任紅軍

(遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院, 鞍山 114051)

引言

滾動軸承的剛度分析是進(jìn)行軸承設(shè)計與優(yōu)化的基礎(chǔ),對于分析滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性具有重要意義,主要涉及滾動體與滾道間的彈性接觸問題和軸承整體變形與平衡問題.面向工程設(shè)計需求,如何方便有效地確定軸承剛度十分重要.

Stribeck[1]首先通過大量試驗對鋼球及滾道的彈、塑性接觸問題進(jìn)行了研究,確定球軸承的許用接觸載荷,給出了球軸承在徑向外載荷作用下滾動體最大接觸載荷的經(jīng)驗計算公式.Sjovall[2]和Lundberg[3]進(jìn)行了徑向、軸向載荷以及彎矩載荷的滾動軸承滾動體變形與載荷分布規(guī)律研究,給出了滾動軸承在聯(lián)合載荷作用下的套圈位移及載荷分布的計算方法.此外,目前有限元方法廣泛應(yīng)用于滾動軸承剛度分析中,包括計算軸承剛度[4]、接觸應(yīng)力[5,6]、變形[7],有限元模型中可以考慮軸承、軸以及軸承支承結(jié)構(gòu)[8,9].采用有限元法對軸承組件整體分析,存在節(jié)點數(shù)量與計算精度的矛盾,一般情況下計算量大且費時.對于高速運行下的滾動體等零件慣性力影響,其計算精度更不能滿足.

Jones[10]假定滾動體與滾道之間的切向接觸問題符合Coulomb摩擦定律,并采用滾道控制理論作為滾動體的運動邊界條件.Jedrzejewski和Kwasny[11]考慮滾動體離心力、陀螺力矩對接觸角影響,建立角接觸球軸承力學(xué)模型,分析了離心力和陀螺力矩效應(yīng)對軸承剛度及變形的影響.Noel等[12]在Jones模型基礎(chǔ)上提出五自由度角接觸球軸承剛度矩陣計算方法.Yi等[13]研究不同軸向預(yù)緊力、轉(zhuǎn)速條件下角接觸球軸承剛度,并通過試驗測量內(nèi)圈、外圈的位移驗證模型準(zhǔn)確性.趙春江等[14]研究高速條件下角接觸球軸承鋼球的陀螺力矩和外部負(fù)載以及摩擦系數(shù)的關(guān)系.

本文基于Hertz接觸理論,系統(tǒng)給出了滾動軸承力學(xué)模型的建立方法,獲得滾動軸承五自由度剛度模型的解析表達(dá)式,為滾動軸承的動力學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計奠定基礎(chǔ).

1 滾動軸承的力學(xué)分析

滾動軸承的力學(xué)模型如圖1所示,在該模型中,不計軸承的質(zhì)量,軸承座及其基礎(chǔ)視為剛性,軸承外圈全約束固定,內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸過盈配合.建立固定坐標(biāo)系為OXYZ,其坐標(biāo)原點O為固定點,位于滾動軸承外圈中心點處,X為軸向坐標(biāo),Y、Z為徑向坐標(biāo).作用在滾動軸承上的外載荷和相應(yīng)的滾動軸承的彈性變形分別為:

圖1 滾動軸承簡化力學(xué)模型示意圖Fig.1 Simplified mechanical model of rolling bearing

假設(shè)滾動軸承共有m個滾動體(在這里指滾珠個數(shù)).每個滾珠與內(nèi)外圈接觸并相互作用,存在力平衡關(guān)系.其力學(xué)模型如圖2所示.

圖2 單個滾珠受力學(xué)模型圖Fig.2 Mechanical model of one ball

設(shè)滾珠與內(nèi)外圈的接觸滿足Hertz接觸應(yīng)力理論,第j個滾珠對軸承內(nèi)圈沿法線方向的接觸力Qj與其變形δj之間的關(guān)系為：

(1)

其中,Kn為滾珠與內(nèi)外圈之間總的載荷-變形系數(shù)(單位N/mn),n是接觸指數(shù),對于滾珠軸承可以設(shè)為n=1.5.

圖3 滾珠與內(nèi)外圈的相對變形示意圖Fig.3 Relative deformation of inner and outer raceway and ball

δxj=δx+Rj(φysinφj-φzcosφj)

(2)

δrj=δycosφj+δzsinφj

(3)

其中,Rj為內(nèi)滾道溝曲率中心軌跡半徑,φj為第j個滾珠的位置角.

圖4 第j個滾珠與內(nèi)外圈的相對變形示意圖Fig.4 Inner and outer raceway andjth ball deformation

式(1)中的滾珠與內(nèi)外圈之間總載荷-變形系數(shù)Kn,是由內(nèi)圈和外圈的載荷-變形系數(shù)Ki、Ko綜合求得,即：

(4)

其中,滾珠內(nèi)圈和外圈的載荷-變形系數(shù)Ki、Ko的計算式為

(5)

這樣,在得到式(1)中的一個滾珠與內(nèi)外圈之間的載荷-變形系數(shù)Kn和接觸變形量δj后,即可得到其彈性接觸作用力Qj.

2 滾動軸承剛度矩陣的推導(dǎo)

滾動軸承的整體載荷-位移關(guān)系具有如下關(guān)系.即將上面得到的任意位置角φj處的任一滾珠j的彈性接觸作用力Qj按軸承總體5個自由度方向進(jìn)行分解,得:

Fxj=Qjsinαj

Fyj=Qjcosαjcosφj

Fzj=Qjcosαjsinφj

Myj=RjQjsinαjsinφj

Mzj=-RjQjsinαjcosφj

(6)

將軸承所有滾珠的接觸力進(jìn)行求和,再根據(jù)滾動軸承內(nèi)圈的平衡條件, 即作用在軸承上的外力與所有鋼球?qū)?nèi)圈的作用力平衡,可得如下軸承整體平衡方程：

(7)

在受小載荷作用時,滾珠與套圈之間的接觸變形一般是微米級的.在微小變形情況下,滾動軸承各方向上的剛度可近似為線性剛度,即滾動軸承的外載荷與軸承位移之間的關(guān)系可記為

F=Kq

(8)

其中K為滾動軸承剛度矩陣,為5×5階的矩陣,其定義為:

(9)

其中Kij是剛度矩陣元素,是外載荷分量對彈性位移分量的偏導(dǎo)數(shù).若忽略交叉剛度,只考慮5個方向的主剛度,滾動軸承剛度矩陣K可記為：

(10)

3 結(jié)果與分析

3.1 軸承參數(shù)

以71807AC角接觸球軸承為例加以分析,所采用軸承的內(nèi)外圈及滾動體所采用的材料均為GCr15軸承鋼,軸承基本參數(shù)如表1所示.

表1 71807AC角接觸球軸承基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of angular contact ball bearings 71807AC

3.2 軸承剛度測試

滾動軸承剛度測試試驗臺如圖5所示.被測滾動軸承安裝在軸上,其內(nèi)圈與軸過盈配合,外圈固定在軸承支座上.加載裝置分別位于軸向和徑向兩個方向上,通過力傳感器數(shù)顯裝置讀取施加的載荷大小,數(shù)顯千分表分別位于滾動軸承左端軸向方向和靠近軸承的轉(zhuǎn)軸水平方向,用以近似軸承的軸向和徑向位移.

圖5 滾動軸承性能測試原理性試驗器Fig.5 Test rig for performances of ball bearing

3.3 測試結(jié)果對比分析

將試驗結(jié)果與仿真分析的計算結(jié)果進(jìn)行比較.圖6表示了不同軸向負(fù)荷作用下,軸承的軸向變形情況.

圖6 不同軸向載荷作用下軸承的軸向位移Fig.6 Axial displacement of ball bearing vs. axial preload

由圖6可以看出,試驗具有很好的重復(fù)性,四次測試的結(jié)果基本一致.此外,仿真分析結(jié)果與試驗測試結(jié)果在趨勢上表現(xiàn)出一致性.

軸承軸向測試剛度和仿真計算的軸承軸向剛度比較如圖7所示.

由圖7可以看出,在給定的軸向載荷范圍內(nèi)(500～3500N),試驗所得的軸承軸向剛度出現(xiàn)波動,仿真分析結(jié)果隨著軸向載荷的增大而增大.測試所得軸向剛度較小,由于考慮了試驗裝置中軸、軸承座和軸承的串聯(lián)后的剛度.

在固定的軸向預(yù)載(2800N)條件下,不同徑向載荷作用下,軸承的徑向位移變化規(guī)律和徑向剛度變化,分別如圖8和9所示.

圖7 不同軸向載荷作用下軸承的軸向剛度Fig.7 Axial stiffness of ball bearing vs. axial preload

圖8 不同徑向載荷作用下軸承徑向位移Fig.8 Radial displacement of ball bearing vs. radial preload

圖9 不同徑向載荷作用下軸承徑向剛度Fig.9 Radialstiffness of ball bearing vs. radial preload

由圖8可以看出,試驗具有良好的重復(fù)性,六次測試的結(jié)果基本一致.此外,仿真分析結(jié)果與試驗測試結(jié)果在趨勢上表現(xiàn)出一致性,隨著徑向載荷的增大,徑向位移均呈線性增大趨勢.

由圖9可以看出,在給定的徑向載荷范圍內(nèi)(500～3000N),試驗所得的軸承徑向剛度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢,仿真分析結(jié)果隨著軸向載荷的增大而增大.試驗測試所得軸承剛度較小,由于該剛度為考慮了試驗裝置中軸、軸承座和軸承的串聯(lián)后的綜合剛度.該試驗測試結(jié)果與仿真分析結(jié)果在整體趨勢上表現(xiàn)出了相似性,一定程度上驗證了仿真計算模型的有效性.

4 結(jié)論

(1)本文給出了小變形下,基于Hertz接觸理論滾動軸承五自由度剛度矩陣的計算方法；

(2)軸承內(nèi)圈位移整體上隨著載荷的增大而呈線性增大；

(3)利用剛度模型獲得的理論分析結(jié)果與試驗測試結(jié)果在趨勢上表現(xiàn)出良好的一致性.