

相應的流體速度和斯托克斯流函數(shù)分別為

現(xiàn)在我們尋找另一個解.拉普拉斯方程?2P=0的解為

式中Al和Bl為常數(shù).

由球表面的邊界條件 vr(r=a)=U cosθ和vθ(r=a)=?U sinθ以及斯托克斯方程(3)可知，壓強P 只與P1(cosθ)=cosθ有關，即

把方程(17)代入式(3)得

現(xiàn)在使用量綱分析來獲得一個解.我們注意到，r是一個有量綱的變量，而 θ是一個無量綱的變量，所以取r為基本量，而把其他物理量取為導出量[11].令 v和 ψ的量綱分別為 [v]=rβ和[ψ]=rα.這里 β 和 α 為待定常數(shù).使用 [?]=r?1和 [?2]=r?2，我們獲得

上式給出β=?1.使用方程(7)得

上式給出α=2+β=1.參考方程(10),我們獲得

式中E為待定常數(shù).

現(xiàn)在我們證明，式 (21)的確是方程(18)的解.把式(21)代入方程(18)的徑向分量方程

然后經(jīng)過簡單計算，我們獲得

上面我們得到的斯托克斯方程的兩個解之一是無旋流動解，其斯托克斯流函數(shù)ψ=?D1r?1sin2θ反比于r，另一個量綱分析解是有旋流動解，其斯托克斯流函數(shù)ψ=Ersin2θ正比于r，這兩個斯托克斯流函數(shù)的比值不是常數(shù)，因此這兩個解是線性獨立的[10].所以這兩個解的線性組合就是斯托克斯方程的通解，即

式中的兩個待定常數(shù) E和 D1由邊界條件 (8)確定，即

應力張量計算如下

把球表面上的所有面元所受到的力加起來就得到阻力，即

綜上所述，斯托克斯阻力公式的傳統(tǒng)推導有些復雜.本文根據(jù)線性齊次微分方程所滿足的疊加原理提出了一個簡單的推導.既然 n個初始條件導致n階線性齊次常微分方程有n個線性獨立的和完備的解，而斯托克斯方程是一個二階線性偏微分方程，根據(jù)球表面的兩個速度分量條件,我們期望方程應該有兩個線性獨立的和完備的解，這兩個解應該構成方程的基本解組,它們的線性組合應該就是方程的通解.使用拉普拉斯方程的解以及量綱分析，我們找到了這兩個解,這兩個解的線性組合就是斯托克斯問題的解.

1 Stokes GG.On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums.Transaction of the Cambridge Philosophical Society,1851,9:8-106

2 Lamb H.Hydrodynamics.New York：Dover,1945

3 Milne-Thomsonm LM.Theoretical Hydrodynamics.London:MacMillan,1955

4 Landau LD,Lifshitz EM.Fluid Mechanics. London：Butter worth-Heinmann,1998

5姜楠．一個重要的流體力學基本概念．力學與實踐，2015，37(1)：119-12

6陳慶光，張明輝，朱緒力等．流體力學課程教學中幾個基本概念的教學方法．力學與實踐，2015，37(1)：138-141

7趙軍方.關于流體力學中的幾個基本概念的再解讀.力學與實踐,2017,39(3):296-298

8趙軍方,孫曉芳.用微元六面體推導流體力學基本方程時參考點的選擇.力學與實踐,2016,38(6):676-678

9柯朗R,希爾伯特 D.數(shù)學物理方法，第一卷.北京：科學出版社，1977

10四川大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室.高等數(shù)學，第三冊第二分冊.北京：人民教育出版社，1979

11 Kay JM,Nedderman RM.Fluid Mechanics and Transfer Processes.London:Cambridge,1985

O357

A

10.6052/1000-0879-17-169

2017–05–22收到第1稿，2017–08–01 收到修改稿.

1)王先智，教授，主要研究方向為統(tǒng)計物理.E-mail:xzwang@sjtu.edu.cn

王先智.斯托克斯阻力公式的簡單推導.力學與實踐,2017,39(6):617-619

Wang Xianzhi.A simple derivation of the Stokes formula of the drag.Mechanics in Engineering,2017,39(6):617-619

(責任編輯:周冬冬)