閻西康 梁琛 梁琳霄 龐玉松

摘 要：為研究植筋梁中植筋端頭加設(shè)箍筋對梁受力性能的影響，對3根植筋深度為20 D、25D、30D（D為植筋的直徑）的植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁進行靜載試驗，對3根植筋深度為20D、25D、30D的未加設(shè)箍筋的植筋梁和3根植筋深度為20D、25D、30D 的加設(shè)箍筋的植筋梁進行循環(huán)荷載試驗，并用ANSYS模擬植筋深度為20 D、25D、30D 的植筋梁進行靜力受彎力學性能的模擬分析，繪制跨中荷載 撓度曲線，研究植筋隨荷載的應(yīng)力變化，進而反映有無加設(shè)箍筋對梁受力性能的影響，并整理了植筋端頭加設(shè)箍筋的端頭應(yīng)變和未加設(shè)箍筋植筋端頭應(yīng)變的關(guān)系。循環(huán)荷載試驗及有限元分析表明：在植筋端頭加設(shè)箍筋可以緩解植筋端頭應(yīng)力集中現(xiàn)象，并提高植筋梁的延性、開裂荷載、極限荷載，降低了植筋應(yīng)變、殘余變形。

關(guān)鍵詞：箍筋;有限元分析;混凝土梁;受力性能

中圖分類號：TU375.1

Effect of reinforcing stirrups on the mechanical

performances of reinforcing bar at ends

Yan Xikanga，b ， Liang Chena， Liang Linxiaoa， Pang Yusonga

（a.School of Civil and Transportation Engineering; b. Development Research Center of

Civil Engineering of Hebei Province， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， P. R. China）

Abstract：In order to study the beam end anchorage bar with effect of stirrups on the structural behavior of beams， static loading tests were carried out for three root anchorage depths of 20 D， 25D， 30D ， respectively from the anchorage end without a stirrup anchorage beam. ANSYS finite element simulations for anchorage depths of 20 D， 25D， 30D ?of the anchorage beam were also conducted to investigate the flexural mechanical properties， the drawing span load deflection curves， the bar with load stress changes. It is found that the reaction has no additional effect on the beam stirrups. The cyclic loading tests and FE simulations show the addition of stirrups at the end of the anchorage can alleviate the concentration and improve the general ductility， anchorage beam cracking load， ultimate load stress of anchorage end， and reduce the reinforcement strain， as well as the residual deformation.

Keywords：stirrup; finite element analysis; concrete beam; mechanical behavior

植筋加固技術(shù)，是一項既簡捷又有效的連接錨固技術(shù)[1] 。植筋是指在混凝土、墻體巖石等基材上鉆孔，然后注入高強植筋膠，再插入鋼筋或型材，膠固化后將鋼筋與基材粘接為一體。與其他加固方法[2-3] 相比，植筋加固技術(shù)具有方便快捷、步驟簡單等優(yōu)點，在工程加固中廣泛應(yīng)用。

目前，Shieh-beygi等[4] 、Yilmaz等[5] 、Cook等[6] 、Mu等[7] 、 Eligehausen等[8] 對植筋的研究中拉拔試驗較多，集中在植筋孔徑、使用環(huán)境、植筋深度對拉拔性能的影響。舒睿彬等[9] 、鄭曉芬等[10] 通過拉拔試驗得出了靜力試驗下植筋系統(tǒng)中植入鋼筋與植筋膠、植筋膠與混凝土界面的粘結(jié)機理，但沒有指出循環(huán)荷載下是否適用[9-10] 。對植筋框架節(jié)點抗震性能的研究[11] 表明，植筋深度足夠時，植筋系統(tǒng)的錨固能力能達到抗震要求，但地震荷載與橋梁使用中承受的循環(huán)荷載作用時間和頻率并不相同，植筋結(jié)構(gòu)在循環(huán)荷載作用下是否具有同樣的效果，還需深入探討。張建榮等[12] 、徐莉艷[13] 、文國想等[14] 針對植筋梁受彎性能設(shè)計了試驗，但由于植筋深度不足，植入 鋼筋未屈服，發(fā)生了脆性破壞。對植筋梁進行的靜載和循環(huán)荷載試驗[15-16] 發(fā)現(xiàn)，植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁在疲勞試驗中發(fā)生脆性破壞，但對植筋梁中植筋端頭加設(shè)箍筋對受力性能的影響研究較少，所以，在植筋端頭加設(shè)箍筋進行對比試驗具有重要意義。

1 植筋梁的受彎試驗

1.1 試驗構(gòu)件概況

靜載試驗植筋深度為20 D、25D、30D， 植筋端頭未設(shè)箍筋的靜載試驗植筋梁編號分別為J1、J2、J3，循環(huán)荷載試驗植筋端頭未設(shè)箍筋的植筋梁編號為P1、P2、P3，加設(shè)箍筋的植筋梁為P4、P5、P6。各試驗梁的詳細情況見表1，尺寸見圖1～圖3，配筋情況見圖4。在植筋端頭貼應(yīng)變片直接測得試驗中的植筋應(yīng)變數(shù)值。通過靜載試驗和循環(huán)荷載試驗分析植筋端頭加設(shè)箍筋是否能改善植筋梁各方面的受力性能。

混凝土采用C30商品混凝土，縱向受拉鋼筋、所植縱向鋼筋采用HRB400，直徑為25 mm。架立筋、箍筋采用HPB300，直徑為10 mm，箍筋間距100 mm。植筋膠均采用德國慧魚植筋膠。

1.2 加載方案

靜載試驗采用集中力分級（每級10 kN）加載方案。臨近開裂荷載時，每級加載改為5 kN一級，直到產(chǎn)生第一條裂縫。求得開裂荷載后，再轉(zhuǎn)換為每級10 kN。臨近破壞時，改為位移加載，速度采用1 mm/ min，直至試驗梁破壞。

疲勞試驗在100T加載架下進行，采用跨中集中力加載。疲勞試驗開始前，先進行預(yù)加載，檢查設(shè)備是否工作正常。之后進行一次靜載試驗，分級加載至疲勞上限，每級10 kN。目的是對比試件經(jīng)過疲勞后的性能變化。隨后分級卸載，每級30 kN。再進行疲勞試驗，上限90 kN，下限50 kN，頻率為7 Hz。加載至1萬次、10萬次、50萬次、100萬次、150萬次，停機進行一個循環(huán)的靜載試驗。當加載至200萬次時，對試件施加靜載直至破壞。

1.3 試驗結(jié)果分析

1.3.1 靜載試驗梁跨和循環(huán)試驗梁中荷載 撓度曲線? 圖5為植筋端頭未加設(shè)箍筋的3根植筋梁荷載 ?撓度曲線。由圖5可知，曲線分為3個階段，第1階段3條曲線幾乎重合;第2階段，到達開裂荷載以后，3條曲線的斜率發(fā)生變化，由幾乎重合變?yōu)榉蛛x上升，直至峰值;第3階段，達到峰值之后，均有下降趨勢，植筋深度越大下降越平緩，植筋梁的延性越好。綜合3條曲線，變化規(guī)律與植筋梁的植筋深度有直接關(guān)系，3條曲線的斜率表明，試驗梁的變形能力隨植筋深度的增加而增強。圖6與圖7分別為循環(huán)荷載加載完畢后植筋端頭未加設(shè)箍筋和植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁荷載 撓度曲線。與靜載時植筋梁的荷載 撓度曲線不同，開始階段兩圖中3條曲線均沒有重合，且經(jīng)過峰值之后下降段均比較平緩。比較圖6與圖7，當荷載相同時，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁撓度比植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁撓度減小10%左右。由此可見，在植筋端頭加設(shè)箍筋可以有效提高植筋梁的剛度。

1.3.2 循環(huán)荷載試驗梁的跨中殘余撓度與循環(huán)次數(shù)曲線? 圖8為循環(huán)荷載試驗梁的跨中殘余撓度與循環(huán)次數(shù)曲線。殘余撓度是指混凝土植筋梁在完全卸載后植筋梁相對于加載前的撓度。混凝土植筋梁在經(jīng)過循環(huán)荷載作用后，0萬次和10萬次跨中殘余撓度逐漸增大，此過程中的跨中殘余撓度明顯增大，主要是由于植筋與混凝土的錯位引起的。隨后的循環(huán)加載中期，植筋梁內(nèi)部趨于穩(wěn)定，跨中的殘余撓度逐漸趨于穩(wěn)定。將圖中6條曲線分為3組，可以從兩個方面進行分析。第一方面：跨中殘余撓度隨植筋深度的增加而減小。在循環(huán)荷載作用的過程中，植筋深度越深，植筋梁的抗變形能力越強，植筋梁的整體剛度隨植筋深度的增加而增大。第二方面：當植筋深度相同時，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁，跨中殘余撓度均小于植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁，所以，植筋端頭加設(shè)箍筋對植筋梁的抗變形能力有良好的改善作用。分析其原因，植筋端頭加設(shè)箍筋可以改善植筋端頭的受力狀態(tài)，約束植筋端頭，從而提高梁的整體性。由此可以進一步確定在植筋端頭加設(shè)箍筋能提高植筋梁的整體剛度。

1.3.3 循環(huán)荷載植筋梁植筋端頭應(yīng)變分析? 圖9為循環(huán)荷載植筋端頭應(yīng)力圖。P1、P2、P3分別為植筋深度為20 D、25D、30D 的植筋端頭未設(shè)箍筋的3根植筋梁。P4、P5、P6分別為植筋深度為20 D、25D、30D 的植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁。比較P1、P2、P3梁荷載與植筋端頭應(yīng)變曲線可以看出，當循環(huán)荷載加載前50萬次時，曲線隨著荷載的增加可分為兩部分，其中應(yīng)變較高的部分為植筋端頭未設(shè)箍筋的P1、P2、P3，而應(yīng)變較低的為植筋端頭加設(shè)箍筋的P4、P5、P6，說明在循環(huán)荷載初期，植筋端頭加設(shè)箍筋可以有效減小植筋梁植筋端頭的應(yīng)變。當循環(huán)荷載繼續(xù)加載，6根植筋梁的植筋端頭應(yīng)力不同程度增大，觀察在第100萬次和200萬次循環(huán)荷載后，植筋梁植筋端頭應(yīng)變呈現(xiàn)出有規(guī)律上升。第一，將P1、P2、P3的曲線分為一組，P4、P5、P6的曲線分為一組，植筋深度為植筋梁中植筋端頭應(yīng)變的直接影響因素。植筋深度越大，植筋端頭的應(yīng)變隨著荷載逐級增加越小，在植筋端頭應(yīng)變與荷載曲線中表現(xiàn)出植筋深度越大，曲線的斜率越小，也就是應(yīng)變隨荷載增加變化較小。所以，增加植筋深度對改善植筋梁植筋端頭的應(yīng)變有顯著作用。第二，當植筋深度相同時，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁，其植筋端頭的應(yīng)變總會小于植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁的植筋端頭應(yīng)變，即P4的曲線隨著荷載的增加，其位置都在P1之下。P5與P2、P6與P3的位置關(guān)系與之相同。分析數(shù)據(jù)得，未進行循環(huán)荷載時，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁植筋端頭應(yīng)變比未加設(shè)箍筋的植筋梁植筋端頭應(yīng)變降低43.7%;加載至50萬次時，降低27.5%;加載至100萬次時，降低25.8%;加載至200萬次時，降低20.4%。由于植筋梁變形植筋端頭承受荷載為水平和豎直兩個方向，當加設(shè)箍筋時，其承受的剪力由箍筋承擔，因此，加設(shè)箍筋的植筋端頭應(yīng)變較未加設(shè)箍筋的要小。所以，當植筋深度相同時，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁植筋端頭的應(yīng)變均小于未加設(shè)箍筋的植筋梁植筋端頭的應(yīng)變，并且隨著循環(huán)荷載的進行，兩者存在一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

1.3.4 不同受力狀態(tài)下植筋端頭應(yīng)變分析? 與同樣植筋深度、植筋直徑下拉拔實驗結(jié)果對比，承受相同極限荷載時，受彎剪構(gòu)件所需植筋深度更小。同樣荷載下，受彎構(gòu)件植筋端頭應(yīng)變較小的原因是：受彎剪作用時，植筋端頭的受力和單純受拉不同，彎剪構(gòu)件由于植筋梁變形，所承受荷載分為水平和豎直兩個方向，水平方向受拉，豎直方向受剪，當受力相同時，受彎構(gòu)件的水平方向分力較拉拔時小，剪力由箍筋承擔，所以，植筋梁中的所需植筋深度較小?！痘炷两Y(jié)構(gòu)加固設(shè)計規(guī)范》中按單純受拉計算植筋深度，但實際工程中植筋受彎剪作用，根據(jù)所需承載力計算出的植筋深度過長，實際施工時不宜操作，所以，植筋深度的計算應(yīng)參考植筋受彎剪作用的數(shù)據(jù)。植筋端頭加設(shè)箍筋因抗剪承載力提高承擔的豎向分力增大，植筋梁承擔的極限承載力增大，植筋深度可以適當減小。

2 有限元分析

采用分離式有限元方法建立J1、J2、J3的試驗梁驗證模型，混凝土采用solid65單元，鋼筋采用link8桿單元[17-19] ，用鋼筋與混凝土之間公用節(jié)點來模擬植筋膠的粘結(jié)作用。有限元模型計算得出的開裂荷載、極限荷載、受拉鋼筋應(yīng)力等與試驗值的相對誤差均小于10%，有限元分析結(jié)果與試驗結(jié)果吻合良好，證實了植筋梁有限元模型可靠性良好。試驗沒有對植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁進行靜載試驗，所以，建立植筋梁有限元模型，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁編號為GJ1、GJ2、GJ3。圖10為植筋梁網(wǎng)格劃分，圖11為鋼筋單元圖，圖12為加設(shè)箍筋局部鋼筋單元圖。

在建立的J1、J2、J3試驗梁有限元米線的基礎(chǔ)上，再建立分別與J1、J2、J3相對應(yīng)的3根植筋端頭加設(shè)箍筋試驗梁GJ1、GJ2、GJ3的有限元模型。

2.1 有限元模擬結(jié)果

表3、表4、表5分別為試驗梁的開裂荷載、極限荷載和最大應(yīng)力值。

綜合表3、表4、表5，對比有限元模擬的6根梁的植筋混凝土梁開裂荷載、植筋混凝土梁的極限荷載、植筋最大應(yīng)力，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁在鋼筋的受力性能和混凝土的受力性能以及植筋梁整體的受力性能均優(yōu)于未設(shè)置箍筋的植筋梁，說明對植筋端頭處加設(shè)箍筋可以明顯提高植筋混凝土梁的受力性能。

2.2 植筋端頭應(yīng)變對比圖

圖13為有限元模擬的植筋梁在循環(huán)荷載前植筋端頭應(yīng)變 荷載曲線。模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)對比，此圖與循環(huán)荷載植筋梁植筋端頭應(yīng)力分析中的圖9（a）受力環(huán)境相同，其中，J1、J2、J3為植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁，GJ1、GJ2、GJ3為植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁。隨著荷載逐級增大，6條曲線清晰地自成兩組。第2組GJ1、GJ2、GJ3植筋端頭的應(yīng)變均低于第1組J1、J2、J3的植筋端頭的應(yīng)變。分析植筋端頭應(yīng)變發(fā)現(xiàn)：植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁的應(yīng)變比植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁的應(yīng)變減小41.3%。分析圖9（a）植筋端頭應(yīng)變發(fā)現(xiàn)：植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁的應(yīng)變比植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁的應(yīng)變減小43.7%，說明在循環(huán)荷載施加之前的靜載階段，植筋端頭加設(shè)箍筋可以減小植筋在工作過程中的應(yīng)變。分析植筋梁在循環(huán)荷載加載過程中50萬次、100萬次、200萬次的植筋端頭應(yīng)變發(fā)現(xiàn)，加設(shè)箍筋與否與植筋端頭的應(yīng)變有一定轉(zhuǎn)化關(guān)系，且與植筋深度無關(guān)。所以，結(jié)合建立的有限元模型的數(shù)據(jù)和試驗梁測得的植筋梁植筋端頭的應(yīng)變，整理出植筋梁有無箍筋時的植筋端頭應(yīng)變關(guān)系。

α 1=0.563α 2 N=0α 1=（0.629+0.24 ln ?N）α 2 N≠0??? （1）

式中： N 為循環(huán)荷載次數(shù);α 1為植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋端頭應(yīng)變;α 2為植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋端頭應(yīng)變。

3 結(jié)論

分析靜載試驗和循環(huán)荷載試驗荷載 撓度曲線，在植筋梁的受力環(huán)境相同時，植筋端頭加設(shè)箍筋可以有效減小跨中撓度，所以，在植筋梁的植筋端頭加設(shè)箍筋可以有效提高植筋梁的抗變形能力。6根植筋梁在循環(huán)荷載下的殘余撓度對比表明：植筋梁的整體剛度隨植筋深度的增加而增大;植筋端頭加設(shè)箍筋能有效提高植筋梁的整體剛度。

靜載試驗和循環(huán)荷載試驗證明植筋端頭加設(shè)箍筋可以改善植筋梁中植筋的受力環(huán)境和應(yīng)變。循環(huán)荷載下植筋端頭應(yīng)變表明，植筋深度越大，植筋端頭的應(yīng)變隨荷載增加的變化率越小;當植筋深度相同時，在同樣的受力狀態(tài)下，植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁應(yīng)變均小于植筋端頭未加設(shè)箍筋的植筋梁的應(yīng)變，且差值隨循環(huán)荷載增加而減小。植筋梁受彎剪作用所需植筋深度較受拉時更小，實際工程中植筋受彎剪作用，植筋端頭加設(shè)箍筋有利于提高彎剪作用下植筋梁的受力性能。

用ANSYS模擬植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋梁進行靜載試驗，結(jié)果表明，植筋端頭加設(shè)箍筋可以提高植筋梁的開裂荷載、極限荷載，并且其增長率在一定范圍內(nèi)隨著植筋深度的增加而減小。通過分析有限元模擬的數(shù)據(jù)和試驗所測數(shù)據(jù)，整理出植筋端頭加設(shè)箍筋的植筋端頭應(yīng)變和未加設(shè)箍筋植筋端頭應(yīng)變的關(guān)系且與植筋深度無關(guān)。該關(guān)系能與實驗數(shù)據(jù)良好吻合，能實現(xiàn)植筋梁中植筋端頭有無箍筋時的植筋端頭應(yīng)變的轉(zhuǎn)化。

參考文獻：

[1]???淳慶，邱洪興.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的植筋技術(shù)及工程應(yīng)用[J].特種結(jié)構(gòu)，2006， 23（1）： 86-89.

CHUN Q， QIU H X. Rebar planting technology and engineering application of reinforced concrete structure [J]. Special Structure， 2006， 23 （1）： 86-89. （in Chinese）

[2]?? 聶建國，王宇航.鋼-混凝土組合梁疲勞性能研究綜述[J].工程力學，2012， 29（6）： 1-11.

NIE J G， WANG Y H. Summary of fatigue properties of steel-concrete composite beams [J]. Engineering Mechanics， 2012， 29（6）： 1-11. （in Chinese）

[3]?? 丁智，張霄，吳云雙，等.碳纖維布與芳綸布加固鋼筋混凝土梁受彎性能試驗研究[J].建筑結(jié)構(gòu)學報，2015， 36（Sup2）： 270-276.

DING Z， ZHANG X， WU Y S， et al. Carbon fiber and aramid fabric reinforcement test of reinforced concrete beams [J]. Journal of Building Structures， 2015， 36 （Sup2）： 270-276. （in Chinese）

[4]? SHIEH-BEYGI ?B， PIETRUSZCZAK S. Numerical analysis of structural masonry： Mesoscale approach [J]. Computers & Structure， 2008， 86（21/22）： 958-973.

[5]? YILMAZ ?S， ZEN M A， YARDIM Y. Tensile behavior of post-installed chemical anchors embedded to low strength concrete [J]. Construction and Building Materials， 2013， 10（47）： 861-866.

[6]? COOK ?R A， COLLINS D M， KLINGNER R E. Bond stress model for design of adhesive anchors [J]. ACI Structure Journal， 1993， 90（5）： 514-524.

[7]? MU ?J C， XI H F， WU Y H， et al. Numerical simulation analysis of pullout test of planting steel-A new reinforcement technique [J]. Advanced Materials Research， 2011， 1067（163）： 3739-3744.

[8]? ELIGEHAUSEN ?R， MALLE R， REHM G. Fastenings with bonded anchors [M]. Berlin： Betonwerk Fertigtei-ltechnik， 1984： 825-829.

[9]?? 舒睿彬，張建榮，張春. 自由拉拔植筋系統(tǒng)的粘結(jié)滑移受力機理分析[J]. 結(jié)構(gòu)工程師，2008， 64（5）： 65-70.

SHU R B， ZHANG J R， ZHANG C. Analysis of the mechanism of bond slip force in the free drawing bar planting system [J]. Structural Engineer， 2008， 64 （5）： 65-70. （in Chinese）

[10]?? 鄭曉芬，張建榮，艾永江. 植筋膠與混凝土界面結(jié)合性能的試驗研究[J]. 結(jié)構(gòu)工程師，2016， 32（5）： 139-145.

ZHENG X F， ZHANG J R， AI Y J. Experimental study on interfacial adhesion between adhesive and concrete interface [J]. Structural Engineers， 2016， 32（5）： 139-145. （in Chinese）

[11]?? 鄧宗才，鐘林杭. 植筋框架節(jié)點抗震性能研究[J]. 國防交通工程與技術(shù)， 2009（5）： 11-13.

DENG Z C， ZHONG L H. Research into the anti-seismic performance of RC structures with post-installed reinforcement [J]. Traffic Engineering and Technology for National Defence， 2009（5）： 11-13. （in Chinese）

[12]?? 張建榮，吳進，楊建華，等.植筋搭接混凝土梁靜力及疲勞受彎試驗研究[J].建筑結(jié)構(gòu)學報，2005，26（5）：96-103.

ZHANG J R， WU J， YANG J H， et al. Experimental study on static and fatigue bending of steel bonded lap joint beam [J]. Journal of Building Structures， 2005， 26 （5）： 96-103. （in Chinese）

[13]?? 徐莉艷. 植筋搭接梁靜力受彎性能分析[J]. 安徽建筑， 2010（4）： 48-50.

XU L Y. Static bending performance analysis of steel bonded lap beam [J]. Anhui Architecture， 2010（4）： 48-50. （in Chinese）

[14]?? 文國想，程材淵.植筋及植筋混凝土梁力學性能的試驗研究[J].佳木斯大學學報，2011， 29（5）： 667-672.

WEN G X， CHENG C Y. Mechanics of concrete beam and experimental study on anchorage performance of planting reinforcing bar [J]. Journal of Jiamusi University， 2011， 29（5）： 667-672. （in Chinese）

[15]?? 閻西康，魏興磊，等.不同植筋深度下的植筋梁疲勞試驗研究[J].天津：河北工業(yè)大學，2017.

YAN X K， WEI X L， et al. Experimental study on fatigue of reinforced concrete beams under different planting depth [J]. Tianjin： Hebei University of Technology， 2017. （in Chinese）

[16]?? 孔德霞.植筋混凝土梁疲勞性能的試驗研究與分析[D].天津：河北工業(yè)大學，2014

KONG D X. Experimental study and analysis of fatigue performance of steel reinforced concrete beam [D]. Tianjin： Hebei University of Technology， 2014. （in Chinese）

[17]?? 王新敏.ANSYS工程結(jié)構(gòu)數(shù)值分析[M].北京：人民交通出版社，2011.

WANG X M. ANSYS numerical analysis of engineering structures [M]. Beijing： China Communications Press， 2011. （in Chinese）

[18]?? 何政，歐進萍.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2006.

HE Z， OU J P. Nonlinear analysis of reinforced concrete structures [M]. Harbin： Harbin Institute of Technology Press， 2006. （in Chinese）

[19]?? 郝文化.ANSYS土木工程應(yīng)用實例[M].北京： 中國水利水電出版社， 2005.

HAO W H. ANSYS civil engineering application example [M]. Beijing： China Water Conservancy and Hydropower Press， 2005. （in Chinese）