彭 瑤，祖 辰，張道強(qiáng)

南京航空航天大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京 211106

1 引言

阿爾茨海默癥（Alzheimer's disease，AD），又稱老年癡呆癥，是一種進(jìn)行性發(fā)展的中樞神經(jīng)系統(tǒng)變性病，多起病于老年期，病程發(fā)展緩慢并且不可逆。臨床上表現(xiàn)為日常生活能力進(jìn)行性減退，并有各種神經(jīng)精神癥狀和行為障礙[1]。老年癡呆癥是影響老年人健康的頑癥，現(xiàn)在能做到的就是早期發(fā)現(xiàn)，早期治療，以延緩癡呆病程的發(fā)展[2]。

現(xiàn)有的研究表明，阿爾茨海默癥與大腦的結(jié)構(gòu)萎縮、新陳代謝改變、病理性淀粉樣蛋白沉積有關(guān)[3]。到目前為止，已經(jīng)有多個(gè)生物標(biāo)記被證明對AD的診斷敏感，如：能夠測定腦萎縮的結(jié)構(gòu)磁共振成像（MRI）[4-5]、能夠量化代謝減退的功能成像（FDGPET）等[6-7]。這些通過不同成像技術(shù)得到的生物標(biāo)記可以看作是不同模態(tài)的數(shù)據(jù)。

近年來，利用多模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)已經(jīng)成為機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的熱門問題之一。多模態(tài)數(shù)據(jù)是指對同一事物從不同角度描述所得到的數(shù)據(jù)。不同的圖像模態(tài)之間能夠提供必要的互補(bǔ)信息，整合多模態(tài)的數(shù)據(jù)能夠發(fā)現(xiàn)單模態(tài)中無法發(fā)現(xiàn)的信息。在醫(yī)學(xué)診斷中，利用多模態(tài)的數(shù)據(jù)來診斷腦部疾病，能夠提高診斷的敏感性和特異性。多個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果也說明了多模態(tài)分析方法能挖掘不同模態(tài)間的相關(guān)信息、互補(bǔ)診斷信息，能獲得比單模態(tài)分析方法更好的性能[8-11]。

由于醫(yī)學(xué)影像中，數(shù)據(jù)樣本少，特征維數(shù)大，在實(shí)際應(yīng)用中這是典型的小樣本問題[12]。研究人員已經(jīng)提出多種針對多模態(tài)醫(yī)學(xué)影像數(shù)據(jù)的特征選擇算法。如Jie等人[13]提出了流形正則化的多模態(tài)特征選擇算法，通過多任務(wù)學(xué)習(xí)和流形正則化項(xiàng)來保留模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)信息以及每個(gè)模態(tài)的數(shù)據(jù)分布信息，從而選擇出更具有判別性的特征。Zu等人[14]提出了標(biāo)簽對齊的多模態(tài)特征選擇算法，通過在多任務(wù)學(xué)習(xí)的目標(biāo)函數(shù)中加入標(biāo)簽對齊正則化項(xiàng)來使具有相同標(biāo)簽不同模態(tài)的樣本在投影后的標(biāo)號(hào)空間中距離更接近?，F(xiàn)有的多模態(tài)特征選擇算法都只考慮了樣本之間的成對關(guān)系，而忽略了樣本之間的高階關(guān)系，充分利用樣本之間的這種先驗(yàn)分布知識(shí)，有利于選擇出更具有判別性的特征。

本文提出了基于超圖的多模態(tài)特征選擇算法，具體而言，將每組模態(tài)當(dāng)作一組任務(wù)，利用l2,1范數(shù)進(jìn)行特征選擇，保證不同模態(tài)相同腦區(qū)的特征被選中。通過構(gòu)建超圖來刻畫樣本之間的高階關(guān)系，從而充分利用每組模態(tài)數(shù)據(jù)內(nèi)部的分布先驗(yàn)。最后，利用多核支持向量機(jī)對選擇出來的特征進(jìn)行融合分類。在ADNI數(shù)據(jù)集上對本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證，分類實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了提出方法的有效性。

2 方法

基于超圖的多模態(tài)特征選擇算法是在多任務(wù)特征選擇的基礎(chǔ)上，通過嵌入超圖知識(shí)來保留樣本之間的高階信息，最后通過多核支持向量機(jī)對選擇出來的特征進(jìn)行融合分類。

2.1 多任務(wù)特征選擇

多任務(wù)學(xué)習(xí)[15-16]是對多個(gè)相關(guān)任務(wù)同時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，并且通過學(xué)習(xí)多個(gè)任務(wù)之間的相關(guān)信息來提高學(xué)習(xí)效率。多任務(wù)學(xué)習(xí)被廣泛應(yīng)用到許多領(lǐng)域，包括醫(yī)療診斷、生物醫(yī)學(xué)信息、文本分類等。本文將醫(yī)學(xué)影像中每個(gè)模態(tài)的特征選擇看作是一個(gè)任務(wù)，進(jìn)行多個(gè)模態(tài)的聯(lián)合特征選擇。

給定第m個(gè)模態(tài)的訓(xùn)練集，其中表示第i個(gè)樣本對應(yīng)的特征列向量，d表示特征的維度，N表示樣本的數(shù)目。令Y=[y1,y2,…,yi,…,yN]T∈RN表示N個(gè)樣本對應(yīng)的標(biāo)簽向量，其中yi的值為1或-1。多任務(wù)特征選擇（multitask feature selection，MTFS）模型[17]的目標(biāo)公式如下：

其中，wm表示第m個(gè)模態(tài)的回歸系數(shù)向量，所有模態(tài)的系數(shù)向量都來自一個(gè)系數(shù)矩陣W=[w1,w2,…,wm,…,wM]∈Rd×M，M表示模態(tài)數(shù)目。在式（1）中，||W||2,1表示矩陣W的l2,1范數(shù)，，其中wi表示矩陣W的第i行。λ是正則化系數(shù)，控制著式（1）中兩項(xiàng)的相對權(quán)重。

l2,1范數(shù)||W||2,1可以看作矩陣W的每一行的l2范數(shù)之和[17]。多任務(wù)特征選擇利用了任務(wù)之間的相關(guān)信息，不同任務(wù)的變量之間有相似的稀疏模式。l2,1范數(shù)將不同模態(tài)的同一特征的權(quán)重聯(lián)合起來，使得一部分共同特征能夠被聯(lián)合選擇出來。多任務(wù)特征選擇模型最后得到的權(quán)重矩陣W的多行元素都為0，這就是“組稀疏”性。多任務(wù)特征選擇模型中，當(dāng)只有一個(gè)任務(wù)時(shí)，就退化成為Lasso（least absolute shrinkage and selection operator）模型[18]。

2.2 超圖學(xué)習(xí)

在機(jī)器學(xué)習(xí)問題中，常常假定研究的物體之間存在成對的關(guān)系，這種關(guān)系可以很自然地用圖來表示。在傳統(tǒng)圖中，頂點(diǎn)表示物體，如果兩個(gè)頂點(diǎn)之間有聯(lián)系，就用一條邊來連接。圖可以是有向或者無向的，這取決于物體之間的成對關(guān)系是對稱還是非對稱的。

但是，在許多實(shí)際問題中，物體之間存在更復(fù)雜的關(guān)系，無法用成對關(guān)系來表示。因此，研究者們提出使用超圖對三者及三者以上的關(guān)系進(jìn)行刻畫。在超圖中，一條超邊可以連接兩個(gè)及以上的頂點(diǎn)（超邊實(shí)際上是頂點(diǎn)集的子集），傳統(tǒng)圖是超圖的一個(gè)特例。

使用超圖來對更復(fù)雜的關(guān)系（如高階關(guān)系）進(jìn)行建模[19-21]。如圖1左側(cè)所示，藍(lán)色頂點(diǎn)分別被不同的超邊包含，每條超邊可以包含兩個(gè)以上的頂點(diǎn)。特別是當(dāng)超邊中所包含的頂點(diǎn)數(shù)目為2時(shí)，該超邊退化為普通邊。目前，超圖學(xué)習(xí)已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于許多實(shí)際應(yīng)用中[22-23]。

Fig.1 Hypergraph model圖1 超圖模型

令G(V,E,a)表示一個(gè)超圖，其中V表示頂點(diǎn)的集合，E表示超邊的集合，a表示各超邊權(quán)重的集合。這里，每一條超邊ei(i=1,2,…,Ne)都被賦予了一個(gè)權(quán)重a(ei)。對于超圖G，它的關(guān)聯(lián)矩陣H用于表示各頂點(diǎn)之間的關(guān)系，具體地，矩陣H的第i行、第j列的元素若是1，則表示超圖的第j條超邊包含第i個(gè)頂點(diǎn)，若是0，則表示不包含，如圖1右側(cè)所示。矩陣H定義如下：

在關(guān)聯(lián)矩陣的基礎(chǔ)上，各頂點(diǎn)的度和各超邊的度分別被定義如下：

另外，令Dv和De分別表示各對角線元素為頂點(diǎn)的度和超邊的度的對角矩陣，令A(yù)表示各超邊權(quán)重的對角矩陣，即Aii=a(ei)。研究人員提出了多種計(jì)算超圖拉普拉斯矩陣的方法，大致可以分為兩類：第一種方法是在原始的超圖上構(gòu)建一個(gè)簡單圖，如星形擴(kuò)展[24]；第二種方法是類比簡單圖拉普拉斯矩陣來定義超圖拉普拉斯矩陣[19]。上述兩種方法都很相似。本文采用文獻(xiàn)[19]提出的超圖拉普拉斯矩陣計(jì)算方法，即定義半正定矩陣Lh為超圖的拉普拉斯矩陣：

超圖的構(gòu)建在超圖學(xué)習(xí)中是最關(guān)鍵的一步。根據(jù)文獻(xiàn)[19]提出的方法，采用KNN算法來構(gòu)建超圖。具體來說，把每個(gè)頂點(diǎn)看作一個(gè)中心，計(jì)算出中心點(diǎn)與其他頂點(diǎn)的歐式距離，再把中心點(diǎn)與距它最近的k個(gè)頂點(diǎn)連接起來，構(gòu)成了一條超邊。給定N個(gè)樣本，就能構(gòu)建出N條超邊。本文將每條超邊的權(quán)重都賦值為1，即a(ei)=1。

2.3 基于超圖的多模態(tài)特征選擇

根據(jù)超圖拉普拉斯矩陣，超圖正則化項(xiàng)定義如下：

直觀上，式（6）表示想要保留在原始特征空間中的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)信息，這種高階結(jié)構(gòu)信息通過超圖拉普拉斯矩陣Lh反映出來。對每一個(gè)模態(tài)的樣本都構(gòu)建一個(gè)超圖，保留每一個(gè)模態(tài)的高階結(jié)構(gòu)信息。在多任務(wù)特征選擇的目標(biāo)公式中加入超圖正則化項(xiàng)，就構(gòu)成了基于超圖的多模態(tài)特征選擇的目標(biāo)公式：

在本文的模型中，不僅用多任務(wù)特征選擇保證了不同模態(tài)相同腦區(qū)的特征被選中，考慮了模態(tài)之間的關(guān)系，還利用了超圖拉普拉斯矩陣保留同一模態(tài)樣本之間的高階結(jié)構(gòu)信息?，F(xiàn)有的多模態(tài)特征選擇算法，都只考慮了樣本之間的成對關(guān)系，而忽略了樣本之間的高階關(guān)系。

2.4 優(yōu)化算法

目前已有許多方法可以對目標(biāo)式（7）進(jìn)行求解，例如ADMM（alternating direction method of multipliers）和APG（accelerated proximal gradient）算法等。本文采用APG算法來求解問題[25-26]。將式（7）中的目標(biāo)函數(shù)分為光滑項(xiàng)f(W)和非光滑項(xiàng)g(W)：

用下面這個(gè)函數(shù)來近似f(W)+g(W)：

其中，‖?‖F(xiàn)是Frobenius范數(shù)；?f(W(k))是f(W)在第k次迭代點(diǎn)W(k)處的梯度；l是步長。APG算法的更新步驟是：

其中，l可以通過線性搜索得到；

APG算法的關(guān)鍵就是如何有效地計(jì)算更新步驟。研究表明這個(gè)問題可以分解成d個(gè)獨(dú)立的子問題，而這些子問題的解可以很容易得到[27]。

另外，根據(jù)文獻(xiàn)[26]提出的方法，可以通過Q(k)來計(jì)算定義如下：

2.5 多核支持向量機(jī)

多核支持向量機(jī)可以有效地對多模態(tài)的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合，并對阿爾茨海默癥進(jìn)行分類[8]。給定訓(xùn)練集，第m個(gè)模態(tài)的核函數(shù)為，對多模態(tài)核函數(shù)進(jìn)行融合以后，可以得到k(xi,xj)=，由此可以得到多核支持向量機(jī)的對偶形式：

其中，N為訓(xùn)練樣本總數(shù)。

給定一個(gè)新的測試樣本x0，決定樣本標(biāo)簽的決策函數(shù)定義如下：

本文用LIBSVM工具包[28]來實(shí)現(xiàn)SVM（support vector machine）分類器，核函數(shù)采用線性核，βm通過網(wǎng)格搜索在訓(xùn)練集上進(jìn)行交叉驗(yàn)證得到。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)方法

本文在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集ADNI的202個(gè)樣本上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其中包括51名阿爾茨海默癥患者，99名輕度認(rèn)知功能障礙患者（mild cognitive impairment，MCI），其中輕度認(rèn)知障礙包含43名MCI轉(zhuǎn)換病人（即在18個(gè)月內(nèi)從MCI轉(zhuǎn)換為AD，MCI-C）和56名MCI不轉(zhuǎn)換病人（即在18個(gè)月內(nèi)不從MCI轉(zhuǎn)換為AD，MCINC），52名正常人（normal control，NC）。采用了MRI和PET兩種醫(yī)學(xué)圖像數(shù)據(jù)，標(biāo)注出每個(gè)樣本的MRI和PET圖像的93個(gè)感興趣的區(qū)域（腦區(qū)），并計(jì)算出樣本的每個(gè)感興趣區(qū)域的MRI圖像灰質(zhì)組織體積，對PET圖像計(jì)算出相應(yīng)感興趣區(qū)域的強(qiáng)度均值。這樣，就得到了MRI圖像的93個(gè)特征和PET圖像的93個(gè)特征。本文在數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了3組實(shí)驗(yàn)，分別為AD vs.NC，MCI vs.NC，MCI-C vs.MCI-NC。

在本實(shí)驗(yàn)中，采用了十折交叉驗(yàn)證方法驗(yàn)證各方法的效果。具體來說，將整個(gè)樣本集平均地劃分為10份。在每一次的交叉驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中，都取其中的9份作為訓(xùn)練集，剩下的1份作為測試集。這樣獨(dú)立進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn)，以消除隨機(jī)劃分?jǐn)?shù)據(jù)集所引入的偏差。將10次分類的精度取平均得到最終的分類精度。目標(biāo)公式中最優(yōu)的參數(shù)值λ、κ、μ以及多核分類器中的βm，通過在訓(xùn)練集上再進(jìn)行一次十折交叉驗(yàn)證來尋找。用LIBSVM[28]工具包，并選擇線性核函數(shù)來實(shí)現(xiàn)SVM分類器。最后，計(jì)算出分類的精度（ACC）、敏感性（SEN）和特異性（SPE）來評(píng)價(jià)各方法的性能。

還將本文提出的方法與現(xiàn)有的3種多模態(tài)分類方法進(jìn)行了對比。第一種方法是不經(jīng)過特征選擇，直接進(jìn)行多模態(tài)融合分類（用Baseline來表示）[7]。第二種方法是將MRI的93維特征和PET的93維特征直接拼接起來，構(gòu)成一個(gè)186維的特征向量，再用t-test方法在該特征向量上進(jìn)行特征選擇，最后用SVM進(jìn)行分類（t-test SVM）。第三種方法是將MRI和PET連接成186維的特征向量，再用Lasso進(jìn)行特征選擇，最后用SVM在選擇出來的特征上進(jìn)行分類（Lasso SVM）。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

AD vs.NC以及MCI vs.NC的分類結(jié)果如表1所示?？梢钥吹?，本文方法分類性能最好。在AD vs.NC的實(shí)驗(yàn)中，本文方法能達(dá)到95.85%的精度，而在其他3種方法中，精度最高的是Baseline達(dá)到的94.13%。此外，本文方法敏感性達(dá)到了97.84%，也就是能將更多的AD患者準(zhǔn)確地識(shí)別出來。在MCI vs.NC的實(shí)驗(yàn)中，本文方法能達(dá)到82.19%的精度，而在其他3種方法中，精度最高的是Lasso達(dá)到的76.89%。此外，本文方法敏感性也能達(dá)到94.34%。在該組實(shí)驗(yàn)中，敏感性與特異性的差別較大，如表1所示，本文得到的敏感性較高，但是特異性較低。在醫(yī)學(xué)診斷中，誤將一個(gè)患者診斷為正常人和誤將一個(gè)正常人診斷為患者所付出的代價(jià)是不一樣的。能得到較高的敏感性也就是能盡可能少地將患者診斷為正常人，以免因?yàn)檎`診而耽誤治療。

Table 1 Results ofAD vs.NC and MCI vs.NC表1 AD vs.NC和MCI vs.NC實(shí)驗(yàn)結(jié)果 %

MCI-C vs.MCI-NC的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。可以看到，本文方法能在分類中達(dá)到74.70%的精度，而其他3種方法中，精度最高的是Lasso達(dá)到的69.10%。

Table 2 Results of MCI-C vs.MCI-NC表2 MCI-C vs.MCI-NC實(shí)驗(yàn)結(jié)果 %

此外對3組實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度、敏感性、特異性的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了計(jì)算，本文方法得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差也比較小，說明了本文方法較其他方法更加穩(wěn)定。

由于每次交叉驗(yàn)證中所選擇的腦區(qū)不盡相同，統(tǒng)計(jì)出了最常被選中的10個(gè)腦區(qū)，如表3、圖2所示。其中所選中的腦區(qū)如海馬體是與長期記憶非常相關(guān)的大腦區(qū)域，與已知的AD/MCI相關(guān)文獻(xiàn)一致[29-30]，再例如杏仁核與三角部額下回也證明是與AD有關(guān)的腦區(qū)[31]。

Table 3 Top 10 ROIs selected by the proposed method for MCI表3 MCI分類中最常被選中的10個(gè)腦區(qū)

4 總結(jié)

本文提出了一種基于超圖的多模態(tài)特征選擇方法，將不同成像技術(shù)得到的醫(yī)學(xué)圖像數(shù)據(jù)作為不同的模態(tài)，進(jìn)行多任務(wù)特征選擇，保證不同模態(tài)的同一腦區(qū)同時(shí)被選中，同時(shí)通過加入超圖正則化項(xiàng)來保留同一模態(tài)樣本之間的高階結(jié)構(gòu)信息，這樣能選擇出更具有判別性的腦區(qū)。分類實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了本文方法的有效性。但是，本文實(shí)驗(yàn)沒有考慮到超邊的權(quán)重信息，可能會(huì)丟失掉一些信息。在今后的工作中，嘗試對超邊的權(quán)重進(jìn)行優(yōu)化，盡可能地少丟失信息，以達(dá)到更好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

Fig.2 Top 10 ROIs selected by the proposed method for MCI圖2 MCI分類中最常被選中的10個(gè)腦區(qū)圖示

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