基于短時(shí)傅里葉變換的紡織材料纖維取向度測(cè)量方法

張 芳 ，田紅霞 ，肖志濤 ，王 雯 ，莊旭品

（1.天津工業(yè)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué) 天津市光電檢測(cè)技術(shù)與系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387；3.天津工業(yè)大學(xué)紡織學(xué)院，天津 300387）

紡織材料是纖維材料直接構(gòu)成的纖維集合體，纖維的取向分布會(huì)影響紡織材料的物理和機(jī)械性能.為了觀察纖維的取向，常借助高倍放大的掃描電子顯微鏡.基于掃描電鏡圖像，人們提出了相關(guān)的取向度測(cè)量方法，目前主要有直接追蹤法[1-2]、流場(chǎng)分析法[3-4]和傅里葉變換法[5-10].直接追蹤法利用細(xì)化和輪廓增強(qiáng)技術(shù)，把實(shí)際圖像中的纖維轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單數(shù)字化的弧線，這些弧線為原圖像纖維的中間軸.但考慮到計(jì)算的準(zhǔn)確率，需要對(duì)纖網(wǎng)進(jìn)行薄化處理，這就大大增加了工作量.流場(chǎng)分析法提取圖像灰度梯度的取向信息，根據(jù)纖維的取向與灰度梯度矢量的方向相互垂直的原理計(jì)算纖維取向度.該方法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，但計(jì)算結(jié)果容易受到圖像噪聲的影響.傅里葉變換法是把圖像的灰度強(qiáng)度分布分解成具有一定振幅和相位的頻率分布，根據(jù)纖維圖像的頻譜得到纖維的取向度.但是采用傅里葉變換法的前提是原始圖像是周期圖像，當(dāng)圖像并不完全是周期性的或者圖像的不同區(qū)域存在較大差異時(shí)，頻率圖中會(huì)有很多錯(cuò)誤的頻率成分，即產(chǎn)生邊界效應(yīng)，這必然會(huì)對(duì)取向度的測(cè)量產(chǎn)生很大影響.

針對(duì)以上方法的不足，本文提出了一種基于短時(shí)傅里葉變換的紡織材料纖維取向度測(cè)量方法，把纖維圖像看作總體非平穩(wěn)、局部平穩(wěn)的信號(hào)[11]，采用中間平坦、四周衰減的窗函數(shù)對(duì)局部平穩(wěn)區(qū)域進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，通過(guò)頻譜分析測(cè)量纖維的取向度.本方法既可以改善頻譜圖的邊界效應(yīng)，也可以避免對(duì)全局圖像直接處理而忽略細(xì)節(jié)的問(wèn)題.

1 圖像的傅里葉變換

傅里葉變換法廣泛應(yīng)用于圖像分析中，以圖像中灰度變化作為處理對(duì)象的依據(jù)，把圖像數(shù)據(jù)由空間域變換到頻域中，其物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，然后在頻域中分析圖像的特征[12].其變換公式為：

式中：f（x，y）為二維圖像信號(hào).

頻域信號(hào)F（u，v）可以反映圖像f（x，y）在時(shí)域中的灰度變化和圖像結(jié)構(gòu).具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的圖像其高頻分量較豐富，在其傅里葉變換頻譜圖中灰度能量分布在離原點(diǎn)較遠(yuǎn)的位置；而當(dāng)紋理較粗的情況下，其低頻分量較豐富，在其傅里葉變換頻譜圖中灰度能量分布在離原點(diǎn)較近的范圍內(nèi)；當(dāng)某紋理圖像存在大量沿某方向的線、邊緣時(shí)，則在頻率域內(nèi)能量集中出現(xiàn)在與該方向垂直的方向上；如果紋理沒有表現(xiàn)出方向性，則頻譜圖像也不呈現(xiàn)方向性.

在應(yīng)用傅里葉變換進(jìn)行圖像分析時(shí)有一個(gè)重要假設(shè)，即認(rèn)為圖像是周期性的，只有這樣用離散傅里葉反變換得到的圖像才能反映原始圖像的真實(shí)規(guī)律.如果圖像不是嚴(yán)格平穩(wěn)的，也就是不能很好地滿足周期性，在圖像的邊界處會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象，這樣在功率譜圖像中就會(huì)因?yàn)檫吔绲牟贿B續(xù)而含有一些錯(cuò)誤的頻譜成分，這必然會(huì)對(duì)取向度的測(cè)試產(chǎn)生很大的影響[13].短時(shí)傅里葉變換（short-time Fourier transform簡(jiǎn)稱STFT）是在傅里葉變換的框架內(nèi)，針對(duì)總體非平穩(wěn)、局部平穩(wěn)的信號(hào)而提出的一種頻譜分析方法.通過(guò)在時(shí)域加窗函數(shù)，并通過(guò)一個(gè)平移參數(shù)使窗口平移覆蓋整個(gè)時(shí)域，將原始圖像這一非平穩(wěn)信號(hào)轉(zhuǎn)化為短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)，再對(duì)每個(gè)窗函數(shù)所覆蓋的局域圖像做傅里葉變換.對(duì)于給定的非平穩(wěn)信號(hào)b（t），通過(guò)窗函數(shù)W（t）定義新的信號(hào)bt（τ）：

對(duì)新信號(hào)作傅里葉變換的結(jié)果稱為原信號(hào)的短時(shí)傅里葉變換[14]，即：

針對(duì)二維圖像I（x，y），對(duì)其施加窗函數(shù)W（x，y），則I（x，y）的二維短時(shí)傅里葉變換可表示為：

若對(duì)圖像加窗后的各個(gè)子塊建立獨(dú)立的坐標(biāo)系，可將上式簡(jiǎn)化為：

2 基于STFT測(cè)量纖維取向度

纖維圖屬于非平穩(wěn)信號(hào)，不滿足整體傅里葉變換的要求，因此本文采用短時(shí)傅里葉變換對(duì)纖維圖像進(jìn)行頻譜分析.本文提出的基于短時(shí)傅里葉變換的紡織材料纖維取向度測(cè)量方法整體流程如圖1所示.

圖1 測(cè)量方法的整體流程Fig.1 Overall flow chart of measurement method

主要步驟為：

（1）把纖維圖像分成大小為M×M且相互重疊量為 N 的子塊 S（x，y），并對(duì)每個(gè)子塊 S（x，y）進(jìn)行對(duì)比度增強(qiáng)；

（2）對(duì)每個(gè)子塊 S（x，y）乘以窗函數(shù) W（x，y），并對(duì)加窗的子塊進(jìn)行傅里葉變換得F（u，v）；

（3）選取每個(gè)子塊的頻譜圖中的感興趣區(qū)域，得到新的頻譜圖FS（u，v）；

（4）計(jì)算新的頻譜圖中沿不同方向角的總能量，并找出每個(gè)子塊中纖維的主方向；

（5）對(duì)每個(gè)子塊的主方向進(jìn)行統(tǒng)計(jì).

2.1 圖像預(yù)處理

本文采用短時(shí)傅里葉變換通過(guò)對(duì)纖維圖像加窗并使窗口平移覆蓋整個(gè)時(shí)域，進(jìn)而對(duì)纖維圖像進(jìn)行局部頻譜分析.首先把纖維圖像分成大小為M×M、重疊量為N的子塊S（x，y）.其中窗口大小的選擇應(yīng)保證在子塊內(nèi)圖像是平穩(wěn)的，同時(shí)相鄰窗口之間有一定的重疊信息，這樣既能體現(xiàn)相鄰點(diǎn)的相關(guān)性，也保持了信號(hào)的連貫性，避免塊邊緣效應(yīng).

原始圖像中纖維目標(biāo)與背景的對(duì)比度較差，因此本文采用對(duì)比度受限自適應(yīng)直方圖均衡化（contrast limited adaptive histogram equalization，CLAHE）方法來(lái)增強(qiáng)纖維圖像的對(duì)比度.圖2為纖維圖局部區(qū)域及其增強(qiáng)圖.

圖2 纖維圖局部區(qū)域及其增強(qiáng)Fig.2 Fiber image and its enhanced image

2.1.1 窗函數(shù)的選取

針對(duì)圖2（b）所示圖像，如果選取的窗函數(shù)W（x，y）=1，相當(dāng)于取纖維圖的一小塊直接進(jìn)行二維傅里葉變換，此時(shí)得到的頻譜圖如圖3所示.圖3中較亮的部分反映了時(shí)域圖像中纖維的頻率和方向.但是頻譜圖中在水平和豎直方向上，還有一些不規(guī)則的光痕，這就是邊界效應(yīng).如前所述，造成邊界效應(yīng)的原因是由于傅里葉變換總是試圖把圖像分割成水平、豎直方向周期變化的兩組單位圖像的線性組合.由于纖維圖像并非嚴(yán)格平穩(wěn)的，即使將其分割為一系列小的子塊，子塊圖像仍然不滿足周期性，這樣在頻譜圖像中就會(huì)因?yàn)檫吔绲牟贿B續(xù)而含有一些錯(cuò)誤的頻譜成分，這必然對(duì)取向度的測(cè)試產(chǎn)生很大影響.

圖3 纖維圖局部區(qū)域的頻譜圖Fig.3 Spectrogram of a local fiber image

為了減少邊界效應(yīng)對(duì)測(cè)量的不利影響，可通過(guò)加窗來(lái)盡可能減少在非整數(shù)個(gè)周期上進(jìn)行FFT產(chǎn)生的誤差.子塊圖像邊界會(huì)呈現(xiàn)不連續(xù)性，加窗可減少這些不連續(xù)部分的幅值.加窗的結(jié)果是盡可能呈現(xiàn)出一個(gè)連續(xù)的波形，減少劇烈的變化.為了減少邊界效應(yīng)得到更為清晰的頻譜圖，本文采用中間平坦、四周衰減的窗函數(shù).公式如下：

式中：M為子塊大??；N為重疊量.

圖4所示為窗函數(shù).該函數(shù)的中心為平坦區(qū)域，四周快速衰減.由于僅在邊界上有衰減，該窗函數(shù)能完整保留圖像內(nèi)部的大部分區(qū)域.圖5顯示了加入窗函數(shù)后對(duì)局部區(qū)域進(jìn)行傅里葉變換后的頻譜圖.與圖3相比，經(jīng)過(guò)窗函數(shù)預(yù)處理的圖像，變換后邊界效應(yīng)得到了明顯改善.

圖4 窗函數(shù)Fig.4 Window function

圖5 加入窗函數(shù)后局纖維圖部區(qū)域的頻譜圖Fig.5 Spectrogram of local fiber image with the window

2.1.2 子塊的大小及重疊量

在本文方法中，子塊大小及其重疊量對(duì)處理結(jié)果有重要影響.為了保證每根纖維都能被窗函數(shù)的平坦區(qū)域覆蓋，而不會(huì)發(fā)生某一根纖維僅處在窗函數(shù)的衰減帶的情況，子塊重疊量至少等于單根纖維直徑；同時(shí)重疊量也不宜過(guò)大，這樣既增加運(yùn)算時(shí)間又會(huì)因?qū)δ承├w維重復(fù)統(tǒng)計(jì)而影響最終的取向度結(jié)果.因此，本文選擇子塊重疊量為單根纖維直徑.

本文利用不同角度、同周期和不同周期的模擬纖維圖像對(duì)子塊大小進(jìn)行分析.圖6展示了部分模擬圖像.

圖6 相同周期與不同周期的模擬纖維Fig.6 Simulated fiber image

通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，子塊中非重疊區(qū)域必須包含2個(gè)以上的完整的亮條紋才能正確統(tǒng)計(jì)出條紋取向結(jié)果，所以在理想情況下窗口的非重疊區(qū)域須大于2倍纖維直徑.再加上窗口四周的衰減帶，即選取子塊大小M至少應(yīng)為4倍纖維直徑.本文使用的纖維圖是在放大20 000倍的情況下采集到的，單根纖維的直徑約為20個(gè)像素，此時(shí)M應(yīng)為80.

實(shí)際的纖維圖分布不均勻，纖維局部區(qū)域圖及對(duì)應(yīng)的頻譜圖如圖7所示.如果將子塊大小M設(shè)為80，部分子塊中將包含大量背景，如圖7（a）所示，此時(shí)其頻譜圖如圖7（b）所示.觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，子塊中背景占據(jù)面積比較多時(shí)，子塊的頻譜圖中邊界效應(yīng)非常較明顯，這將嚴(yán)重影響最后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.因此在實(shí)際處理時(shí)，需要對(duì)子塊進(jìn)行擴(kuò)展，使窗口中包含更多的纖維以消除背景對(duì)處理結(jié)果的不利影響.實(shí)驗(yàn)中以單根纖維直徑為步長(zhǎng)，逐漸增大子塊大小，并統(tǒng)計(jì)子塊中纖維部分的面積所占子塊總面積的比例σ.圖7列出了部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)σ大于45%時(shí)，子塊頻譜圖中的邊界效應(yīng)可以得到有效改善.對(duì)于放大倍數(shù)為20 000的纖維圖像，子塊大小M=160時(shí)，即可滿足上述要求.在滿足要求的情況下，子塊也不宜過(guò)大，過(guò)大的子塊會(huì)包含更多的纖維，如果其中的纖維取向不一致，會(huì)丟失局部信息，影響最終的統(tǒng)計(jì)結(jié)果.所以本文最終選擇M=160.

圖7 纖維局部區(qū)域圖及對(duì)應(yīng)的頻譜圖Fig.7 Local regions of fiber and corresponding spectrum

2.2 對(duì)頻譜圖的操作

2.2.1 選取頻譜圖的感興趣區(qū)域

對(duì)每個(gè)子塊的頻譜圖進(jìn)行二值化，選取其中的重要頻率所占區(qū)域?yàn)楦信d趣區(qū)域，然后進(jìn)一步對(duì)感興趣區(qū)域內(nèi)的頻譜成分進(jìn)行分析，如圖8所示.圖8中白色區(qū)域?yàn)閳D5頻譜圖所對(duì)應(yīng)的感興趣區(qū)域.

圖8 頻譜圖感興趣區(qū)域Fig.8 Interesting area of spectrogram

2.2.2 感興趣區(qū)域能量累加及纖維取向度確定

把子塊的頻譜由直角坐標(biāo)系下的形式FS（u，v）表示成極坐標(biāo)F（r，Θ）的形式，變換公式為：

式中：r、Θ分別表示頻域圖中某一點(diǎn)在極坐標(biāo)系下的極徑和極角.

然后將頻譜圖F（r，Θ）感興趣區(qū)域中同一極角下的能量相累加，能量最大的極角為子塊頻譜圖的主方向.根據(jù)傅里葉變換的特點(diǎn)可知，頻譜圖中頻率變化方向與時(shí)域圖中圖像變化方向垂直.因此得到每個(gè)子塊的頻譜圖的主方向后，可根據(jù)主方向得到時(shí)域圖中相對(duì)應(yīng)的方向，并據(jù)此統(tǒng)計(jì)出纖維的取向度.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)模擬圖像和實(shí)際采集的纖維圖進(jìn)行實(shí)驗(yàn).首先模擬了不同方向、相同周期和不同周期的纖維圖，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，其中正確的檢測(cè)結(jié)果加粗顯示.

表1 模擬圖的纖維取向分布Tab.1 Orientation distribution of the simulated fiber images

由表1可以看出，F(xiàn)FT實(shí)驗(yàn)值與真值比較誤差較大，在錯(cuò)誤的統(tǒng)計(jì)結(jié)果中90°方向和180°方向的比例比較大，這是由于邊界效應(yīng)導(dǎo)致在頻譜圖中出現(xiàn)了錯(cuò)誤的頻譜成分.而在STFT實(shí)驗(yàn)值中這2個(gè)方向的比例明顯減少，即邊界效應(yīng)明顯改善.實(shí)驗(yàn)表明，本文能準(zhǔn)確地反映出模擬纖維圖中纖維的取向分布.

圖9為使用掃描電鏡采集到的放大倍數(shù)為20 000的纖維圖及其取向分布圖，圖中以5°為區(qū)間對(duì)纖維取向度進(jìn)行了角度合并.

圖9 放大倍數(shù)為20 000的纖維圖及其取向分布Fig.9 Fiber images magnified 20 000 times and their orientation distribution

通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)FT實(shí)驗(yàn)結(jié)果中有很多錯(cuò)誤的頻譜成分，其中90°和180°方向的纖維比例比較大，與實(shí)際情況不符，這說(shuō)明FFT的邊界效應(yīng)比較明顯；而本文方法得到的纖維取向分布圖中90°和180°方向的纖維比例明顯減少，定量結(jié)果表明，使用本文方法得到的測(cè)量結(jié)果與FFT方法的測(cè)量結(jié)果相比較，圖9（a）至圖9（h）的4個(gè)樣本中90°方向纖維的比例分別減少 19%、11%、11%、18%，180°方向纖維的比例分別減少16%、18%、9%、18%.這說(shuō)明本文方法能有效克服傳統(tǒng)FFT方法的邊界效應(yīng)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果更符合真實(shí)的纖維的取向分布.

4 結(jié) 論

由于纖維圖是非平穩(wěn)信號(hào)，本文提出了一種基于短時(shí)傅里葉變換的紡織材料纖維取向度測(cè)量方法.把纖維圖像看作總體非平穩(wěn)、局部平穩(wěn)的信號(hào)，采用中間平坦、四周衰減的窗函數(shù)對(duì)局部平穩(wěn)區(qū)域進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，通過(guò)頻譜分析測(cè)量纖維的取向度.本方法既可以改善頻譜圖的邊界效應(yīng)，也可以避免對(duì)全局圖像直接處理而忽略細(xì)節(jié)的問(wèn)題，從而提高測(cè)量的準(zhǔn)確性.對(duì)4個(gè)樣品的測(cè)試結(jié)果表明，使用本文方法得到的測(cè)量結(jié)果與傳統(tǒng)的FFT方法測(cè)量結(jié)果相比較，90°方向的纖維比例平均減少14.75%，180°方向的纖維比例平均減少15.25%.

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