黃名鈿+高偉

摘要：小波閾值去噪在信號處理領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛。針對傳統(tǒng)軟、硬閾值函數(shù)算法存在的缺陷，許多學(xué)者提出了介于軟、硬閾值之間改進(jìn)型閾值函數(shù)算法。但這些閾值函數(shù)在整個小波空間域內(nèi)高階不可導(dǎo)，存在臨界閾值處不能平滑過渡的現(xiàn)象。因此提出一個帶參數(shù)的閾值函數(shù)，可以實現(xiàn)臨界閾值處的平滑過渡。同時，采用粒子群優(yōu)化算法，針對信號含噪情況，自動優(yōu)化閾值函數(shù)參數(shù)，實現(xiàn)去噪過程的自動尋優(yōu)。采用基準(zhǔn)信號仿真結(jié)果表明，提出的算法可以獲得更小的均方誤差和更高的信噪比，達(dá)到了去噪實用化的效果。

關(guān)鍵詞：小波變換；粒子群優(yōu)化；算法；閾值函數(shù)

O 引言

相關(guān)法、模極大值法和閾值法是小波去噪的三種常見方法，其中，閾值法最實用，已廣泛應(yīng)用于信號去噪中。閾值法有硬閾值和軟閾值兩種基本的去噪算法，但是這兩種基本方法各有一定缺陷：一是硬閾值函數(shù)整體不連續(xù)，容易造成經(jīng)小波去噪后的信號不平滑；二是軟閾值函數(shù)整體上雖然連續(xù)，但是小波估計系數(shù)與含噪聲信號的小波系數(shù)之間總是存在著恒定的偏差，這直接影響重構(gòu)信號和原始信號的逼近程度。

針對軟、硬閾值法存在的缺點，學(xué)者提Jq』了許多改進(jìn)的閾值函數(shù)算法，這些算法介于軟、硬閾值之間，通過改變閾值函數(shù)的參數(shù)可以有效避免傳統(tǒng)閾值函數(shù)的缺陷，在整個小波空間域內(nèi)，閾值函數(shù)雖然連續(xù)，但高階不可導(dǎo)，在臨界閾值九處曲線連續(xù)但不是平滑過渡。這種缺陷就可能導(dǎo)致在閾值去噪處理時會出現(xiàn)細(xì)節(jié)系數(shù)的過扼殺和信號振蕩現(xiàn)象。

同時，對于改進(jìn)的帶參數(shù)的閾值函數(shù)算法，針對變化的實際信號，為了實現(xiàn)最佳的去噪效果，需要手動調(diào)節(jié)參數(shù)來處理新的含噪信號，限制了去噪算法對處理信號的適應(yīng)性。針對這些問題，本文提出一個改進(jìn)的閾值函數(shù)算法，可以解決閾值函數(shù)在臨界閾值λ處不平滑過渡的問題，同時引用粒子群優(yōu)化算法，實現(xiàn)閾值函數(shù)參數(shù)的自動尋優(yōu)，讓去噪算法自動適應(yīng)處理信號的變化。

1 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪的過程分為對含噪信號進(jìn)行小波分解，高頻系數(shù)的閾值量化處理和用小波逆變換實現(xiàn)信號重構(gòu)三個步驟。其基本原理如圖1所示：。

含噪信號經(jīng)小波分解后，通常信號的系數(shù)要大于噪聲的系數(shù)，選擇一個合適的數(shù)九作為臨界閾值，將小于該閾值的分解系數(shù)認(rèn)為是由噪聲引起的，予以舍棄；而大于該閾值的分解系數(shù)認(rèn)為主要是由信號引起的，加以保留，這就是閾值去噪。在閾值去噪中，傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)去噪之后存在著偽吉布斯（ Pseudo-Gibbs）現(xiàn)象，軟閾值去噪則會造成恒定偏差問題，而其它的改進(jìn)閾值函數(shù)算法存在著不平滑過渡等問題。為此，本文將對原有的閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，以避免以上存在的問題。

2 新閾值函數(shù)的構(gòu)造

針對硬閾值的不連續(xù)性、軟閾值造成的恒定偏差、其他改進(jìn)閾值函數(shù)的不平滑過渡現(xiàn)象，本文提出一種新的閾值函數(shù)：

新閾值函數(shù)：

其中k和cc為調(diào)節(jié)因子，且k和Cc為正數(shù)。

新閾值函數(shù)在小波域內(nèi)和軟閾值函數(shù)有著相同的連續(xù)性，克服了硬閾值函數(shù)在閾值處的不連續(xù)性，同時也避免了因不連續(xù)而導(dǎo)致的偽吉布斯（ Pseudo-Gibbs）現(xiàn)象；隨著小波系數(shù)的增加，新閾值函數(shù)漸漸接近硬閾值函數(shù)曲線，這克服了軟閾值函數(shù)中ω_j，k與ω_j，k之間總是存在著恒定的偏差的缺點；在/ω_j，k/>λ和/ω_j，k/<λ 范圍內(nèi)，新閾值函數(shù)高階可導(dǎo)，這種特性可以消除振蕩現(xiàn)象，使重構(gòu)信號顯得平滑。

當(dāng)k→∞時，新閾值函數(shù)就為閾值函數(shù)：

在此條件下，當(dāng)α→O時，新閾值函數(shù)為軟閾值函數(shù)，當(dāng)a→∞時，新閾值函數(shù)為硬閾值函數(shù)；因此通過改變α值，新閾值函數(shù)可以在硬軟閾值之間靈活變化。新閾值函數(shù)在硬軟閾值之間，其參數(shù)k必須大于等于1，參數(shù)k決定了小波閾值的逼近程度，調(diào)節(jié)k使新閾值函數(shù)在閾值處理時能夠保留一部分有用信號的高頻部分，較好地抑制細(xì)節(jié)系數(shù)的過扼殺和信號振蕩現(xiàn)象。

靈活調(diào)節(jié)k、α，新閾值函數(shù)曲線在硬、軟閾值之間變化，如圖2所示。對于不同的含噪信號，新閾值函數(shù)可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)k、α，實現(xiàn)最佳的去噪效果。

3 粒子群優(yōu)化算法

采用帶參數(shù)閾值函數(shù)去噪過程中，針對具體含噪信號，可以靈活調(diào)節(jié)閾值函數(shù)的k和cc參數(shù)，滿足不同信號處理的去噪要求。然而，在實際應(yīng)用中，待處理信號的含噪情況是不可預(yù)測或不可知的。對于這種隨機(jī)變化的含噪信號進(jìn)行去噪，閾值函數(shù)的參數(shù)k、α應(yīng)該也不可能是固定值。因此對于隨機(jī)含噪信號的閾值處理，選擇適用的優(yōu)化算法來對閾值函數(shù)的參數(shù)k、α進(jìn)行優(yōu)化，以期能夠適應(yīng)信號的變化是去噪走向?qū)嵱没年P(guān)鍵。

閾值函數(shù)有兩個參數(shù)k、α，函數(shù)優(yōu)化時參數(shù)較少，同時對于變化信號的處理則需較短時間內(nèi)完成優(yōu)化目標(biāo)，因此，需要收斂速度相對高的優(yōu)化算法。對比模擬退火算法、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蟻群算法等優(yōu)化算法，選取收斂速度快、精度高及易實現(xiàn)且無需過多參數(shù)調(diào)整的粒子群優(yōu)化算法。

3.1 PSO算法

粒子群優(yōu)化算法實現(xiàn)簡單有效，收斂速度快，算法中每個粒子代表一個待優(yōu)化問題的可能解，并且分別由速度向量和位置向量來表征粒子當(dāng)前的飛行速度和所在的位置。在每次迭代過程中，粒子通過個體極值和全局極值更新自身的速度和位置，即：

苴中為慣性權(quán)重，cl和c2的加速度系數(shù)，t是當(dāng)前迭代次數(shù)，d是當(dāng)前D維解空間，和訂和r2是兩個隨機(jī)常數(shù)

3.2 適應(yīng)度函數(shù)

利用重構(gòu)信號的質(zhì)量評價去噪算法的性能，采用PSO最小化原始信號和重構(gòu)信號之間的均方誤差。因此，對于改進(jìn)的參數(shù)小波閾值去噪算法的適應(yīng)度函數(shù)即為：

其中，f（i）是原始信號，f_m（i）是去噪后的信號，N是信號長度。

從式子（4）可以看出 ，適應(yīng)度函數(shù)是由原始信號和去噪后的信號組成的，其中，去噪后的信號是由小波閾值系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)的。根據(jù)式子（1），我們可以獲得由閾值九和改變形狀參數(shù)k、α 組成的新閾值函數(shù)。一旦閾值x和k、α 確定，閾值方案可以固定。根據(jù)閾值函數(shù)，可以獲得閾值的小波系數(shù)，去噪后的重構(gòu)信號可以確定。因此由x和k、α 組成的矢量可以看作該P(yáng)SO算法的粒子位置。通過最大限度的減小適應(yīng)度函數(shù)值獲得相對應(yīng)的適應(yīng)度值。endprint

4 利用PSO算法進(jìn)行小波閾值信號去噪

以下是基于粒子群優(yōu)化算法的改進(jìn)小波閾值函數(shù)的信號去噪步驟。

步驟1：根據(jù)相應(yīng)參數(shù)設(shè)置，初始化PSO的搜索空間和位置。本文采用以下例子進(jìn)行說明：小波變換中，例如在db系列（db3～db6）中選取小波，分解層數(shù)設(shè)為n（ 1～10）。根據(jù)信號和噪聲的特性采用分層閾值法，不同分解層數(shù)應(yīng)設(shè)置不同閾值。粒子位置由閾值和形狀調(diào)整參數(shù)組成。算法選取小波基函數(shù)和分解層數(shù)，粒子位置是進(jìn)行（n+2）維空間的初始化，即（λ₁，λ₂，λ₃…λ，α，k）。閾值（λ₁，λ₂，λ₃…λ，α，k）初始化為1～160，α和k初始化為0～100。一般群體大小應(yīng)為搜索維數(shù)的兩倍或兩倍以上，因此由本文中的問題，考慮群體大小為20。

步驟2：根據(jù)式（4）計算每個粒子的適應(yīng)度值F。第i個粒子的適應(yīng)度值表示為Fid；

步驟3：使用（2）和（3）更新粒子的速度和位置；這兩個方程的不同常數(shù)和變量應(yīng)該初始化為如下：

（1）常數(shù)rl，r2獨立地均勻分布在[0，1]的范圍內(nèi)。

（2）慣性權(quán)重ω，調(diào)整權(quán)重系數(shù)的大小，可以使粒子群跳出局部極小值，ω取值在0.1至0.9之間。

（3）X tid和Vtid分別是第i個粒子的第d維位置和速度；其中Xtid如步驟l中所述被隨機(jī)初始化，并且Vtid在搜索空間中被隨機(jī)初始化。

（4） Fib和Fgb分別是第i個粒子的個體最佳適應(yīng)度值和全局最佳適應(yīng)度值。如步驟2中所討論的初始化值Fib，F(xiàn)ib的最佳值被當(dāng)作全局最佳初始化值Fgb。

步驟4：限制更新的速度和位置。如果在（-Vmax，+Vmax）范圍外發(fā)現(xiàn)新速度，則將其限制為邊界值。同樣的，對于位置的更新，使用相同的方法來處理新位置。

步驟5：計算新位置的適應(yīng)度Fid。如果當(dāng)前Fid優(yōu)于先前的Fib，則Fib由當(dāng)前Fid替代；否則，保留以前的Fib。如果當(dāng)前Fib比先前的Fgb更好，則Fgb由當(dāng)前Fib替代；否則，保留先前的Fgb。類似地，個體最佳位置Pid和全局最佳位置Pgd被相應(yīng)地更新。

步驟6：重復(fù)上述步驟3-5，直到達(dá)到終止條件或最大迭代次數(shù)。

圖3給出了基于PSO優(yōu)化帶參數(shù)小波閾值函數(shù)去噪方法的流程圖。在該圖中，對于待處理的噪聲信號進(jìn)行小波變換（ SWT）分解，得到小波分解系數(shù)SWA和SWD，SWA和SWD分別表示通過小波變換（SWT）獲得的小波近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)。其次，對于細(xì)節(jié)系數(shù)（ SWD）進(jìn)行粒子群優(yōu)化。先設(shè)置粒子群算法的初始值，粒子個數(shù)、常數(shù)、慣性權(quán)重、最大速度等，在滿足控制變量約束條件下，隨機(jī)賦予種群中每個粒子的初始位置和初始速度。根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算并評價每個粒子的適應(yīng)度值，設(shè)定粒子的初始局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。通過比較粒子的當(dāng)前的最優(yōu)值和歷史的最優(yōu)值，更新粒子的局部最優(yōu)值和全局最優(yōu)值。根據(jù)式子（2）和式子（3）更新粒子的速度和位置，如果粒子的速度大于Vmax，則取Vmax。如果滿足迭代終止條件。由對應(yīng)于最佳的適應(yīng)度值的結(jié)果參數(shù)，對對應(yīng)的小波系數(shù)進(jìn)行閾值化處理，利用閾值化后小波細(xì)節(jié)系數(shù)和小波近似系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu)，得到去噪后的信號。

5 數(shù)據(jù)仿真與結(jié)果

可以采用多個指標(biāo)來評估閾值去噪方案相對于重構(gòu)信號質(zhì)量的性能。本文采用的指標(biāo)是信噪比和均方誤差兩個。信噪比（ SNR）如（5）所示：

其中f（i）是原始信號，f'（i）是去噪后的信號，信噪比SNR提高越大，表示信號去噪效果越好。

5.1 仿真設(shè)置

以下對兩種不同噪聲振幅的基準(zhǔn)信號進(jìn)行仿真去噪，實驗結(jié)果對比去噪的效果，來驗證整體自動尋優(yōu)的基于粒子群優(yōu)化帶參數(shù)小波閾值函數(shù)的去噪效果優(yōu)于新閾值函數(shù)的去噪效果。這兩種基準(zhǔn)信號分別是從眾所周知的Bumps和Doppler信號，含噪信號的信噪比設(shè)置為10分貝（ dB）。仿真平臺采用基于Windows7系統(tǒng)的MATLAB R2013a軟件。原始信號的總樣本為2048，最大迭代次數(shù)設(shè)置為50。

5.2 仿真結(jié)果與分析

分別對Bumps和Doppler信號進(jìn)行仿真，運(yùn)行算法，生成含噪信號去噪前后的效果圖，同時在workspace查看變量數(shù)據(jù)，顯示含噪信號去噪前后的信噪比和均方誤差值，對比實驗結(jié)果數(shù)據(jù)，并進(jìn)行結(jié)果分析。實驗仿真結(jié)果顯其去噪后的效果圖4和圖5、數(shù)據(jù)表格表l和表2。

由圖4和圖5可以看出，基于pso優(yōu)化的帶參數(shù)小波閾值函數(shù)法對含噪信號去噪獲得的曲線更接近于原始信號，重構(gòu)的信號更好地反映原始信號的細(xì)節(jié)信息。因此，所提出的基于pso優(yōu)化的帶參數(shù)小波閾值函數(shù)法去噪效果更好。

根據(jù)均方誤差（ MSE）和信噪比（SNR）作為評估信號去噪效果的標(biāo)準(zhǔn)，MSE值越小和SNR提高越大表明信號去噪效果越好。

從表l和表2中的數(shù)據(jù)可以看出，基于pso優(yōu)化的帶參數(shù)小波閾值函數(shù)法對含噪的Doppler和Bumps信號進(jìn)行去噪后，其得到的MSE參數(shù)值比新閾值函數(shù)法得到的值小，并且，其得到的SNR參數(shù)值比新閾值函數(shù)法得到的值大，這些數(shù)據(jù)清楚地表明，所提出的基于pso優(yōu)化的帶參數(shù)小波閾值函數(shù)法去噪效果比新閾值函數(shù)法更好，基于pso優(yōu)化的帶參數(shù)小波閾值函數(shù)法是一種有效的濾波器。

6 結(jié)論

本文中，提出一種采用基于pso優(yōu)化的帶參數(shù)小波閾值函數(shù)的信號去噪方法。通過仿真實驗，得出以下結(jié)論：帶參數(shù)的新閾值函數(shù)能夠克服小波閾值函數(shù)去噪方法存在的缺陷，調(diào)節(jié)參數(shù)使之兼具硬、軟閾值函數(shù)優(yōu)點，并在臨界閾值內(nèi)添加平滑過渡區(qū)，可在閾值處理時保留一部分有用的高頻信號，較好地抑制細(xì)節(jié)系數(shù)的過扼殺和信號振蕩現(xiàn)象。針對隨機(jī)含噪的信號，采用基于pso優(yōu)化的帶參數(shù)小波閾值函數(shù)法，可以實現(xiàn)閾值函數(shù)參數(shù)的自動尋優(yōu)，確定最佳的小波基函數(shù)和分解層數(shù)，獲得最佳的去噪效果，達(dá)到去噪算法自動適應(yīng)處理信號的變化之目的。endprint