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      全國(guó)高考江蘇卷理科題的多解及推廣

      2018-03-06 17:26徐達(dá)強(qiáng)劉秋陽(yáng)劉成龍
      理科考試研究·高中 2017年11期
      關(guān)鍵詞:源頭推廣

      徐達(dá)強(qiáng)+劉秋陽(yáng)+劉成龍

      摘要:分析了試題的命題源頭,并從不同的視角給出了試題的8種解法.

      關(guān)鍵詞:源頭;多解;推廣

      案例(2017全國(guó)高考江蘇卷理科12題)如圖1,在同一個(gè)平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tanα=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=.

      一、命題探源

      命題探源指的是探究命題的源頭.命題探源對(duì)認(rèn)識(shí)試題背景有積極作用,它是試題解法研究的起點(diǎn).波利亞在其名著《怎樣解題》中寫(xiě)到“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎?或者你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種稍微不同的形式出現(xiàn)嗎?你知道一道和它相關(guān)的題目嗎?”[1]這正是在提醒我們解題時(shí)要弄清試題的源頭.

      例1(2006年福建卷理科11題)已知OA=1,OB=3,OA·OB=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30o.設(shè)OC=mOA+nOB(m,n∈R),則mn等于().

      A.13B.3C. 33D.3

      例2(2007年陜西卷理科15題) 如圖2,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA,OB,OC, 其中OA與OB與的夾角為120°,OA與OC的夾角為30°,且OA=OB=1,OC=23|,若OC=λOA+μO(píng)B(λ,μ∈R),則λ+μ的值為.

      例3(09年安徽卷理科14題)給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°. 如圖3所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值是.

      向量分解的系數(shù)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),深受命題者的青睞.例1、2、3均呈現(xiàn)的是平面內(nèi)一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量線性表示,求系數(shù)間的關(guān)系.該類問(wèn)題主要涉及向量的分解、數(shù)量積、三點(diǎn)共線的向量表示以及平面幾何等知識(shí),問(wèn)題解答視角寬,能有效展示學(xué)生思維的靈活性和策略的多樣性.不難發(fā)現(xiàn),2017年江蘇卷理科12題(下文簡(jiǎn)稱12題)有以上例題的影子:不管是試題背景、呈現(xiàn)形式、設(shè)問(wèn)方式,還是解答策略都驚人的相似.對(duì)例1、2、3這三個(gè)問(wèn)題的研究有利于找到文中案例的解答思路.

      二、解法研究

      從系統(tǒng)論來(lái)看,一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的系統(tǒng),對(duì)系統(tǒng)的處理(解題)就是把系統(tǒng)中一個(gè)個(gè)零散的信息按照一定順序串在一起形成一個(gè)有機(jī)整體. 一題多解是解法研究的基本形式,體現(xiàn)的是信息組合的多樣性和思維策略靈活性.[2]12題的解答思路很多,如下:

      視角一利用數(shù)量積公式求解

      解法1由題意得:

      OA·OC=m|OA|2+nOB·OA,

      OB·OC=mOA·OB+n|OB|2,

      于是(m+n)(1+OA·OB)

      =OA·OC+OB·OC.

      得(m+n)(1-35)=2×210+2×22.

      所以 m+n=52×65=3.

      視角二利用解析法求解

      解法2如圖4建立坐標(biāo)系,則A(1,0),B(cos(34π-α),sin(34π-α)),

      C(2cosα,2sinα).

      因?yàn)閠anα=7,

      所以sinα=7cosα.

      又因?yàn)?sin2α+cos2α=1 ,

      所以sinα=7210,cosα=210.

      故B(-35,45),C(15,75).

      由OC=mOA+nOB,所以m-35n=1545n=75 .

      即m=54n=74 ,所以m+n=3.

      解法3建立坐標(biāo)系(如圖5),則坐標(biāo)B(-1,0)、C(-1,1).

      設(shè)A(x,y),

      因?yàn)閏osα=OA·OC|OA·OC|=210,

      所以y-x=15x2+y2=1.即x=35y=45 .

      所以A(35,45).

      由OC=mOA+nOB,得m=54n=74 .

      所以m+n=3.

      視角3利用三角函數(shù)法求解

      解法4因?yàn)閠anα=7 ,所以sinα=7cosα .

      因?yàn)閟in2α+cos2α=1,所以sinα=7210cosα=210 .

      又cosα=OA·OC|OA|·|OC|=OA·(mOA+nOB)2

      =m+nOA·OB2=210,

      cos45°=OB·OC|OB|·|OC|=OB·(mOA+nOB)2

      =n+mOA·OB2=22,

      且OA·OB=|OA|·|OB|cos(α+π4)=-35 ,

      所以m=54n=74 ,得m+n=3.

      解法5因?yàn)閠anα=7,∠BOC=45°.

      所以tan∠BOC=1.

      所以tan∠MOD

      =tanπ-(45°+α)

      =-tan(45°+α)=43.

      又sin∠MOD=45且MD=1,

      所以O(shè)M=54,CM=74.

      所以m=54,n=74.

      所以m+n=3.

      視角4利用幾何法求解

      解法6如圖7所示,在RtΔCBD和RtΔCAE中,

      m2=(n-1)2+1n2=(m-15)2+(75)2

      解得m=54,n=74.

      即m+n=3.

      解法7由圖8,得OC=OB+BC=OB+OD.

      設(shè)OD=aOB+bOA,

      則OC=OB+BC=OB+(aOB+bOA).

      又因?yàn)椤螧OD=π2,∠BOC=π4.

      所以∠DOA=α-π4.

      即cos∠DOA=cos(α-π4)=|OD||OA|=1b=45.

      解得b=54.

      同理sin(α-45°)=|AD||OA|=45a=35.

      解得a=34.

      故OC=OB+BC=(1+a)OB+bOA.

      得OC=OB+BC=(1+a)OB+bOA

      =74OB+54OA.

      所以m+n=54+74=3.

      視角5利用等和線求解

      解法8如圖9所示,連接AB,交于OC于D.

      設(shè)xOA+yOB=OD,得x+y=1.

      設(shè)OC=kOD,

      所以O(shè)C=kOD=kxOA+kyOB

      =mOA+nOB.

      所以m+n=k=OCOD.

      在△OAB中,設(shè)∠OAB=θ,于是ODsinθ=OBsin∠ODB .

      因?yàn)閠anα=7,

      所以sinα=7102,cosα=210.

      又因?yàn)棣?+α+2θ=π,

      所以tan2θ=tan(3π4-α)=34.

      解得sinθ=55,cosθ=255.

      所以O(shè)D=sinθsin(θ+α)=23.

      故m+n=k=|OC||OD|=3.

      評(píng)注文中從不同角度給出了8種解法,正所謂“條條大道通羅馬”——殊途同歸.8種解法呈現(xiàn)的是不同的思維策略,展現(xiàn)了達(dá)成目標(biāo)路徑的多樣性.前7種解法都比較常規(guī),第8種解法給出了此類問(wèn)題的本質(zhì),值得重視.

      三、推廣

      設(shè)OA,OB,OC的模分別為a,b,c,OA與OC的夾角為α,OB與OC的夾角為β,(α,β∈(0,π2)),且tanα=λ,若OC=mOA+nOB.則m+n=.

      利用解法8可以得到推廣中m+n的值,過(guò)程略.

      參考文獻(xiàn):

      [1] 波利亞.怎樣解題[M].上海:上海科技教育出版社,2007.

      [2] 鄭云升,向婉詩(shī),劉成龍.《怎樣解題表》指導(dǎo)下的解題實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2012(2):48-51.endprint

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