跨越學科的邊界，從數(shù)學教學走向數(shù)學教育
——以“平均數(shù)的再認識”教學為例

◇李京華

課堂教學應(yīng)通過真實的問題情境，鼓勵學生在現(xiàn)實挑戰(zhàn)中發(fā)現(xiàn)知識、學習知識、運用知識，建立新舊知識之間的必然聯(lián)系。而知識的綜合逐漸成為世界科技發(fā)展的主導趨勢，綜合交叉學科已經(jīng)成了創(chuàng)新的重要來源。通過跨學科、跨領(lǐng)域的方式，構(gòu)建以解決現(xiàn)實問題為目的的多學科整合學習，彌合分科教學對學生認識知識的割裂，讓教育回歸自然，讓深度學習自然發(fā)生。

一、重構(gòu)單元教學內(nèi)容，著重培育學生的公民意識

“平均數(shù)的再認識”一課是北師大版教材五年級下冊“統(tǒng)計與概率”部分的內(nèi)容。教材中本節(jié)課分兩大塊內(nèi)容：一是通過討論1.2米免票線的合理性，體會平均數(shù)的代表性；二是通過歌唱比賽打分的情境，讓學生體悟有時去掉極值再求平均數(shù)，能更好地代表一組數(shù)據(jù)的平均水平。免票線的情境是現(xiàn)實存在的社會現(xiàn)象，蘊含著豐富的育人功能，能夠激發(fā)學生的社會參與意識，培養(yǎng)學生的責任感與擔當意識，這在數(shù)學學習中非常難得！作為一名教育工作者，我們要充分利用教材提供的好情境，盡可能發(fā)揮它的教育意義。通過五年的學習，學生已經(jīng)經(jīng)歷了大量的統(tǒng)計活動，積累了豐富的收集、整理、表示數(shù)據(jù)的經(jīng)驗及初步分析數(shù)據(jù)的經(jīng)驗。對平均數(shù)的再認識，本課是基于對“身高不足1.2米的兒童免費乘車”這一規(guī)定的由來及解釋其合理性展開學習的。那么，學生是否愿意討論此問題呢？我對五年級27名學生進行了調(diào)查。

1.你知道在北京身高多少以下的兒童可以免票乘坐公交、地鐵嗎？

A.不知道 B.知道，身高（ ）以下的兒童可以免票乘坐公交、地鐵

2.你知道我國身高多少以下的兒童可以免票乘坐火車嗎？

A.不知道 B.知道，身高（ ）以下的兒童可以免票乘坐火車

3.你想了解有關(guān)免票線的事情嗎？簡單寫寫理由。

調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下：

表1 “北京公交、地鐵免票線”調(diào)查統(tǒng)計表

表2 “全國火車免票線”調(diào)查統(tǒng)計表

由上面的數(shù)據(jù)我們可以看出，學生對免票線這一社會事件并不了解，北京公交、地鐵免票線是1.3米，正確率只有7.4%；全國火車免票線1.2米，正確率也只有40.7%。而對是否想了解關(guān)于免票線的事情，學生的回答更加出乎我們的意料：

表3 “是否想了解有關(guān)免票線的事情”調(diào)查統(tǒng)計表

面對一個自己剛剛經(jīng)歷過的社會事件，學生了解的正確率如此之低，近一半的學生卻選擇并不想了解這些事情了，因為已經(jīng)與其無關(guān)。面對學生的回答，我的內(nèi)心受到了極大的觸動！中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)是以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心的，而一個全面發(fā)展的人，他的社會參與和自主發(fā)展、文化底蘊是同等重要的！我們的數(shù)學課，不能僅僅定位在讓學生會去掉最高分和最低分再算平均數(shù)，我們有義務(wù)、有責任讓學生意識到自己的責任擔當！那么“1.2米免票線是否合理”這一問題，就自然融合了品德與社會的內(nèi)容。依據(jù)對教材以及學生的分析和思考，我們重新構(gòu)建了“平均數(shù)的再認識”單元教學，結(jié)構(gòu)如下：

第一課時由思想品德老師和數(shù)學老師聯(lián)合教學，激發(fā)學生的責任擔當，確定解決“1.2米免票線是否合理”這一問題的流程，討論收集數(shù)據(jù)的方法，布置收集數(shù)據(jù)的作業(yè)。

第二課時由數(shù)學老師教學，引導學生共同分析數(shù)據(jù)，做出決策。當然，課上我們討論的是分析方法。由于數(shù)據(jù)的局限性，并不能真正得到結(jié)論，還需要擴大樣本繼續(xù)研究。因為這次的樣本應(yīng)該是全國范圍內(nèi)的，需要老師、同學甚至家長協(xié)同完成。

第三課時由語文、數(shù)學和思想品德老師聯(lián)合教學，借助數(shù)學上的分析結(jié)果，運用適當?shù)谋磉_方式撰寫提案，提交有關(guān)部門。

二、應(yīng)用知識解決問題，培養(yǎng)學生的科學精神

“平均數(shù)的再認識”一課承載著培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念的功能。面對“1.2米免票線是否合理”這一問題情境，學生需要經(jīng)歷調(diào)查、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、做出決策的全過程。

在解決“1.2米免票線是否合理”這一問題的過程中，學生調(diào)查研究的意識，對數(shù)據(jù)來源、處理、結(jié)果進行合理質(zhì)疑的意識，尊重事實的態(tài)度，及用數(shù)據(jù)說話的習慣都能得到很好的體現(xiàn)，這勢必會催生學生實事求是的科學精神。

師：大家都調(diào)查了嗎？誰來說說你是怎么調(diào)查的？調(diào)查了幾個數(shù)據(jù)？

生：我調(diào)查了4個人，我是問的方式，我問了一些7歲的小學生。

師：我們要調(diào)查幾歲的？

生：6歲的，但是差不多，我調(diào)查的身高是1.27米。

師：他說了一個詞“差不多”，大家怎么看？

生：我覺得如果只是差不多的話，數(shù)據(jù)會不準確，不能作為證據(jù)，不適合做一個給國家的提案。

師：應(yīng)該要什么樣的數(shù)據(jù)呢？

生：準確的。

生：真實的。

教師小結(jié)：對，我們要真實準確的數(shù)據(jù)，沒有了這個前提，我們的提案就沒有意義了。如果你缺少數(shù)據(jù)的話，老師也調(diào)查了一些，一會兒可以提供給你。

師：想一想這個1.2米的免票線到底合不合理？

生：合理。

生：不合理。

師：說說你的想法和需求？

生：數(shù)據(jù)還太少。

師：僅僅是數(shù)據(jù)太少嗎？還有沒有別的想法？

生：我認為這些都是北京地區(qū)的，有些地區(qū)人比較高，有些地區(qū)人比較矮。

師：是啊，調(diào)查數(shù)據(jù)時還要考慮區(qū)域。

師：根據(jù)目前的數(shù)據(jù)你能做提案了嗎？

生：不能，需要擴大調(diào)查范圍，重新調(diào)查，再做分析。

三、明晰概念的本質(zhì)，提升數(shù)學素養(yǎng)

1.了解同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法。

師：請大家仔細觀察自己收集上來的這些數(shù)據(jù)，是否能解決1.2米免票線合理不合理的問題，說說你的想法。

生1：我調(diào)查的是6歲兒童的身高，可以求出平均數(shù)看合不合適。

生2∶我調(diào)查的身高可能比較湊巧,數(shù)據(jù)都很高,全都超了,一看這些數(shù)據(jù)就覺得1.2米免票線不太合理,最矮的是1.28米。

生3∶我調(diào)查了10個人,其中6個人可以享受這個免票待遇,按比例就是6∶4,所以我覺得1.2米免票線還是合理的。

生4：我想選一個范圍，到街上調(diào)查一些行人，問問1.2米免票線是否合理，然后做出判斷。

生5：可以像比賽那樣，評分時幾個評委一起打分，去掉一個最高分和一個最低分，剩下的再求平均數(shù)。

師：面對這么多的方法，你有什么想法？還有什么問題？四人小組討論討論。

組1：我覺得生5的方法比較可行，因為最低的和最高的差太多了，應(yīng)該去掉最低和最高的再求平均值。

師：為什么想到去掉最高的和最低的呢？

組1：如果不去掉最低的和最高的身高，這個身高可能到另一個年齡段了。

師：你認為它（極端數(shù)據(jù)）對平均數(shù)產(chǎn)生了干擾。

生1：我想對他們的結(jié)論進行反駁，全北京的兒童有這么多，你怎么知道你去掉的是最高的身高呢？可能有極端的1.35米和1.34米，你把1.35米去掉有什么意義呢？

生1：我覺得數(shù)一數(shù)誰最多比較好，大部分人都超過了1.3米就要改，大部分人都沒超過就不用改了。

生2：我想給他一點補充，他這樣想應(yīng)該是將這個免票線設(shè)在最普遍的群體上。

師：你覺得這個免票線應(yīng)該代表大多數(shù)人。

生3：我覺得每個人的數(shù)據(jù)在一定程度上都是不太準確的，如果你找到的都是一點三幾米的數(shù)據(jù)，你是不能這么武斷地說1.2米的免票線是不合理的。也有可能你找了好多是那種特別矮的，超過1.2米的人非常少，也不能說1.2米是合理的。

師：簡單說一下你的觀點。

生3：我覺得應(yīng)該取平均數(shù)，而且要取多數(shù)人的平均數(shù)，數(shù)據(jù)要盡量的多，這樣才能保證越接近實際情況。

2.在運用平均數(shù)解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)很靈敏。

在數(shù)據(jù)較少時，平均數(shù)受極端數(shù)據(jù)影響較大。在對極端數(shù)據(jù)處理方法討論的過程中，學生逐步意識到當數(shù)據(jù)足夠多時，極值對平均數(shù)的影響就不那么明顯了，加深了學生對平均數(shù)的再認識。

師：在剛才的討論中，大多數(shù)同學選擇了平均數(shù)。接下來就按你們說的，擴大點兒數(shù)據(jù)，兩人一組，借助平板電腦算一算收集到的6歲兒童的平均身高。思考：平均數(shù)是否能代表你們組身高數(shù)據(jù)的整體水平，幫我們做出判斷？

生：我把我們得到的數(shù)據(jù)輸入平板電腦，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)是121.6厘米，比120厘米大，我們還發(fā)現(xiàn)大部分數(shù)據(jù)都大于120厘米，所以我們認為120厘米的免票線不合理。

師：看了他們的這組數(shù)據(jù)，你們有什么問題嗎？

生：我覺得138厘米這個數(shù)據(jù)不太合理，好像太高了。（如圖1）

生：我覺得也有可能有138厘米身高的，比較特殊罷了。

圖1

師：那么，121.6厘米能不能代表這一組數(shù)據(jù)的總體水平呢？

生：我還是建議去掉138厘米再算平均數(shù)，因為138厘米太高了。

師：去掉這個極端數(shù)據(jù)，再算一下平均數(shù)。

生：平均數(shù)變成120.429厘米了。

師：讓我們動態(tài)看一下去掉138厘米前后的變化，思考該不該去掉呢？

生：我覺得應(yīng)該去掉，去掉后平均數(shù)依然大于1.2米，所以我認為免票線不合理。

生：我覺得去不去掉都可以，因為多數(shù)人還是高于1.2米。

師：有人認為應(yīng)該去掉，有人不認同，這個問題我們暫時存在這里。

師：還有哪組愿意說一些你們的數(shù)據(jù)？

生：我們合起來的數(shù)據(jù)共有30個，平均身高是114.821厘米，不超過1.2米，在這30個數(shù)據(jù)中，只有三四個超過了1.2米，我覺得1.2米免票線是比較合理的。

生：我們組調(diào)查的人的平均身高是123厘米，只有4個人的身高沒有超過1.2米，其他都超過了。（如圖2）

圖2

師∶大家觀察一下這組平均數(shù)在發(fā)生變化，有什么變化呢？（如圖3）

圖3

生：我發(fā)現(xiàn)不管加不加后邊的數(shù)據(jù)，平均數(shù)都在1.2米旁邊游蕩，低于1.2米的很少，一般都比1.2米高一點。

師：你的意思是當數(shù)據(jù)足夠多時平均數(shù)就在一個數(shù)值左右徘徊，趨于穩(wěn)定，就能夠代表大多數(shù)人的身高水平。跟我們最開始的初衷是否一致？

生：我覺得并不是因為他們的身高都在1.2米左右，而是因為加上的數(shù)越來越多時，平均數(shù)的變化就比較小了，數(shù)多了比較可靠。

師：現(xiàn)在我把這些數(shù)據(jù)一個一個刪除，再按回車鍵看一下平均數(shù)動態(tài)的變化過程。思考：這個平均數(shù)敏感嗎？穩(wěn)定嗎？

生：它穩(wěn)定保持在一個階段，擺動不是特別大，敏感的是只要加一個數(shù)它就會變化，就算是很小很小的數(shù)，它也會變化。

師：說明每個數(shù)都有它的意義、價值和影響。師：在什么情況下穩(wěn)定呢？

生：在人多時。

師：當數(shù)據(jù)多了，它就穩(wěn)定在一個值的左右，就能代表這組數(shù)據(jù)的平均水平了。

師：我們再看之前的138厘米，要不要去掉呢？

生：不能去掉，因為剛才討論過了，每個數(shù)都有它的意義。

生：當數(shù)據(jù)足夠多時影響就小了，就不用去掉了。

總之，“平均數(shù)的再認識”這節(jié)課，始終圍繞著“1.2米免票線是否合理”這一現(xiàn)實問題展開討論，在解決這個問題的過程中，學生自然而然地想到要調(diào)查、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、做出決策，從而解決問題。在解決問題的過程中，鼓勵學生親近數(shù)據(jù)，愿意用數(shù)據(jù)說話，能從數(shù)據(jù)中提取一些信息，而在用數(shù)據(jù)的過程中，自然想到平均數(shù)，在對極端數(shù)據(jù)處理方法的討論中，深入理解平均數(shù)的代表性，感受平均數(shù)的價值，數(shù)據(jù)分析觀念和應(yīng)用意識自然而然地融入學生的思維中，落實了對數(shù)據(jù)分析觀念及應(yīng)用意識的培養(yǎng)。