沖積河流沙質(zhì)河床推移質(zhì)級(jí)配分布規(guī)律

張羅號(hào)，張紅武，趙晨蘇

（1.河海大學(xué) 水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098；2.清華大學(xué) 水沙科學(xué)與水利水電工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；3.北京科技大學(xué) 土木與資源工程學(xué)院，北京 100083）

1 問題的提出

隨著河流水沙數(shù)學(xué)模型的不斷發(fā)展，推移質(zhì)級(jí)配的研究受到廣泛關(guān)注，但現(xiàn)有研究成果無論在計(jì)算精度方面還是在天然河流的適用性上尚不完善，主要原因在于推移質(zhì)級(jí)配不僅同河床泥沙組成密切相關(guān)，且在一定水流條件下與懸移質(zhì)泥沙交換頻繁，推移質(zhì)泥沙的運(yùn)動(dòng)機(jī)理十分復(fù)雜［1］。

沖積河流沙質(zhì)河床中，隨著水流條件增強(qiáng)，河床表面可動(dòng)泥沙的數(shù)量也逐漸增多，并以推移狀態(tài)運(yùn)動(dòng)成為推移質(zhì)泥沙，其中細(xì)顆粒還會(huì)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為懸移質(zhì)泥沙，此時(shí)推移質(zhì)級(jí)配常與床沙較為接近［2］。圖1給出了長江漢口水文站推移質(zhì)泥沙及床沙取樣級(jí)配曲線的比較結(jié)果，盡管受采樣方法的差異及顆分精度所限，但由該圖仍可看出，沙質(zhì)河床上推移質(zhì)泥沙級(jí)配同床沙組成分布狀況頗為相近。

圖1 沙質(zhì)河床推移質(zhì)泥沙與床沙級(jí)配實(shí)測數(shù)據(jù)的比較

因此，一些學(xué)者通過修正床沙級(jí)配得到確定推移質(zhì)級(jí)配的半經(jīng)驗(yàn)方法。具有代表性的研究成果包括李昌華［3］通過將床沙級(jí)配中不動(dòng)泥沙的百分?jǐn)?shù)扣除并標(biāo)準(zhǔn)化后得到的推移質(zhì)級(jí)配公式，被稱為“最大粒徑法”；以及張紅武［4］采用推移質(zhì)泥沙平均粒徑與床沙平均粒徑之比修正床沙級(jí)配曲線，得到一條與床沙級(jí)配曲線平行的推移質(zhì)級(jí)配曲線，被稱為“平均粒徑類比法”。這類方法所建立的模式直觀、計(jì)算較為簡便，但其缺點(diǎn)是基本沒有考慮水流泥沙運(yùn)動(dòng)同推移質(zhì)級(jí)配變化的內(nèi)在聯(lián)系。

Gessler［5］根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論對不同粒徑級(jí)下的泥沙的起動(dòng)概率進(jìn)行了研究，得到推移質(zhì)級(jí)配計(jì)算式為：

式中：P0i為床沙中第i粒徑組所占沙重百分?jǐn)?shù)；Fi為推移質(zhì)中粒徑小于di的沙重百分?jǐn)?shù)；qdi為粒徑為di泥沙的不動(dòng)概率；τ0為河床床面水流拖曳力；σ為拖曳力脈動(dòng)值的標(biāo)準(zhǔn)差；τc為第i粒徑組的泥沙起動(dòng)臨界拖曳力；x=τ0/τc為積分變量。

上式中泥沙起動(dòng)條件由均勻沙Shieleds曲線確定［6］，為將該方法延用到非均勻沙中，后來學(xué)者通過研究得到了類似公式，如董永華［7］考慮了非均勻沙起動(dòng)特點(diǎn)；張啟衛(wèi)［8］假設(shè)了床沙轉(zhuǎn)化為推移質(zhì)泥沙的條件為作用于泥沙顆粒的瞬時(shí)底速大于臨界起動(dòng)流速。此類方法存在的最大局限是必須已知床沙級(jí)配曲線，而水文站每年床沙實(shí)測資料十分有限，且大部分水文站沒有該項(xiàng)測量內(nèi)容，無法取得床沙與推移質(zhì)泥沙級(jí)配同步資料，很難適應(yīng)不斷變化的推移質(zhì)級(jí)配的確定。

若直接從物理概念考慮，推移質(zhì)級(jí)配與不同分組粒徑的輸沙數(shù)量相關(guān)。其中研究成果包括，樂培久［9］通過建立非均勻沙輸沙率公式得到推移質(zhì)級(jí)配計(jì)算公式：

式中：gbi為di粒徑分組下的均勻沙推移質(zhì)輸沙率。但由于推移質(zhì)輸沙率測驗(yàn)精度低而使現(xiàn)有公式多不適用于典型沙質(zhì)河床［2］，故必然導(dǎo)致此類方法建立的公式精度得不到保證。

目前，對挾沙水流中水流紊動(dòng)作用推移質(zhì)泥沙的規(guī)律尚無定論，但從推移質(zhì)級(jí)配影響因素分析而進(jìn)行的理論探討很多。Diplas［10］通過分析泥沙顆粒所受水流作用力大小與作用時(shí)間等非恒定因素，并引入沖量的概念來描述推移質(zhì)泥沙顆粒運(yùn)動(dòng)規(guī)律。張紅武［11］根據(jù)隨機(jī)理論分析了粗沙河床表面紊動(dòng)特性和推移質(zhì)泥沙顆粒的關(guān)系，建立了粗顆粒推移質(zhì)泥沙級(jí)配公式。張緒進(jìn)［12］、陸永軍［13］在大量實(shí)測資料基礎(chǔ)上，對推移質(zhì)級(jí)配與床沙組成、水沙條件之間的關(guān)系進(jìn)行了探討。此外，何文杜［14］提出了平衡輸沙條件下推移質(zhì)最大粒徑的確定方法。這些基于水力學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)建立的計(jì)算方法在理論與使用上都有一定價(jià)值，但多數(shù)公式結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，其中部分參數(shù)還需要通過實(shí)測資料率定，計(jì)算精度也難以保證，且除張紅武公式外，其余均是把推移質(zhì)級(jí)配同床沙組成建立關(guān)系，一般僅適用于粗顆粒河床，尤其目前沙質(zhì)河床推移質(zhì)級(jí)配曲線更無理論性強(qiáng)且能夠反映水流運(yùn)動(dòng)對推移質(zhì)顆粒組成有直接影響的計(jì)算公式。為此，本文在分析近壁紊動(dòng)源區(qū)內(nèi)泥沙運(yùn)動(dòng)臨界圖景的基礎(chǔ)上，對沙質(zhì)推移質(zhì)級(jí)配分布的表達(dá)形式進(jìn)行了理論探討。

2 推移質(zhì)級(jí)配計(jì)算方法

2.1 沙質(zhì)河床近壁泥沙運(yùn)動(dòng)的臨界圖形我們知道，被概化為二維均勻流的沖積河流，其紊動(dòng)源區(qū)主要集中在近底由泥沙顆粒組成的床面附近［15］。因受某種擾動(dòng)或同近壁區(qū)大流速梯度和強(qiáng)剪力相聯(lián)系的壓力差的作用，不斷產(chǎn)生以高頻率、小尺度紊動(dòng)為主的紊動(dòng)渦體，這些渦體逐漸離開河底上升擴(kuò)散至全流區(qū)，從而床面附近即成為被L.Prandtl稱之為“渦體作坊”的近壁紊動(dòng)源區(qū)［16］。天然沙質(zhì)河床的河流，正是在該區(qū)實(shí)現(xiàn)河床泥沙與水流相互作用、相互影響的，導(dǎo)致河床組成的不斷調(diào)整或變化。

泥沙學(xué)者將跳躍作為沙質(zhì)推移質(zhì)運(yùn)動(dòng)的普遍形式，亦即沙質(zhì)河床近壁紊動(dòng)源區(qū)的泥沙一旦起動(dòng)或被水流帶離床面，隨即可能跳起，以跳躍為主要運(yùn)動(dòng)形式，且與懸移質(zhì)泥沙存在著相互交換。于是，沙質(zhì)床面顆粒在近壁運(yùn)動(dòng)的臨界圖景可概括為：近底流區(qū)床面顆粒被具有瞬時(shí)垂向紊動(dòng)速度的水流帶離床面而起跳，至最大高度后的回落過程中，或在重力作用下以沉速下落，繼續(xù)留在床面；或被路經(jīng)此地的渦體卷走而離開本床面。

由于垂向紊動(dòng)速度是一個(gè)瞬時(shí)量，以往研究從動(dòng)力學(xué)或運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)建立平衡方程式都是不嚴(yán)格的［17］。鑒于動(dòng)量是一個(gè)瞬時(shí)量，且適用于從微觀角度審視紊動(dòng)流速場與泥沙顆粒的關(guān)系，故在具有水流同泥沙相互作用過程的任何一個(gè)瞬間，用該物理量來分析近底顆粒沉浮的臨界條件是合適的。躍動(dòng)的泥沙在重力作用下以沉速下落的瞬間，如果在垂向遇到相同動(dòng)量的紊團(tuán)的對撞，即形成相對的平衡，故維持臨界平衡的條件是具有瞬時(shí)垂向紊速vb的紊團(tuán)向上的動(dòng)量等于具有沉降速度ω的泥沙向下的動(dòng)量。故沿垂向運(yùn)用動(dòng)量對撞平衡原理，可將決定近底顆粒沉浮的臨界條件表示為：

式中：m1、m2分別為水流與泥沙相應(yīng)的質(zhì)量。

式（3）之所以對紊動(dòng)流速引入絕對值符號(hào)，系考慮到泥沙沉速為大于零的數(shù)值（實(shí)際上，沉速方向向下，只有方向向上的垂向紊速對泥沙的作用才有效）。在連續(xù)介質(zhì)條件下，向上紊動(dòng)渦團(tuán)與下沉泥沙顆粒的體積應(yīng)該相同，如果以γ、γs分別代表水與泥沙的容重，m1、m2對應(yīng)的密度即分別為γ/g、γs/g，式（3）可表示為：

一般情況下天然沙容重γs是水流容重γ的2.7倍，因此上式表明，沙質(zhì)河床近底顆粒沉浮的臨界條件是水流的瞬時(shí)紊動(dòng)流速等于2.7倍泥沙在水中的沉速，而非兩者相等，同運(yùn)用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)建立的平衡方程式也有差異。

2.2 推移質(zhì)級(jí)配公式由于垂向瞬時(shí)紊動(dòng)流速具有高斯分布性質(zhì)［18］，故可給出其概率分布為：

式中：σvb為垂向紊動(dòng)強(qiáng)度。一般正態(tài)分布密度的系數(shù)分子為1，上式為2是由于瞬時(shí)紊速分布只取垂直向上部分；假定向上、向下兩部分的分布相同，也是因?yàn)橄蛏喜糠謱δ嗌车淖饔貌庞行А?/p>

由于沙質(zhì)河床泥沙粒徑一般為0.05～2 mm， 范圍涉及過渡區(qū)和滯流區(qū)，而采用現(xiàn)有沉速公式尚不能直接推求出粒徑的顯式，張羅號(hào)等［19］利用量綱和諧原理及前人資料，得到如下包括了粒徑范圍為D=0.006～0.9 mm的沉速公式：

式中：ν為運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)，m2/s。

將式（6）代入式（4），并寫成隨機(jī)方程：

根據(jù)概率分布函數(shù)計(jì)算公式，首先有：

可求出推移質(zhì)粒徑D的分布密度函數(shù)：

數(shù)學(xué)期望：

均方根為：

確定了上述關(guān)系式后，可研究推移質(zhì)組成分布與垂向紊動(dòng)流速分布的依存關(guān)系。以小于某粒徑Di的泥沙數(shù)目所占泥沙總數(shù)的百分比表示級(jí)配曲線（這種方法對于沙質(zhì)河床，所得結(jié)果與重量百分比法基本接近），從概率論的觀點(diǎn)來看，即為：

將式（9）代入上式，可得：

由于被積函數(shù)式（13）中參數(shù)β及垂向紊動(dòng)強(qiáng)度σvb均為定值，故可由矩形法或梯形法在（0，Di）區(qū)間內(nèi)進(jìn)行數(shù)值積分計(jì)算。對于垂向紊動(dòng)強(qiáng)度，采用如下計(jì)算公式［20］：

式中：u*為摩阻流速，m/s；由公式計(jì)算；h為水深，m；J為水面比降；z為以河底作為起始點(diǎn)的水深坐標(biāo)，m；Δ為壁面粗糙度，m。

對于粗糙度Δ，本文根據(jù)前蘇聯(lián)學(xué)者Shevelev［21］的試驗(yàn)成果及張紅武等近些年的試驗(yàn)資料［22］，得出糙率n與粗糙度Δ的關(guān)系式，即可用實(shí)測資料中易得到的糙率值進(jìn)行計(jì)算：

通過資料驗(yàn)證表明，在天然河流常見水深范圍內(nèi)，可利用式（15）求出各河段糙率對應(yīng)的粗糙度。若水深大于5 m且糙率大于0.016，則由卡門紊流粗糙區(qū)沿程損失系數(shù)公式、達(dá)西-魏斯巴赫公式與謝才-曼寧公式［23］聯(lián)立求解，得到的下列關(guān)系式計(jì)算：

式中：R為水力半徑，m。

當(dāng)壁面粗糙度Δ數(shù)值很小時(shí)不屬于紊流粗糙區(qū)，故不利用式（16）計(jì)算。

綜上所述，在具體計(jì)算時(shí)取河流近底區(qū)z=3Δ，即可由式（14）—（16）求出不同水流條件下的近底紊動(dòng)強(qiáng)度σvb，隨后由式（9）得到推移質(zhì)級(jí)配分布。

3 公式的檢驗(yàn)

為驗(yàn)證本文推移質(zhì)級(jí)配分布公式在沖積河流沙質(zhì)河床的適用性，采用黃河上游及下游大量實(shí)測資料，對本文公式進(jìn)行系統(tǒng)的計(jì)算比較（見圖3—圖4）。

由前文圖1表明，沙質(zhì)河床中推移質(zhì)泥沙級(jí)配與河床表層床沙顆粒組成資料較為接近，故將缺少推移質(zhì)級(jí)配實(shí)測資料的黃河上游主要取樣斷面，利用床沙取樣資料代替。表1列舉出黃河寧蒙河段干流所選取的重要河段河槽取樣斷面位置情況［24］，以及河槽表層及河槽深層泥沙顆粒分析結(jié)果中河床泥沙平均粒徑Dcp與中值粒徑D50。由表2也可看到，本文所選取的黃河寧蒙河段主要斷面的床沙組成分布較為均勻，表明推移質(zhì)泥沙與床沙摻混較頻繁。黃河下游均采用推移質(zhì)級(jí)配實(shí)測資料，由于缺少同步實(shí)測水文資料，故選用對應(yīng)水文站/斷面的月平均水力因子（見表2）。

表1 黃河寧蒙河段實(shí)測床沙平均粒徑dcp與中值粒徑d50數(shù)據(jù)比較

表2 黃河實(shí)測資料水力因子

此外，利用長江沙質(zhì)河段大量實(shí)測資料對本文計(jì)算方法也進(jìn)行了驗(yàn)證見圖5，所取驗(yàn)證資料的水力因子見表3。

本文建立的推移質(zhì)級(jí)配計(jì)算方法在檢驗(yàn)時(shí)沒有采取經(jīng)驗(yàn)假定，但從上述檢驗(yàn)圖中看出，理論計(jì)算曲線同實(shí)測資料比較接近，計(jì)算得到的推移質(zhì)泥沙中值粒徑D50與各斷面所取資料的平均推移質(zhì)中值粒徑基本相等。

4 結(jié)論

圖2 式（13）與黃河上游實(shí)測資料的計(jì)算比較

圖3 式（13）與黃河中游與下游實(shí)測資料的計(jì)算比較

表3 長江實(shí)測資料水力因子

圖4 式（13）與長江實(shí)測資料的計(jì)算比較

本文在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，從分析沙質(zhì)河床近壁紊動(dòng)源區(qū)的泥沙運(yùn)動(dòng)臨界圖景入手，運(yùn)用垂向動(dòng)量平衡原理，給出了沙質(zhì)河床推移質(zhì)沉浮的臨界條件，即水流的垂向瞬時(shí)紊動(dòng)流速等于2.7倍泥沙在水中的沉速。在此基礎(chǔ)上列出垂向瞬時(shí)紊動(dòng)流速的隨機(jī)方程，并以垂向瞬時(shí)紊速具有高斯分布式為條件進(jìn)行求解，并引入垂向紊動(dòng)強(qiáng)度與近底粗糙度的計(jì)算式，建立了理論性強(qiáng)且又不需要已知特征粒徑的推移質(zhì)級(jí)配計(jì)算方法。

采用黃河、長江主要沙質(zhì)河段大量推移質(zhì)實(shí)測資料檢驗(yàn)結(jié)果表明，本文從理論上建立的方法同天然河流實(shí)際頗為符合，可用于計(jì)算沖積河流沙質(zhì)河段的推移質(zhì)級(jí)配分布曲線，從而可便于提高沙質(zhì)推移質(zhì)輸沙率計(jì)算的精度，對于沖積河流推移質(zhì)泥沙的運(yùn)動(dòng)也具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值，但對于紊動(dòng)流速場與泥沙顆粒作用機(jī)理的理論探討尚需進(jìn)一步研究。

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