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      均值不等式的應(yīng)用

      2018-02-26 19:23陳繼
      教育界·上旬 2017年12期

      陳繼

      【摘要】均值不等式的應(yīng)用較為廣泛,在很多領(lǐng)域都能發(fā)揮積極作用。如何正確應(yīng)用均值不等式是廣大數(shù)學(xué)教師研究的重要課題。文章主要介紹了關(guān)于均值不等式在初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)以及實(shí)際生活中的應(yīng)用,以期為相關(guān)人士提供參考。

      【關(guān)鍵詞】均值不等式;初等數(shù)學(xué);高等數(shù)學(xué)應(yīng)用

      一、引言

      均值不等式具有應(yīng)用范圍廣泛的特征。數(shù)學(xué)教師可以將其合理使用在數(shù)學(xué)教學(xué)中,制訂完善的教學(xué)方案,樹立正確的觀念,創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境,在對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)新的基礎(chǔ)上,逐漸提升自身教學(xué)水平。在教學(xué)工作中,教師使用均值不等式知識,可以對最值與累加、累乘等內(nèi)容進(jìn)行協(xié)調(diào),在全面分析相關(guān)教學(xué)要求與特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,創(chuàng)造良好的發(fā)展空間,創(chuàng)新教學(xué)方式,加大教學(xué)工作力度,創(chuàng)建現(xiàn)代化的教學(xué)體系,滿足其實(shí)際發(fā)展需求。當(dāng)前,部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在教學(xué)工作中,還不能很好地應(yīng)用均值不等式知識,難以提升相關(guān)知識的應(yīng)用效果。因此,教師要進(jìn)行全面的分析,歸納總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗,創(chuàng)造良好的發(fā)展環(huán)境,為后續(xù)進(jìn)步奠定基礎(chǔ)。

      二、均值不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

      (一)利用均值不等式計算累加累乘

      在均值不等式知識實(shí)際使用的過程中,教師可以對不等式中的難點(diǎn)問題進(jìn)行分析,指導(dǎo)學(xué)生掌握相關(guān)知識的應(yīng)用技巧,提升學(xué)習(xí)水平。在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中,教師可以對學(xué)生提出相關(guān)問題。例如:如果a,b,c都是正數(shù),求證。在對這個問題進(jìn)行講解的過程中,應(yīng)明確學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)與要求,為學(xué)生講解相關(guān)內(nèi)容,保證更好地對其進(jìn)行分析,在一定程度上能夠提升學(xué)生的解題能力。教師可以指導(dǎo)學(xué)生先對問題的已知條件進(jìn)行合理的分析,明確均值不等式的定義知識,然后利用論證與推導(dǎo)的方式對其進(jìn)行嚴(yán)格的探討,保證可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論。另外,要綜合使用相關(guān)計算與分析方式,逐漸提升均值不等式知識的使用效果。

      (二)利用均值不等式求最值

      在使用均值不等式對最值問題進(jìn)行解決的過程中,應(yīng)當(dāng)合理分析數(shù)學(xué)問題的研究重點(diǎn),保證更好地學(xué)習(xí)與掌握相關(guān)知識。在此期間,應(yīng)當(dāng)合理分析必備的基礎(chǔ)條件:其一,就是“正”元素,各項數(shù)據(jù)信息都為正數(shù);其二,就是“定”元素,各項數(shù)據(jù)信息與乘積為定值;其三,是“等”元素,明確等號的取值條件。在均值不等式實(shí)際應(yīng)用的過程中,能夠?qū)ψ钪档臄?shù)據(jù)信息等進(jìn)行合理的分析,巧妙使用變形方式獲取最值信息,保證在相關(guān)系數(shù)求解的過程中,對各個層次的內(nèi)容進(jìn)行研究。在實(shí)際發(fā)展的過程中,可以利用具體的實(shí)例方式,明確最值數(shù)據(jù)信息。

      在實(shí)際教學(xué)的過程中,教師可以利用拆項方式、換元方式、平方方式等,掌握變形分析技巧,對定值與最值等數(shù)據(jù)問題進(jìn)行求解,協(xié)調(diào)各方面之間的關(guān)系,保證教學(xué)效果。

      例如:a大于0,b大于0,a+b等于1,求證。在指導(dǎo)學(xué)生對此類問題進(jìn)行分析的過程中,通常情況下,教師會對均值不等式的幾何背景等進(jìn)行研究,使得學(xué)生在了解幾何背景的情況下,更好地對結(jié)論進(jìn)行分析,提升知識掌握效果,拓展多元化的發(fā)展空間。同時,在教學(xué)期間,教師還要指導(dǎo)學(xué)生在縝密思考的過程中對幾何空間數(shù)據(jù)信息進(jìn)行分析,提升問題分析效果,滿足當(dāng)前的實(shí)際發(fā)展需求,保證結(jié)論的準(zhǔn)確性與可靠性。另外,在使用均值不等式知識解決相關(guān)問題的過程中,還要對實(shí)際情況進(jìn)行合理的研究,培養(yǎng)學(xué)生循序漸進(jìn)的問題分析觀念,提高其創(chuàng)新能力,保證在未來發(fā)展的過程中,制定多元化的分析與管理機(jī)制,創(chuàng)造良好的發(fā)展空間。

      三、均值不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

      (一)均值不等式在極值問題中的應(yīng)用

      在高等數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中,教師應(yīng)當(dāng)合理使用極值相關(guān)問題開展教學(xué)活動,制定完善的教育方案,及時發(fā)現(xiàn)其中存在的問題,采取有效措施應(yīng)對問題,保證教學(xué)工作的可靠性與有效性。

      例如教師提出問題“求極限”,在求解的過程中,可以將n元均值不等式作為主要的解題內(nèi)容,通過合理的方式對其進(jìn)行處理,保證能夠更好地對問題進(jìn)行解決,提升教學(xué)效果。在解題過程中,可以要求學(xué)生建立均值不等式的相關(guān)方程,更好地學(xué)習(xí)不等式解題中的知識,明確解題要求,全面掌握相關(guān)知識內(nèi)容。

      通常情況下,在建立函數(shù)極值問題解決方案的過程中,教師要指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)應(yīng)用函數(shù)解析式的方式學(xué)習(xí)相關(guān)知識,然后判斷問題是否可以運(yùn)用均值不等式方式解決,如果可以,就要對其進(jìn)行全面的處理。在此期間,教師可以指導(dǎo)學(xué)生利用微積分的方式,對極值問題進(jìn)行全面的分析,明確其可行性與有效性。同時,教師在指導(dǎo)學(xué)生求解極值問題時,對特殊類型均值不等式內(nèi)容進(jìn)行研究,及時發(fā)現(xiàn)其中存在的不相像等問題,采取有效措施對其進(jìn)行解決。運(yùn)用均值不等式知識解決極值問題,具有間接性與便利性的優(yōu)勢,能夠提升解題效果。因此,在未來發(fā)展的過程中,教師要指導(dǎo)學(xué)生全面了解均值不等式的基礎(chǔ)知識,創(chuàng)造良好的教學(xué)環(huán)境,使得學(xué)生在先進(jìn)教學(xué)方式的支持下,更好地解決相關(guān)問題,提高現(xiàn)代化教學(xué)工作效果。

      在教學(xué)工作中,教師需重視對學(xué)生排序不等式能力的培養(yǎng),使其在全面理解基本不等式知識的情況下,更好地參與教學(xué)活動。在此期間,教師可以設(shè)置問題:“現(xiàn)有兩組數(shù),第一組為A1,A2,…,第二組為B1,B2,…,要想滿足A1小于等于A2,且B1小于等于B2,那么,怎么樣才能使其成立?”在提出問題之后,需根據(jù)數(shù)值的實(shí)際調(diào)整要求對其處理,利用反序與同序的方式解決問題,在合理調(diào)整的情況下,對其進(jìn)行嚴(yán)格的控制。在實(shí)際證明的過程中,還需對A1、A2、B1、B2進(jìn)行全面調(diào)整,保證相關(guān)數(shù)值可以符合相關(guān)規(guī)定,更好地開展作差證明活動。這樣在一定程度上可以培養(yǎng)學(xué)生知識的學(xué)習(xí)與理解能力,使其在理解與學(xué)習(xí)知識的過程中,養(yǎng)成良好的習(xí)慣,提高學(xué)習(xí)效果,滿足當(dāng)前的實(shí)際發(fā)展需求。

      (二)均值不等式在應(yīng)用過程中的注意事項

      在使用均值不等式的過程中,教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生注意各類事項,運(yùn)用合理的分析方式,及時發(fā)現(xiàn)不等式知識應(yīng)用中存在的問題,并采取有效措施加以解決,滿足當(dāng)前的教學(xué)工作需求。具體注意事項包括以下幾點(diǎn)。endprint

      第一,對于不同的均值不等式而言,存在不同實(shí)數(shù)取值范圍的要求,應(yīng)當(dāng)明確實(shí)際情況。例如:在對問題進(jìn)行分析時,如果二次根號下面存在實(shí)數(shù),就必須保證實(shí)數(shù)大于或是等于零,保證可以滿足不等式知識的應(yīng)用要求。

      第二,均值不等式知識的應(yīng)用,要求其中帶有等號,在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,應(yīng)當(dāng)對其等號成立條件進(jìn)行合理的分析,如果不存在相關(guān)條件,就無法應(yīng)用不等式知識。

      第三,為了培養(yǎng)學(xué)生不等式知識的應(yīng)用能力,教師可以使用符號圖形展示教學(xué)方式、生活語言教學(xué)方式等,指導(dǎo)學(xué)生通過書面語言,對符號進(jìn)行表達(dá),增強(qiáng)其學(xué)習(xí)便利性與簡易性,滿足當(dāng)前的不等式知識教學(xué)要求。

      第四,在對圓直徑或是弦長大小問題進(jìn)行解決的過程中,教師可以指導(dǎo)學(xué)生判斷該問題是否可以使用均值不等式知識,在明確能用之后,還要尋找最佳的實(shí)用點(diǎn),以便于提升不等式知識的應(yīng)用效果。

      第五,實(shí)際教學(xué)中,教師還要指導(dǎo)學(xué)生使用均值不等式對周長與矩形問題進(jìn)行解決??梢园l(fā)現(xiàn),在周長相等的矩形中,面積最大的為正方形;在面積相等的矩形中,周長最小的是正方形。在反復(fù)驗證的過程中,學(xué)生通過合理的分析方式,了解相關(guān)不等式知識的使用要求,能夠全面提升學(xué)習(xí)效果。

      第六,均值不等式知識是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn),教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生正確的指導(dǎo),培養(yǎng)其知識應(yīng)用能力與問題解決能力,滿足實(shí)際教學(xué)要求。

      第七,在均值不等式知識教學(xué)工作中,教師需制訂完善的教學(xué)工作方案,結(jié)合當(dāng)前的實(shí)際教學(xué)特點(diǎn)與要求,創(chuàng)新管理形式,保證提升各方面的工作效果。在此期間,需培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力,使其全面了解均值不等式的相關(guān)知識,更好地參與到實(shí)踐活動中,提升其學(xué)習(xí)能力與理解能力。

      第八,教師在講解均值不等式知識的時候,需創(chuàng)建多元化的管理機(jī)制,明確各方面工作之間的關(guān)系,創(chuàng)新教學(xué)形式,在加大教學(xué)管理力度的情況下,營造良好的教學(xué)環(huán)境與氛圍,保證能夠增強(qiáng)教學(xué)工作效果。

      第九,教師在對均值不等式知識的講解期間,需針對各類內(nèi)容進(jìn)行全面的分析與處理,根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)要求,建立健全管控機(jī)制,明確各方面的教學(xué)要求,保證在未來發(fā)展的過程中,得到良好的教學(xué)成效。為了使學(xué)生更好地掌握均值不等式知識,還需合理創(chuàng)建相關(guān)教學(xué)體系,滿足當(dāng)前的教學(xué)要求。

      四、結(jié)語

      均值不等式的應(yīng)用十分廣泛,但在實(shí)際應(yīng)用中一定要注意其使用條件,認(rèn)真思考,注意各種條件變換和公式的變形使用,理清解題思路,提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力,在實(shí)踐過程中,要培養(yǎng)學(xué)生均值不等式的使用技巧,更好地對問題進(jìn)行研究,以達(dá)到良好的教學(xué)效果。

      【參考文獻(xiàn)】

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