常見(jiàn)均勻剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

楊小云

摘 要：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體力學(xué)中的一個(gè)重要物理量，在許多大學(xué)物理教材中，對(duì)一些常見(jiàn)均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只給出了結(jié)論，沒(méi)有給出計(jì)算過(guò)程。本文根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義計(jì)算出一些常見(jiàn)的幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，得出了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與一些因素有關(guān)。期望這些內(nèi)容能對(duì)大學(xué)物理教學(xué)和學(xué)生的深入理解提供幫助。

關(guān)鍵詞：均勻剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 轉(zhuǎn)軸

中圖分類號(hào)：P159.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2018）10（b）-0184-02

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體力學(xué)中一個(gè)較為重要的物理量，它描述了剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性的大小。它和物體做平動(dòng)時(shí)的質(zhì)量m地位相當(dāng)，其定義式可由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和動(dòng)量矩推導(dǎo)出來(lái)[1]。幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義為。常見(jiàn)的均勻剛體有圓柱、圓環(huán)、圓盤(pán)、細(xì)棒、球體等，教科書(shū)雖給出部分均勻剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，但沒(méi)給出計(jì)算過(guò)程，本文將根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義計(jì)算出這些常見(jiàn)均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1 空心圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

如圖1所示為質(zhì)量m的空心圓柱體，在半徑r（R1

因空心圓柱體是均勻的，ρ為恒量，因此

，又因?yàn)閳A柱體的質(zhì)量

為，所以可得：。

當(dāng)R1=R2時(shí)，得薄壁圓筒（如圖2）對(duì)通過(guò)中心的幾何軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=mR2。

當(dāng)R1=0時(shí)，得實(shí)心圓柱體（如圖3）對(duì)通過(guò)中心的幾何

軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。

根據(jù)實(shí)心圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的結(jié)論，將實(shí)心球在與z軸垂直的方向上切成半徑為r，厚度為dz的薄片，實(shí)心球密度為ρ，則該薄片質(zhì)量為，實(shí)心球的質(zhì)量為

。根據(jù)幾何關(guān)系，即可知可知實(shí)心

球?qū)νㄟ^(guò)球體直徑z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[4]：

根據(jù)實(shí)心球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的結(jié)論，設(shè)空心球的內(nèi)徑為R1，外徑為R2。同密度的實(shí)心球，若以R1為半徑，則質(zhì)量為

M1；若以R2為半徑，則質(zhì)量為M2，由m2-m1=m

公式（3）中若R1=R2時(shí)，得球殼對(duì)通過(guò)球心的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

2 環(huán)形圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

如圖4所示質(zhì)量為m的環(huán)形，在半徑r（R1

由于環(huán)形圓盤(pán)是均勻的，σ為恒量，因此；

將環(huán)形圓盤(pán)的質(zhì)量代入（5）可得環(huán)形圓盤(pán)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

當(dāng)R1=0時(shí)，得圓盤(pán)對(duì)通過(guò)中心且與盤(pán)面垂直的z軸的轉(zhuǎn)

動(dòng)慣量為。

當(dāng)R1=R2時(shí)，得圓環(huán)對(duì)通過(guò)中心且與圓環(huán)垂直的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=mR2。

3 細(xì)棒和長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

如圖5所示質(zhì)量為m的細(xì)，在棒內(nèi)距z軸為x處，取長(zhǎng)為dx，橫截面積為S的質(zhì)元，設(shè)棒的密度為ρ，則該質(zhì)元的質(zhì)量為，所以細(xì)棒A對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

。由于細(xì)棒是均勻的，ρ為恒量，

因此，若細(xì)棒A的質(zhì)量為m=ρlS，則細(xì)棒對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

如圖6所示質(zhì)量為m的長(zhǎng)方體，沿轉(zhuǎn)軸z方向取一長(zhǎng)為dy，寬為dx，高為 的細(xì)長(zhǎng)方體，因細(xì)長(zhǎng)方體橫截面非常小，因此橫截面上任意一處可看成一個(gè)坐標(biāo)為（x，y，z）的點(diǎn)。設(shè)長(zhǎng)方體的密度為ρ，則該細(xì)長(zhǎng)方體的質(zhì)量為。又因細(xì)長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為則細(xì)長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，整個(gè)長(zhǎng)方體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

3 結(jié)語(yǔ)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是大學(xué)物理中關(guān)于剛體力學(xué)的一個(gè)重要的物理量，而關(guān)于常見(jiàn)均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算也是大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)之一。本文利用微元法計(jì)算了空心圓柱體和環(huán)形圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并通過(guò)討論推廣得到了薄壁圓筒、實(shí)心圓柱體、實(shí)心球、空心球、球殼、圓盤(pán)、圓環(huán)相對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

參考文獻(xiàn)

[1] 韓眾.幾種形狀規(guī)則剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，30（4）：25-27.

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[3] 馬文蔚.物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] 張金鋒，劉建軍，公丕鋒.基于均質(zhì)球?qū)ΨQ剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016（1）：84-85.