陳 純

(長(zhǎng)沙市明德中學(xué),湖南 長(zhǎng)沙 410009)

物理教學(xué)中總會(huì)遇到一些有趣的問(wèn)題,這些經(jīng)典問(wèn)題陪伴了我們一代又一代的教師和學(xué)生.我們學(xué)生能夠獨(dú)立解決此類問(wèn)題固然十分重要,但是如果我們能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步地設(shè)疑、思考和探索,例如略微變化一個(gè)數(shù)值條件,或者稍稍增減一個(gè)已知條件,或者嘗試從特殊推向一般規(guī)律,從縱向和橫向多維地思考問(wèn)題,相信一定能夠體味到探索帶來(lái)的樂(lè)趣,也能展示物理學(xué)科的魅力.從另外一方面看,考慮到有的學(xué)生理解問(wèn)題的能力較強(qiáng),有的學(xué)生探索未知世界的求知欲強(qiáng),有的學(xué)生善于運(yùn)用數(shù)學(xué)去分析解決問(wèn)題,如果教師也具有一種深入鉆研，絕不輕易放過(guò)一個(gè)

問(wèn)題的教研精神,師生一起來(lái)共同合作探究,對(duì)某個(gè)問(wèn)題也一定會(huì)“思而后有所得”.以下試舉幾例說(shuō)明之.

圖1

1 縱向挖掘

例1(稍變已知條件).一質(zhì)點(diǎn)自傾角為α的斜面的上方O點(diǎn),沿一光滑斜槽OA下滑,如圖1,如果想使得該質(zhì)點(diǎn)到斜面上所需的時(shí)間為最短,則斜槽OA與豎直方向所成的夾角θ應(yīng)該為多少?

探索:此時(shí)顯然已經(jīng)不符合等時(shí)圓的條件了,但是結(jié)果會(huì)有什么樣的變化呢?探究一番發(fā)現(xiàn)還是挺有趣味的.

首先,設(shè)OB=h,OA=s,根據(jù)正弦定理有

質(zhì)點(diǎn)勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為

a=gcosθ-μgsinθ,

為求分母極大值，令

f(θ)=cos(θ-α)(cosθ-μsinθ)，有

即sin(θ-α)(μsinθ-cosθ)=cos(θ-α)(sinθ+μcosθ),故

圖2

例2(探索一般結(jié)論).甲、乙、丙、丁4個(gè)小孩站在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的4個(gè)頂點(diǎn)處玩一個(gè)游戲,如圖2.現(xiàn)4個(gè)人均以相同的速率v運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)中始終保持甲朝著乙、乙朝著丙、丙朝著丁、丁又朝著甲運(yùn)動(dòng).試求: 從開始運(yùn)動(dòng)到4人相遇共需多長(zhǎng)時(shí)間?

圖3

這是個(gè)經(jīng)典的物理競(jìng)賽題,作圖就可以發(fā)現(xiàn)小孩在經(jīng)過(guò)下一個(gè)微小時(shí)間后仍然處在一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),小孩的運(yùn)動(dòng)軌跡就是無(wú)窮多個(gè)逐漸變小的正方形的某個(gè)頂點(diǎn)的移動(dòng)軌跡,最終他們?cè)谡叫蔚闹行奶幭嘤?利用幾何畫板的迭代功能可以很方便地畫出圖形(如圖3).

現(xiàn)在想到如果有n個(gè)小孩(n>2)分別站在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正n多邊形的頂點(diǎn)處玩該游戲,從開始運(yùn)動(dòng)到他們相遇共需多長(zhǎng)時(shí)間?

圖4

探索:在分析n個(gè)小孩互相追逐時(shí),作圖容易發(fā)現(xiàn)仍然與上面的情況類似,例如n=6的情況(如圖4),在任意一個(gè)時(shí)刻,6個(gè)小孩都處在一個(gè)逐漸縮小的正六邊形的頂點(diǎn)上,而且每個(gè)小孩指向多邊形中心的速度分量不變.

圖5

圖3和圖4中,小孩的軌跡上任意一點(diǎn)的切線與通過(guò)該點(diǎn)的一條正多邊形的邊共線,這條切線與切點(diǎn)到正多邊形中心的連線的夾角保持不變(即為正多邊形內(nèi)角的一半),這樣的曲線在數(shù)學(xué)中稱為等角螺線(或?qū)?shù)螺線),它與自然界中很多現(xiàn)象有密切的聯(lián)系.例如，昆蟲以這樣一條曲線軌跡接近點(diǎn)光源,蜘蛛依靠這種曲線法則來(lái)織網(wǎng),十分有趣!

2 橫向拓展

例3(多維發(fā)散思維).一只野兔被狐貍追趕沿直線跑向兔穴,它的速度大小與到兔穴的距離成反比,當(dāng)兔子在離穴x1處的A點(diǎn)被狐貍發(fā)現(xiàn)時(shí),速度為v1,試求兔子奔跑到離穴x2的B點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間?

發(fā)散1:假若題目拓展為兔子的加速度大小與到兔穴的距離成正比,比例系數(shù)為k0(k0>0),兔子從被發(fā)現(xiàn)的地方靜止開始沿直線奔跑到兔穴需要多長(zhǎng)時(shí)間?

發(fā)散2:假若兔子的加速度與到兔穴的距離的平方成反比,比例系數(shù)為k(k>0),兔子在離兔穴距離L的地方被發(fā)現(xiàn),則兔子立即由靜止開始奔跑到兔穴需要多長(zhǎng)時(shí)間?

對(duì)這道題的以上兩種拓展可以有效地訓(xùn)練“類比”這一重要的物理思維.

發(fā)散3:在問(wèn)題的討論中,自然還會(huì)遇到如下的疑惑:假若兔子的加速度與到兔穴的距離成反比,比例系數(shù)為k(k>0),兔子從被發(fā)現(xiàn)的地方靜止開始奔跑到兔穴需要多長(zhǎng)時(shí)間?此時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題居然沒(méi)有兔子的加速度與到兔穴的距離的平方成反比好處理，但是似乎又不愿直接回避這個(gè)問(wèn)題.

圖6

當(dāng)x=L時(shí)v=0，代入上式得C=klnx,考慮到速度的方向,有

(1)

x=Le-u2,dx=-2Lue-u2du,

(1)式化為

(2)

考慮積分區(qū)間，并兩邊同時(shí)積分得

(3)

當(dāng)然,問(wèn)題拓展不是一味地追求難度,這需要針對(duì)學(xué)生的不同基礎(chǔ)、興趣和層次展開,另外,如果教師對(duì)遇到的問(wèn)題能夠深入鉆研不輕易放棄,對(duì)于提升教學(xué)能力也是有益的.

1 程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程力學(xué)篇[M].合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2013:39.

2 黃晶.迷人的等角螺線[J].物理教師,2008(3):31-32.