陳 小 芳

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 陜西 渭南 714099)

1 預(yù)備知識與結(jié)論

Lucas數(shù)列以及二項(xiàng)式系數(shù)的各種性質(zhì)一直都是組合數(shù)學(xué)和數(shù)論中引得眾多專家、學(xué)者關(guān)注的課題，而包含Lucas數(shù)的恒等式及包含二項(xiàng)式系數(shù)的恒等式更是引起國內(nèi)外學(xué)者的研究興趣。

(1)

對于l(k,m,n)的計算，文獻(xiàn)[1]研究了廣義楊輝三角與Lucas數(shù)列的卷積l(k,1,n)，得到了m=1的情形，即：l(k,1,n)=2kLn+2k，文獻(xiàn)[2]討論了楊輝三角與Lucas數(shù)列的卷積l(k,1,n)，給出了m=2的情形，證明了

本文討論l(k,m,n)當(dāng)m=3時的情形，得到了二項(xiàng)式系數(shù)與Lucas數(shù)立方的一個恒等式，證明了下面的定理1。

(2)

其中的L3k+2n和Ln-k分別為第3k+2n個和第n-k個Lucas數(shù)。

2 定理1的證明

由此可知

(3)

由式(3)及式(1)可知

(4)

由二項(xiàng)式定理可知：

(5)

(6)

(7)

(8)

將式(5)、(6)、(7)、(8)代入式(4)得

l(k,3,n)=α3k·(1+α3)n+3(-1)kαk·(1-α)n+3(-1)kβk·(1-β)n+β3k·(1+β3)n。

(9)

又

1-α=β，1-β=α，1+α3=2α2，1+β3=2β2，

將其代入式(9)有

l(k,3,n)=α3k(1+α3)n+3(-1)kαk(1-α)n+3(-1)kβk(1-β)n+β3k(1+β3)n=α3k(2α2)n+3(-1)kαkβn+3(-1)kβkαn+β3k(2β2)n= 2nα3k+2n+3(-1)kαkβn+3(-1)kβkαn+2nβ3k+2n。

(10)

當(dāng)k≥n時，

l(k,3,n)=2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)kαnβn(αk-n+βk-n)= 2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)k+n(αk-n+βk-n)= 2nL3k+2n+3(-1)k+nLk-n。

(11)

同理k

l(k,3,n)=2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)kαkβk(αn-k+βn-k)= 2n(α3k+2n+β3k+2n)+3(-1)k+k(αn-k+βn-k)= 2nL3k+2n+3Ln-k。

(12)

綜合式(11)、(12)得

[1]晁晶晶.廣義楊輝三角形與Lucas數(shù)列的關(guān)系研究[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,28(3):196.

[2]陳小芳.Lucas數(shù)列與楊輝三角形的又一關(guān)系[J].江西科學(xué),2013,31(3):287.

[3]陳小芳.Lucas數(shù)列中素因子2的指數(shù)[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,34(5):6.

[4]陳小芳.Lucas數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因子3的指數(shù)[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,31(4):45.

[5]陳小芳.Lucas數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式中素因子7的指數(shù)[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,33(4):75.

[6]陳小芳.Lucas數(shù)列關(guān)于模的模數(shù)列的周期[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,33(6):76.

[7]陳小芳.Lucas數(shù)列的模數(shù)列的周期性[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,36(5):11.

[8]于鴻，郜舒竹.廣義Fibonacci等距子列關(guān)于模fm的模數(shù)列的周期[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,31(5):212.

[9]陳小芳.Fibonacci數(shù)與楊輝三角形的又一關(guān)系[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,35(3):1.

[10]晁晶晶.廣義楊輝三角形與Fibonacci數(shù)列的一個關(guān)系[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011，32(2):11.

[11]楊海,李博,高曉梅.二項(xiàng)式系數(shù)與Fibonacci數(shù)立方的一個關(guān)系[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報,2015,28(4):365.

[12]OHTSUKA H,NAKAMURA S.On the sum of reciprocal Fibonacci numbers[J].The Fibonacci Quart-erly,2009,47(4):153.

[13]WANG A Y Z,ZHANG F.The reciprocal sums of even and odd terms in the Fibonacci sequence[J]. Journal of Inequalities and Applications.2015,2015(1):1.

[14]WANG A Y Z, LIU R N. Sums of products of two reciprocal Fibonacci numbers[J]. Advances in Difference Equations, 2016(1):1.

[15]SARAH H Holliday, Takao Komatsu. On the sum of reciprocal generalized Fibonacci numbers[J].Integers,2011,11(4):441.

[16]MA Rong, ZHANG Wenpeng. Several identities involving the Fibonacci numbers and Lucas numbers [J]. The Fibonacci Quarterly,2007, 45(2):164.

[17]ZHANG Guojie. The infinite sum of reciprocal of the Fibonacci numbers [J].Journal of Mathematical Research & Exposition,2011,31(6):1030.