應(yīng)承偉，李水清，王文華，金立軍*

(1.同濟(jì)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，上海 201804；2.上海正泰電氣有限公司，上海 201614；3.浙江省電力公司 嘉興供電公司，浙江 嘉興 314000)

0 引 言

空心電抗器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、散熱快且安全可靠，常應(yīng)用于軌道交通車輛上，一般懸掛于車廂底部。在列車行進(jìn)時(shí)空心電抗器會(huì)受到電磁力和溫度差異以及列車隨機(jī)載荷的影響而發(fā)生振動(dòng)，故有必要對(duì)其進(jìn)行振動(dòng)分析以確保其不會(huì)處于共振狀態(tài)而影響壽命甚至損壞。

通常對(duì)于列車上設(shè)備的振動(dòng)分析描述參數(shù)是固有頻率(特征值)和對(duì)應(yīng)的振型(特征矢量)，當(dāng)載荷的頻率與設(shè)備固有頻率相接近、載荷方向與振型相一致時(shí)，會(huì)引起設(shè)備大的振動(dòng)，甚至共振，最終導(dǎo)致設(shè)備的損壞。因此對(duì)于設(shè)備固有頻率及相關(guān)振型的研究有著非常重要的現(xiàn)實(shí)意義，二者共同構(gòu)成了描述振動(dòng)件的模態(tài)[1]。文獻(xiàn)[2]結(jié)合二維磁場(chǎng)和機(jī)電耦合系統(tǒng)的Lagrange方程建立了變壓器繞組軸向機(jī)電耦合的動(dòng)力學(xué)模型，得到變壓器繞組耦合振動(dòng)方程。文獻(xiàn)[3]通過(guò)基于“磁-機(jī)械”耦合場(chǎng)理論仿真分析，得到了變壓器繞組在電磁力激勵(lì)下正常與松動(dòng)狀態(tài)下的振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[4]研究了軸向安培力對(duì)于變壓器繞組固有頻率的影響，并分析了由振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)成分。目前大部分研究都是針對(duì)常見變壓器設(shè)備以及其繞組故障診斷方面的分析，很少有對(duì)列車上電氣設(shè)備進(jìn)行振動(dòng)特性研究分析。

本文對(duì)空心電抗器進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)特性分析。

1 車載空心電抗器隨機(jī)振動(dòng)特性

現(xiàn)實(shí)中列車運(yùn)行時(shí)所受到的載荷是不確定的，懸掛于車廂底部的空心電抗器受到的振動(dòng)載荷也是不斷變換的[5]。由于時(shí)間歷程的不確定性，需要從概率統(tǒng)計(jì)學(xué)角度出發(fā)，將時(shí)間歷程的統(tǒng)計(jì)樣本轉(zhuǎn)變?yōu)楣β首V密度(power spectral density，PSD)函數(shù)。在功率譜密度函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析，得到響應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)值。設(shè)空心電抗器載荷歷程為F(t)，則其功率譜密度函數(shù)為：

(1)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]可得該空心電抗器的PSD頻譜如圖1所示。

圖1 3個(gè)方向的PSD頻譜

圖1中垂向、橫向和縱向在5 Hz～20 Hz的PSD值分別為0.029 8、0.006、0.014 4，在20 Hz～150 Hz均以-6 db/oct的斜率下降。

在進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析之前先要對(duì)空心電抗器進(jìn)行模態(tài)分析，以得到其結(jié)構(gòu)的固有頻率。為此需要建立空心電抗器的有限元模型進(jìn)行分析。

由于空心電抗器的結(jié)構(gòu)不含阻尼機(jī)制，其阻尼比小于10%，阻尼對(duì)其結(jié)構(gòu)的固有頻率影響很小，可進(jìn)行不考慮阻尼的實(shí)模態(tài)分析[7]。空心電抗器是一個(gè)復(fù)雜多自由度機(jī)械系統(tǒng)，其無(wú)阻尼模態(tài)分析的運(yùn)動(dòng)方程為[8]：

[M]{x″}+[K]{x}={0}

(2)

式中：M—模型單元質(zhì)量矩陣；K—模型單元?jiǎng)偠染仃?；x—模型節(jié)點(diǎn)位移矢量；x″—模型節(jié)點(diǎn)加速度矢量。

模型的自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即：

x=xmsin(ωt)

(3)

代入式(2)得：

([K]-ω2[M]){x}={0}

(4)

其中，經(jīng)典的特征值問(wèn)題，其特征值ωi對(duì)應(yīng)的特征向量{x}i為自振頻率f=ωi/2π對(duì)應(yīng)的振型。

本文以實(shí)體空心電抗器為研究對(duì)象建立了其三維有限元模型，并對(duì)其進(jìn)行了精細(xì)的網(wǎng)格剖分，空心電抗器的有限元模型如圖2所示。

圖2 空心電抗器的有限元模型

本研究根據(jù)公式(4)對(duì)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析計(jì)算可得空心電抗器的前6階模態(tài)頻率以及對(duì)應(yīng)的振型，結(jié)果如表1所示。

表1 空心電抗器的前6階模態(tài)

本研究在模態(tài)分析基礎(chǔ)上再進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析得到PSD響應(yīng)結(jié)果，其中垂直方向的響應(yīng)出現(xiàn)明顯的極值，垂向PSD響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 垂向PSD響應(yīng)曲線

從圖3可以看出：垂直方向的PSD位移響應(yīng)會(huì)在67.63 Hz、76.357 Hz、111.95 Hz和115.35 Hz頻率處出現(xiàn)極值，即在這幾處頻率空心電抗器會(huì)發(fā)生共振，最大響應(yīng)值為9.8×10-21m2/Hz。

2 空心電抗器載流時(shí)電磁力和熱應(yīng)力

運(yùn)行中的空心電抗器在結(jié)構(gòu)上除了受到電磁力的影響外，還會(huì)受到熱應(yīng)力的影響。兩者對(duì)空心電抗器的結(jié)構(gòu)影響不可忽視[9]。

首先本研究在電磁場(chǎng)中計(jì)算繞組所受電磁力和繞組損耗。對(duì)繞組施加電流作為激勵(lì)，整個(gè)電抗器施加磁力線平行邊界條件，其余為自然邊界條件?？招碾娍蛊骼@組受到的電磁力Fd為其有限元分析模型中任一單元的電磁力[10]，即：

(5)

(6)

繞組中單元體積的焦耳熱有：

(7)

式中：Qe—單元體積的焦耳熱；α—電阻率矩陣；Jk—單元積分點(diǎn)k的電流密度。

根據(jù)式(6～7)進(jìn)行電磁場(chǎng)有限元計(jì)算，即可得繞組所受電磁力Fd和繞組損耗Q。

將繞組損耗作為熱載荷導(dǎo)入溫度場(chǎng)中，由熱傳導(dǎo)方程和邊界條件可求出溫度分布[11]。對(duì)于三維物體，其內(nèi)部的熱傳導(dǎo)方程為：

(8)

式中：Te—該單元溫度；λx，λy，λz—單元x、y、z方向的導(dǎo)熱系數(shù)；ρ—該單元的密度；c—單元比熱容；t—時(shí)間，邊界條件T(0)=Ts，初始溫度為Ts。

由公式(8)進(jìn)行溫度場(chǎng)有限元計(jì)算可求解出空心電抗器溫度分布，將溫度分布和電磁力代入機(jī)械場(chǎng)，對(duì)電抗器頂部安裝孔施加位移全約束邊界條件，根據(jù)熱彈性力學(xué)方程即可求出形變和應(yīng)力[12]。計(jì)算方程為：

(9)

(10)

式中：ε—單元應(yīng)變；E—單元材料的彈性模量；σ—單元應(yīng)力；β—線熱脹系數(shù)。

基于上述計(jì)算公式對(duì)圖2所示的模型進(jìn)行有限元計(jì)算可得空心電抗器受電磁力和溫度影響的形變分布，其云圖如圖4所示。

圖4 空心電抗器載流時(shí)形變分布云圖

由圖4看出：空心電抗器運(yùn)行時(shí)各部分存在一定溫度差異，而在電磁力和熱應(yīng)力的影響下空心電抗器各部分出現(xiàn)大小不一的形變。

3 多物理場(chǎng)耦合空心電抗器振動(dòng)特性分析

相比于第2部分的隨機(jī)振動(dòng)分析，這部分將引入空心電抗器運(yùn)行時(shí)受到的電磁力和熱應(yīng)力影響因素，使振動(dòng)特性分析更符合實(shí)際情況。無(wú)論是電磁力還是熱應(yīng)力都會(huì)影響到結(jié)構(gòu)的剛度，進(jìn)而影響到模態(tài)分析的結(jié)果[13]。式(2)的剛度矩陣K滿足：

(11)

式中：Ke—單元?jiǎng)偠染仃?；D—單元材料特性矩陣；B—單元應(yīng)變矩陣。

多物理場(chǎng)耦合迭代計(jì)算過(guò)程如圖5所示。

圖5 多物理場(chǎng)耦合迭代計(jì)算流程

在所建立的變壓器有限元模型中，電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)和機(jī)械場(chǎng)計(jì)算所用的三維有限元模型完全相同，且具有相同的幾何結(jié)構(gòu)與節(jié)點(diǎn)編號(hào)，采用順序耦合法進(jìn)行計(jì)算，即前一個(gè)場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果作為激勵(lì)施加至后一個(gè)場(chǎng)的計(jì)算中，進(jìn)而輸出計(jì)算結(jié)果，實(shí)現(xiàn)多物理場(chǎng)的耦合迭代[14]。

最后本研究在機(jī)械場(chǎng)中進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析，得到的模態(tài)分析結(jié)果如表2所示。

表2 改進(jìn)后空心電抗器的前6階模態(tài)

可以看到：前6階的模態(tài)頻率發(fā)生了改變，這也影響到了其共振頻率的改變。

隨機(jī)振動(dòng)分析的結(jié)果如圖6所示。

圖6 改進(jìn)后垂向的PSD響應(yīng)曲線

同樣地共振點(diǎn)發(fā)生了改變，出現(xiàn)在了68.356 Hz、80.791 Hz、111.93 Hz和118.95 Hz處，說(shuō)明空心電抗器在工作狀態(tài)和非工作狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)特性不同，導(dǎo)致共振頻率也不一樣，相應(yīng)的最大響應(yīng)值增大到4.2×10-19m2/Hz。

在實(shí)際設(shè)計(jì)空心電抗器過(guò)程中，考慮電磁力和溫升的影響，通過(guò)采用機(jī)械強(qiáng)度更好的材料，例如Q345型號(hào)的材料，能夠承受較大應(yīng)力和形變，以及通過(guò)改變其結(jié)構(gòu)，像減小電抗器高度等措施，可改變其固有頻率避免和列車發(fā)生共振。同樣地，一臺(tái)三相電抗器樣品在進(jìn)行相關(guān)振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)發(fā)生結(jié)構(gòu)上的破壞，通過(guò)考慮電磁力和熱應(yīng)力的因素對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了相應(yīng)的改造，使其散熱更好并且受到的電磁力更小，改進(jìn)后的電抗器可以成功地通過(guò)振動(dòng)試驗(yàn)，說(shuō)明考慮了電磁力和熱應(yīng)力的分析計(jì)算結(jié)果更貼合實(shí)際結(jié)果。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于多物理場(chǎng)耦合計(jì)算，本文對(duì)空心電抗器進(jìn)行了振動(dòng)特性分析，結(jié)果表明：

(1)不考慮電磁力和熱應(yīng)力的車載空心電抗器隨機(jī)振動(dòng)分析只探討了列車運(yùn)行時(shí)的隨機(jī)載荷對(duì)空心電抗器的影響，在67.63 Hz、76.357 Hz、111.95 Hz和115.35 Hz這幾處頻率空心電抗器會(huì)發(fā)生共振，最大響應(yīng)值為9.8×10-21m2/Hz；

(2)在考慮了電磁力和熱應(yīng)力后，振動(dòng)分析更符合空心電抗器實(shí)際運(yùn)行情況。電磁力和熱應(yīng)力明顯地影響了空心電抗器結(jié)構(gòu)特性，其共振頻率因此也改變?yōu)?8.356 Hz、80.791 Hz、111.93 Hz和118.95 Hz，最大響應(yīng)值也增大到4.2×10-19m2/Hz，即共振幅值變大，更可能引起空心電抗器結(jié)構(gòu)損壞以及繞組變形進(jìn)而引發(fā)其電氣故障，可知在空心電抗器更應(yīng)避免該分析下的共振點(diǎn)。

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