王偉民 辛存良

(1. 安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652； 2. 山東省陽谷縣西湖中學(xué)，山東 陽谷 252311)

圖1

這道題目的原始出處為張大同、彭大斌兩位教師主編的《物理競賽教程》．原書對該問題的分析和解題過程如下.

假設(shè)有一半徑為R、高為R的水圓柱體立于水平面上,則平面對此水圓柱體的支持力等于此圓柱體的重力,即為πR3ρg(ρ為水的密度),和圖1相比較,由于上述水圓柱體對支持面的壓強與圖1中的水對支持面的壓強相等,而兩者底面積相等,故支持面對兩者的支持力相等．又在圖1中,支持面的支持力應(yīng)等于漏斗中水的重力與漏斗重力之和．以m表示漏斗的質(zhì)量,則有[注:原書解答過程對應(yīng)插圖的序號為8-5,跟上面的圖1一樣,所以,筆者把原解答中出現(xiàn)的“圖8-5”都改成了“圖1”]開口向下的半球狀漏斗內(nèi)裝滿水時,漏斗內(nèi)表面各部分都要受到水的壓力．因為漏斗內(nèi)表面是曲面,所以,內(nèi)側(cè)面上各面積元所受水壓力的方向均不相同,由于圖1所示的半球面是以過球心的豎直線為對稱軸的旋轉(zhuǎn)對稱圖形,因此,水對漏斗內(nèi)側(cè)各面積元壓力的合力,方向一定豎直向上,當開口向下裝滿水的漏斗剛開始浮起時,水對漏斗壓力的合力與漏斗重力相等,因此,從這一受力角度來分析,欲求漏斗的質(zhì)量,只需求出水對漏斗壓力的合力即可．

故得漏斗質(zhì)量為

由于曲面上深度不等的各面積元所受水的壓強不等,所以,直接用中學(xué)數(shù)學(xué)和物理知識計算水對漏斗內(nèi)表面各面積元壓力的合力大小,有一定的困難(用微積分知識可求,但也比較麻煩),上述原書給出的解答過程,借助于建立的“水圓柱體”物理模型作為“媒介”進行求解,的確是一種非常簡潔的方法．實際上,我們也可以借助浮力產(chǎn)生的原因并結(jié)合阿基米德原理來巧妙求解——浸在液體中的物體所受液體浮力的大小,一方面等于液體對物體下表面和上表面的壓力之差(當上表面或下表面是曲面時,液體對曲面的壓力指的是曲面上各面積元所受液體壓力的合力),同時還等于物體排開液體的重力．建立合適的物理模型,同樣可以用中學(xué)知識方便快捷的求解液體對曲面上各面積元壓力的合力．

圖2

解析:建立如圖2所示的物理模型——取一個底面半徑為R,高也為R的圓柱體,從下面挖去一個半徑為R的半球,將剩余部分放入水中,并使其上表面(是平的圓面)與水面相平,則該物體的下表面(半球面)所受水的作用力跟圖1的漏斗內(nèi)表面所受水的作用力完全相同．圖2中,水對物體下表面(半球面)各面積元壓力的合力豎直向上,大小等于物體所受水的浮力(因為物體的上表面與水面齊平,不受水的壓力)為

所以,漏斗的質(zhì)量為

再看該方法在相關(guān)力學(xué)求解過程中的應(yīng)用.

應(yīng)該說,例1給出的問題情境非常的“巧合”——開口向下的漏斗裝剛滿水時,漏斗恰好被水頂起來．在實際問題中,這種巧合情形出現(xiàn)的幾率應(yīng)該非常的?。敲?如果漏斗的質(zhì)量不是那么的“巧合”,我們也可以根據(jù)這種現(xiàn)象求出漏斗的質(zhì)量嗎?

圖3 圖4

解析:仿照例1的解法,建立如圖4所示的模型——取一個底面半徑為R,高為h的圓柱體,從圓柱體的底部挖去一個與圓柱體等底、等高的圓錐體,將剩余部分放入水中,且使其上表面與水面相平．依題意可知,圖3中漏斗與盛沙容器的重力之和等于水對其壓力的合力,大小等于圖4中浸在水中的物體所受水的浮力

所以,漏斗的質(zhì)量為

如果漏斗質(zhì)量較大,漏斗裝滿水無法浮起,那么,應(yīng)如何確定漏斗質(zhì)量呢?

圖5 圖6

解析:由于該問題與例2給出的問題相似,但條件不同,在不考慮漏斗細管的截面積的情況下,我們可以建立跟例2解法相似但又略微不同的物理模型．如圖6所示,取一個底面半徑為R,高為3h/2的圓柱體,在下面挖去一個底面半徑為R,高為h的圓錐(如果考慮細管的截面積,可在圖6的上部再挖去一個跟細管截面積相同的圓柱體即可),將物體放入水中,且使其上表面與水面相平,仿照例1和例2的解法,有

所以,漏斗質(zhì)量為

上面給出的幾個例子,漏斗的水平截面積大小隨高度的增加而單調(diào)減小,水對漏斗內(nèi)側(cè)各面積元壓力在豎直方向上的分力方向均向上．那么,除此之外的情形,該方法還適用嗎?再看漏斗截面積隨高度不是單調(diào)變化的情形．

圖7 圖8

解析:建立如圖8所示的物理模型——取一個底面半徑為R,高為h的圓柱體,在圓柱體的底部挖去一半徑為R,高為h并與圓柱體的上表面相切的球缺,將挖去球缺后的剩余部分放入水中,使其上表面與水面相平.

圖9

本問題與例1給出的問題看似一樣,其實并不同,開口朝下的球缺狀漏斗裝滿水時,其內(nèi)表面各面積元所受水的壓力,方向不全是向上的,在過球心的水平面之下的部分,內(nèi)側(cè)面各面積元所受水的壓力方向傾斜向下,所以,我們有必要將圖8所示的物理模型分成兩部分,綜合進行豎直方向上的受力分析(單分析水對各部分壓力的合力).

如圖9所示,過球缺的球心O作水平面,將物體分成上下兩部分,設(shè)在豎直方向上水對上半球壓力的合力為F1(合力方向豎直向上),水對下部分向下和向上的壓力的合力分別為F2和F3(合力方向均為豎直方向．由于對稱,水對物體水平方向上的壓力,合力為0,所以不再考慮)．則,水對物體的浮力大小為(F1+F3-F2)

因為F1+F3-F2=G排,

所以F1-F2=G排-F3=ρgπR2h-

所以,圖5中,漏斗的重力等于水對球缺狀漏斗豎直向上的作用力,其大小為

因此,漏斗質(zhì)量大小為

1 張大同,彭大斌.物理競賽教程(第四版)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2012:275-276.