李玉飛 葉義成,2 胡南燕 胡盛棟 羅斌玉 元宙昊

(1.武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢 430081；2.冶金礦產(chǎn)資源高效利用與造塊湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081)

我國一些露天開采的老礦區(qū)，受開采規(guī)劃或礦床勘探的影響，在露天開采境界內(nèi)往往遺留淺埋采空區(qū)。露天礦山逐層向下剝離時(shí)，采空區(qū)覆巖厚度逐漸減小。在地面機(jī)械施工荷載作用下，露天礦山下伏采空區(qū)頂板安全厚度不足時(shí)，將誘發(fā)采空區(qū)頂板突發(fā)性冒落，對采空區(qū)上方作業(yè)人員和采掘設(shè)備構(gòu)成安全隱患。因此，合理確定采空區(qū)頂板安全厚度是保障露天礦安全生產(chǎn)的重要工作。

目前，針對采空區(qū)頂板安全厚度的研究取得了較多成果。王樹仁等[1]基于Reissner厚板理論，考慮了施工機(jī)械的動(dòng)荷載作用，建立了采空區(qū)頂板安全厚度表達(dá)式；燕恩科等[2]采用厚度跨比法、普氏壓力拱法、魯佩涅伊特理論和三維數(shù)值模擬法聯(lián)合確定了采空區(qū)頂板最小安全厚度；周曉超等[3]基于改進(jìn)梁模型，推導(dǎo)了地下空區(qū)不同跨度下頂板安全厚度；林杭等[4]借鑒邊坡穩(wěn)定性分析的強(qiáng)度折減法，提出了采空區(qū)安全頂板預(yù)測的厚度折減法；張敏思等[5]采用RFPA數(shù)值模擬，獲得了采空區(qū)頂板發(fā)生初始損傷和失穩(wěn)垮塌時(shí)的臨界跨度和頂板安全厚度；鄧鵬宏等[6]建立了車輛荷載作用下采空區(qū)頂板的力學(xué)模型，獲得了空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算式；何忠明等[7]基于厚度折減理論，采用FLAC3D建立了雙層空區(qū)數(shù)值模型，計(jì)算了不同空區(qū)跨度下的頂板安全厚度；柳小波等[8]采用第一強(qiáng)度理論建立了均布載荷和集中載荷共同作用下的空區(qū)頂板安全性控制方程，得到了安全臨界頂板厚度；甄云軍等[9]采用強(qiáng)度折減技術(shù)和二分法原理，通過FLAC計(jì)算出各種跨度空區(qū)在不同巖層中的最小安全頂板厚度。

大多數(shù)學(xué)者基于頂板的力學(xué)行為對采空區(qū)頂板安全厚度進(jìn)行了研究，為礦山安全開采提供了理論支撐。然而，采空區(qū)頂板失穩(wěn)破壞過程的應(yīng)力、應(yīng)變較為復(fù)雜，從能量角度可以避免研究采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)失穩(wěn)破壞的中間復(fù)雜受力過程[10]。同時(shí)，露天開采下采空區(qū)頂板破壞失穩(wěn)是一個(gè)非線性、不連續(xù)性的突變過程，而突變理論是研究不連續(xù)性現(xiàn)象的新興學(xué)科[11-12]。因此，可以考慮從能量守恒和突變失穩(wěn)的角度研究露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度。近年來，突變理論在巖體系統(tǒng)動(dòng)力失穩(wěn)中應(yīng)用廣泛。任智敏、張欽禮、趙延林等[13-15]基于突變理論研究了大跨度巷道頂板、礦山采場以及采空區(qū)重疊頂板失穩(wěn)問題；馬莎、鄭東健等[16-17]建立了地下洞室和高拱壩失穩(wěn)的尖點(diǎn)突變模型；楊治林、邵愛軍等[18-19]采用突變理論分析了回采巷道底板巖層失穩(wěn)破斷和礦坑底板突水機(jī)理。以上應(yīng)用證明了突變理論可以解釋礦巖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的非線性動(dòng)力學(xué)特征。

本研究基于材料力學(xué)、彈性力學(xué)等基礎(chǔ)力學(xué)理論，分析露天采場下采空區(qū)頂板受力狀態(tài)，建立固支梁力學(xué)結(jié)構(gòu)模型；根據(jù)能量守恒原理，研究由頂板彎曲應(yīng)變能、水平荷載做功和垂直均布荷載做功組成的采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)總能量方程，從而表達(dá)采空區(qū)頂板勢能函數(shù)；采用突變理論，建立采空區(qū)頂板系統(tǒng)的尖點(diǎn)突變模型，獲得采空區(qū)頂板失穩(wěn)判別式，進(jìn)而推導(dǎo)采空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算模型。

1 采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)力學(xué)模型及總能量

1.1 采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

為了便于分析，將地表機(jī)械施工設(shè)備擬為靜力荷載，按等效均布的方式作用在采空區(qū)頂板上方[20]。采空區(qū)頂板承受機(jī)械施工設(shè)備的動(dòng)荷載作用，按靜力荷載處理時(shí)需要乘以動(dòng)荷載系數(shù)。露天開采下采空區(qū)頂板受力發(fā)生彎曲變形，頂板所受上覆巖層荷載qr及機(jī)械施工設(shè)備荷載qs之和可視為垂直均布荷載q，同時(shí)考慮采空區(qū)頂板受側(cè)向水平荷載p。在垂直均布荷載q及水平荷載p共同作用下，容易引發(fā)采空區(qū)頂板突發(fā)失穩(wěn)。采空區(qū)頂板兩端嵌入圍巖中，視為頂板兩端無角位移和線位移，將其簡化為固支約束。頂板視為僅在軸向有變形，在其他方向不發(fā)生變形的定向支座，則采空區(qū)頂板可簡化為如圖1所示的固支梁力學(xué)結(jié)構(gòu)模型。假設(shè)頂板巖梁在受力變形過程中始終保持在彈性范圍內(nèi)，且服從平截面假設(shè)。采空區(qū)頂板長度為a，寬度b(研究取單位寬度1 m)，頂板厚度為h。

圖1 固支梁力學(xué)結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Mechanical structure model of clamped-clamped beam

1.2 采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)總能量

根據(jù)能量原理[21-22]，并結(jié)合采空區(qū)頂板力學(xué)結(jié)構(gòu)模型分析得到頂板結(jié)構(gòu)總能量

W=U+Wp+Wq，

(1)

式中，U為頂板彎曲應(yīng)變能，J；Wp為水平荷載做功，J；Wq為垂直均布荷載做功，J。

根據(jù)邊界條件，頂板巖梁的撓曲線方程：

(2)

式中，δ為常量；s為從頂板巖梁端點(diǎn)到軸線上任意點(diǎn)的弧長，m。

頂板彎曲應(yīng)變能

(3)

式中，I為頂板巖梁斷面的慣性矩，m4；M(x)、K(x)為頂板巖梁彎曲后，以巖梁端點(diǎn)為原點(diǎn)的撓曲線上的弧坐標(biāo)在s處橫截面上的彎矩和撓曲線曲率；μ為頂板巖體的泊松比；E為頂板巖體的彈性模量，MPa。

撓曲線上任意點(diǎn)s處變形后的單元弧如圖2所示，由于sinθ=(df)/(ds)=f′，θ=arcsinf′，頂板巖梁變形曲線在s處的曲率：

(4)

圖2 s處形變后的單元弧Fig.2 Element arc after deformation at s

將式(4)代入式(3)后作Taylor展開，再將式(2)代入積分，省略余項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)得：

(5)

水平荷載p做功

Wp=-pε,

(6)

式中，ε為頂板巖梁在水平荷載作用下的位移量，m。

頂板巖梁兩端的位移量

(7)

將式(7)作Taylor展開，省略余項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)得：

(8)

將式(8)代入式(6)，再將式(2)代入積分得：

(9)

其中，水平荷載p的計(jì)算公式為

(10)

式中，χ為側(cè)壓力系數(shù)；μ0為上覆巖層的泊松比。

垂直均布荷載q做功

(11)

將式(2)代入式(11)積分得：

(12)

由于將采空區(qū)頂板視為單位寬度的固支梁，此時(shí)頂板巖梁所受垂直均布荷載q為線荷載。則垂直均布荷載q的計(jì)算公式為

q=qr+qs=γHb+νF,

(13)

式中，γ為上覆巖層容重，kN/m3；H為上覆巖層高度，m；ν為動(dòng)荷載系數(shù)；F為頂板巖梁所受機(jī)械施工荷載，kN/m。

將式(5)、式(9)、式(12)代入式(1)中，得到頂板結(jié)構(gòu)的總能量方程，即采空區(qū)頂板系統(tǒng)勢函數(shù)解析式：

(14)

2 采空區(qū)頂板系統(tǒng)尖點(diǎn)突變模型

突變理論作為研究巖體系統(tǒng)動(dòng)力失穩(wěn)的一個(gè)數(shù)學(xué)理論，它注重研究系統(tǒng)中某些變量為何從連續(xù)逐漸變化導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)的突然變化[23-24]。其中，尖點(diǎn)突變模型因其臨界曲面容易構(gòu)造，幾何直觀性強(qiáng)，目前應(yīng)用最為廣泛，本研究選用此模型。

尖點(diǎn)突變模型勢函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式可表示為

W(x)=x4+mx2+nx,

(15)

式中，x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，m、n為控制變量；x、m、n構(gòu)成勢函數(shù)的三維空間。

根據(jù)式(14)和式(15)可知，采空區(qū)頂板系統(tǒng)勢函數(shù)W的空間曲面可由尖點(diǎn)突變模型的平衡曲面和分叉集表示，如圖3和圖4所示。平衡曲面的折痕在m—n平面上的投影為系統(tǒng)的分叉集，分叉集將m-n平面分成2個(gè)區(qū)域，在較小區(qū)域內(nèi)存在2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和1個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，在較大區(qū)域內(nèi)只有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

圖3 尖點(diǎn)突變模型的平衡曲面Fig.3 Balance surface of the cusp catastrophe model

圖4 尖點(diǎn)突變模型的分叉集Fig.4 Bifurcation set of the cusp catastrophe model

令

對式(14)作變量代換，將其轉(zhuǎn)化為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

(16)

根據(jù)式(15)和式(16)得到尖點(diǎn)突變模型的控制變量參數(shù)：

(17)

3 采空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算模型

3.1 計(jì)算模型

對式(15)進(jìn)行求導(dǎo)，得到采空區(qū)頂板系統(tǒng)平衡方程為

W′(x)=4x3+2mx+n.

(18)

如圖3所示，W′(x)=0方程為尖點(diǎn)突變模型的平衡曲面。平衡曲面分為上葉、中葉和下葉，頂板狀態(tài)隨著狀態(tài)變量x的變化而變化。

將W′(x)=0方程與W′′(x)=0方程聯(lián)立消去x，得到分叉集方程：

Δ=8m3+27n2.

(19)

從圖4可以看出，只有滿足m≤0時(shí)，系統(tǒng)才能跨越分叉集發(fā)生突變失穩(wěn)。因此，系統(tǒng)發(fā)生突變失穩(wěn)的必要條件為m≤0。

根據(jù)式(17)，并將I=h3/12代入得：

(20)

由式(20)知，當(dāng)采空區(qū)頂板所受側(cè)向水平荷載p越大，頂板巖體的彈性模量E越小，頂板厚度h越小，采空區(qū)頂板長度a越大，采空區(qū)頂板越容易發(fā)生突變失穩(wěn)。由于采空區(qū)頂板所受側(cè)向水平荷載p、頂板巖體的彈性模量E、頂板厚度h等幾何力學(xué)參數(shù)是采空區(qū)頂板內(nèi)部特性。因此采空區(qū)頂板突變失穩(wěn)的必要條件與采空區(qū)頂板內(nèi)部特性有關(guān)，與外部條件無關(guān)。

如圖4所示，分叉集方程是系統(tǒng)穩(wěn)定性的平衡方程。當(dāng)Δ>0時(shí)，W′(x)=0方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，對應(yīng)有1個(gè)平衡位置，此時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ<0時(shí)，W′(x)=0方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，對應(yīng)有3個(gè)平衡位置，此時(shí)控制變量(m，n)已越過分叉集，系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài)；當(dāng)Δ=0時(shí)，W′(x)=0方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，對應(yīng)存在2個(gè)平衡位置和1個(gè)非平衡位置，當(dāng)控制變量(m，n)越過分叉集上B點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)必然發(fā)生突躍，系統(tǒng)處于失穩(wěn)狀態(tài)。因此，當(dāng)Δ=0時(shí)，采空區(qū)頂板系統(tǒng)處于臨界平衡穩(wěn)定狀態(tài)，構(gòu)成系統(tǒng)發(fā)生突變失穩(wěn)的充分條件。

將式(17)代入式(19)中，再將I=h3/12代入，得到采空區(qū)頂板失穩(wěn)的臨界判別式：

(21)

由以上分析知，當(dāng)Δ>0及m>0時(shí)，構(gòu)成了采空區(qū)頂板系統(tǒng)保持穩(wěn)定的充要條件。則采空區(qū)頂板安全厚度表達(dá)式為

(22)

為簡化計(jì)算模型，將采空區(qū)上覆巖層和頂板巖體視為同一巖層，則上覆巖層泊松比μ0和頂板巖體泊松比μ相等，即μ0=μ。

將式(10)代入式(22)中，進(jìn)一步得到采空區(qū)頂板安全厚度

(23)

采空區(qū)頂板臨界厚度函數(shù)關(guān)系式為

(24)

由式(22)和(24)知，露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度與采空區(qū)長度a、垂直均布荷載q、水平荷載p、頂板巖體泊松比μ、頂板巖體彈性模量E等有關(guān)。因此，影響露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度因素較多，并非是單一的。通過合理布置采場結(jié)構(gòu)參數(shù)、控制采空區(qū)上方機(jī)械施工荷載大小等措施，改變影響采空區(qū)頂板厚度的因素大小，保證各相關(guān)因素在合理安全范圍內(nèi)，確保采空區(qū)頂板安全厚度不小于其臨界厚度，使它們不滿足頂板系統(tǒng)發(fā)生突變失穩(wěn)的充要條件，從而控制采空區(qū)頂板失穩(wěn)的發(fā)生。

3.2 工程驗(yàn)證

某露天礦境界內(nèi)遺留有淺埋采空區(qū)，這些采空區(qū)是由于采用房柱式回采方法形成的，其工程模型如圖5所示，采空區(qū)頂板受力可簡化為圖1所示的力學(xué)結(jié)構(gòu)模型。

圖5 工程模型Fig.5 Engineering model

選取該區(qū)域某一采空區(qū)為研究對象，該采空區(qū)巖性主要為頁巖、砂巖、粉砂巖。采空區(qū)長度a=20 m，寬度8 m，埋深為H=80 m。采空區(qū)頂板巖體的彈性模量E=2 200 MPa，容重γ=26.5 kN/m3，泊松比μ=0.24。地表機(jī)械施工設(shè)備對采空區(qū)頂板巖梁產(chǎn)生的荷載為F=320 kN/m，通過查閱常用機(jī)械設(shè)備動(dòng)荷載系數(shù)表，該機(jī)械設(shè)備的動(dòng)荷載系數(shù)取ν=2。

根據(jù)式(13)計(jì)算出垂直均布荷載q=2 760 kN/m，將各值代入式(24)中，解得采空區(qū)頂板臨界厚度h=5.67 m。考慮到工程安全，理論計(jì)算的臨界頂板厚度值應(yīng)乘以工程安全系數(shù)，該工程安全系數(shù)取2，則最終臨界頂板厚度為h=11.34 m。當(dāng)h>11.34 m時(shí)，采空區(qū)頂板保持穩(wěn)定；當(dāng)h<11.34 m時(shí)，采空區(qū)頂板將發(fā)生突變失穩(wěn)。

在同等條件下，選取的最終臨界頂板厚度11.34 m與現(xiàn)場安全預(yù)警經(jīng)驗(yàn)值12 m基本一致。露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算模型得到了驗(yàn)證，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié) 論

(1)基于能量守恒原理和突變理論，推導(dǎo)出由頂板彎曲應(yīng)變能、水平荷載做功和垂直均布荷載做功組成的露天開采下采空區(qū)頂板結(jié)構(gòu)總能量方程。建立了采空區(qū)頂板系統(tǒng)尖點(diǎn)突變模型，獲得了露天開采下采空區(qū)頂板失穩(wěn)判別式，建立了露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算模型，對研究露天開采下采空區(qū)穩(wěn)定性具有一定的工程指導(dǎo)意義。

(2)根據(jù)露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算模型，采空區(qū)頂板安全厚度與采空區(qū)長度、垂直均布荷載、水平荷載、上覆巖層泊松比、頂板巖梁彈性模量等因素有關(guān)。要使采空區(qū)頂板保持穩(wěn)定，應(yīng)采取措施保證各相關(guān)因素在合理安全范圍內(nèi)，確保采空區(qū)頂板安全厚度不小于其臨界厚度。

(3)運(yùn)用露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算模型對某露天礦采空區(qū)頂板厚度進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，理論計(jì)算出的最終采空區(qū)頂板臨界厚度為11.34 m，與現(xiàn)場安全預(yù)警經(jīng)驗(yàn)值12 m基本一致。表明建立的采空區(qū)頂板安全厚度計(jì)算模型合理可行，為露天開采下采空區(qū)頂板安全厚度設(shè)計(jì)提供了理論計(jì)算依據(jù)。

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