移動最小二乘法導(dǎo)數(shù)近似討論

楊建軍 楊子樂 黃旺 文丕華

摘要：在移動最小二乘法（moving least squares method， MLS）構(gòu)造無網(wǎng)格形函數(shù)的數(shù)值方法中，通常采用無單元伽遼金法（element-free Galerkin method， EFG）的建議，將系數(shù)向量a參與導(dǎo)數(shù)運算。為探討這種導(dǎo)數(shù)近似算法在更一般無網(wǎng)格法中的適用性和合理性，針對系數(shù)向量a是否應(yīng)參與運算的問題進行討論和數(shù)值檢驗。結(jié)果表明：單純從近似意義上講，這種將系數(shù)向量代入導(dǎo)數(shù)運算的算法并不具有優(yōu)勢；從數(shù)值方法的應(yīng)用意義上講，這種導(dǎo)數(shù)近似算法對數(shù)值求解，特別是強式無網(wǎng)格法，會帶來一系列潛在不穩(wěn)定的問題。建議在MLS導(dǎo)數(shù)近似中，系數(shù)向量a不應(yīng)當(dāng)參與導(dǎo)數(shù)運算，并提出采用一種由核基函數(shù)代替普通基函數(shù)的核近似法。

關(guān)鍵詞：無網(wǎng)格法； 移動最小二乘法； 導(dǎo)數(shù)近似； 系數(shù)向量； 核近似

中圖分類號：O241.3，O242.2，O302

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1006-0871（2018）01-0028-07

Abstract： In the numerical method of meshless shape function constructing with moving least squares method（MLS）， the element-free Galerkin method（EFG） is adopted customarily， and the coefficient vector a usually take part in the derivative operation. To investigate the applicability and rationality of this derivative approximation algorithm applying to more general meshless method， the discussion and numerical tests are carried out which focus on whether the coefficient vector a should take part in computing or not. The results show that on approximate means only， there is no advantage if the coefficient vector takes part in computing； on the application means of the numerical method， there is a series of potential instability problems using the derivative approximation algorithm on numerical calculation， especially for the strong meshless method. It is suggested that the coefficient vector a should not be included in the derivative operation. A core approximation method is proposed in which the common basis function is replaced by core primary function.

Key words： meshless method； moving least squares method； derivative approximation； coefficient vector； core approximation

0 引 言

移動最小二乘 （moving least squares， MLS）法最初用于地理信息繪制和表面擬合。[1-3]隨著無網(wǎng)格法研究的興起，MLS法被廣泛用于構(gòu)造無網(wǎng)格形函數(shù)。[4-9]

BELYTSCHKO等[10]提出無單元伽遼金法（element-free Galerkin methods， EFG）時，主張系數(shù)向量a（x）不應(yīng)當(dāng)被假定為常數(shù)向量，而應(yīng)參與求導(dǎo)運算。此后，這一觀點被廣為接受，在MLS法的導(dǎo)數(shù)近似中得到普遍應(yīng)用。[11-18]

MLS法在執(zhí)行導(dǎo)數(shù)近似時，系數(shù)向量a（x）是否該參與導(dǎo)數(shù)運算是一個由來已久的問題。鑒于該問題涉及導(dǎo)數(shù)近似中基本概念的爭議，并且應(yīng)用范圍非常廣泛，因此有必要重新審視。

1 移動最小二乘法

設(shè)問題域Ω上的場函數(shù)為u（x），這個場函數(shù)的值只在一些域內(nèi)的散亂點上已知或可測量。為獲得目標(biāo)點（計算點）

xI處的場函數(shù)uI（x），為xI設(shè)置一個以其為中心的局部支撐域ΩS，見圖1。只要這個支撐域足夠局部，場函數(shù)u（x）總可以用一個預(yù)定義的試函數(shù)

u～（x）近似描述。

由于多項式函數(shù)較簡單，因此MLS法一般采用多項式試函數(shù)，即

以上所述即為經(jīng)典的MLS法。在此基礎(chǔ)上，可以使用復(fù)變量近似方法提高計算效率和計算精度[21]，或者通過改造基函數(shù)使其具有插值性[22-23]。此外，為提高MLS法的計算穩(wěn)定性和計算精度，可使用核基函數(shù)代替普通基函數(shù)，即移動最小二乘核近似（moving least squares core，MLSc）方法。[20，24-25]式（2）對應(yīng)的核基函數(shù)可寫為

MLSc法可以保證A矩陣條件良好，從而可以顯著提高近似計算的精度和穩(wěn)定性。[20]這一優(yōu)勢將在后續(xù)數(shù)值算例中給出檢驗。

2 MLS導(dǎo)數(shù)近似

式（12）是目標(biāo)點xI處場函數(shù)的近似，在數(shù)值方法中，如果要執(zhí)行場函數(shù)導(dǎo)數(shù)的近似，可通過形函數(shù)J的求導(dǎo)實現(xiàn)，即

上述2種導(dǎo)數(shù)近似方法的本質(zhì)區(qū)別是向量a作常數(shù)考慮還是作非常數(shù)考慮，對該分歧討論如下。

（1）式（4）引入權(quán)函數(shù)w（x），但不應(yīng)當(dāng)改變向量a的初始假定和本質(zhì)屬性，a作常數(shù)考慮合理。

（2）a不作常數(shù)考慮，則除基函數(shù)需求導(dǎo)外，還要對權(quán)函數(shù)求導(dǎo)，無疑會增加對權(quán)函數(shù)連續(xù)性的要求。通常，權(quán)函數(shù)的連續(xù)性要高于基函數(shù)的連續(xù)性，權(quán)函數(shù)求導(dǎo)并不會提高近似函數(shù)的連續(xù)性，因為近似函數(shù)的連續(xù)性由基函數(shù)的連續(xù)性決定。

（3）a不作常數(shù)考慮時，形函數(shù)J的導(dǎo)數(shù)中會出現(xiàn)A及其導(dǎo)數(shù)求逆的累加，如式（21）和（22）。從原理上講，這會造成誤差累計，對計算精度不利。

（4）MLS法本質(zhì)上是一種非常簡單的方法，但a參與導(dǎo)數(shù)運算后，使算法變得非常復(fù)雜，這樣會削弱MLS法的競爭力。

（5）如果a不作常數(shù)考慮確定對EFG法[10]有利，那么對更一般的方法，這種優(yōu)勢是存在疑問的。

接下來，進一步通過數(shù)值試驗來進行審視。

3 數(shù)值檢驗

3.1 算例1

曲面擬合問題對近似方法的檢驗比較直接，因此通常被用于近似算法檢驗。假設(shè)在x∈[0，1]且y∈[0，1]問題域上的曲面函數(shù)為

其函數(shù)圖像見圖2。該函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)很容易得到，此處從略。在近似計算中，為避免散亂節(jié)點的擾動，采用規(guī)則節(jié)點離散方案。節(jié)點間距h=0.2的場節(jié)點離散方案見圖3。

在近似計算中，任一目標(biāo)節(jié)點xI的場函數(shù)u，一階導(dǎo)數(shù)u，x和二階導(dǎo)數(shù)u，xx由其他節(jié)點的場函數(shù)值通過近似計算得到。

為評價近似計算的精度和收斂性，定義平均L2誤差范數(shù)為

式中：ξI，num為數(shù)值計算得到的值；ξI，exa為解析得到的精確值；N為考察的計算點數(shù)量。對于曲面擬合問題，N為所有的場節(jié)點數(shù)量；對無網(wǎng)格法求解問題，N為結(jié)果輸出路徑上的取值點數(shù)量。

設(shè)置一組疏密不同的節(jié)點離散方案（節(jié)點間距為h），將原函數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的近似誤差匯總，見圖4。圖例中，“MLS”表示使用經(jīng)典MLS法，“MLSc” 表示使用改進后的MLSc法，a表示將a視為常數(shù)不參與導(dǎo)數(shù)運算，a（x）表示將a視為非常數(shù)參與導(dǎo)數(shù)運算。

忽略一些細(xì)節(jié)問題，圖4可以解讀為2個主要結(jié)論：（1）a參與導(dǎo)數(shù)運算并沒有表現(xiàn)出預(yù)期的優(yōu)勢；（2）MLS法在節(jié)點稠密時收斂性將變差，而MLSc法總是表現(xiàn)為嚴(yán)格的收斂性。

3.2 算例2

為不失一般性，考慮一個形狀較為復(fù)雜的，或者場函數(shù)光滑性較弱的曲面擬合問題。假設(shè)在x∈[-8，8]且y∈[-8，8]問題域上的曲面函數(shù)為

該曲面函數(shù)的圖像見圖5。

繪制一組疏密不同的節(jié)點離散方案和場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的近似計算誤差，見圖6。由此得出的結(jié)論與算例1保持一致：（1）a參與導(dǎo)數(shù)運算在近似精度和收斂性上，比a不參與導(dǎo)數(shù)運算更差；（2）MLS法隨節(jié)點加密會喪失收斂性，MLSc法總是表現(xiàn)為更高的計算精度和嚴(yán)格的收斂性。

3.3 算例3

結(jié)合一種具體的無網(wǎng)格方法進一步檢驗，使用有限點法（finite point method，F(xiàn)PM）[26-27]。選擇FPM主要考慮到：該法是直接的配點法，屬于最簡單的無網(wǎng)格法之一，對近似計算的驗證受數(shù)值離散算法的影響較小[28]；更重要是，F(xiàn)PM屬于強式法，會使用到二階導(dǎo)數(shù)近似，對問題的驗證會更完整。

選擇一個常用的懸臂梁問題算例，其結(jié)構(gòu)模型見圖7。計算采用無量綱化（量綱歸一化）處理，計算參數(shù)?。毫簩扗=2，梁長L=12，梁端荷載集度P=6，彈性模量E=10-4，泊松比ν=1/3。將y=0路徑上的縱向位移uy和x=L/2路徑上的剪切應(yīng)力σxy作為計算指標(biāo)，其解析解[10，29]為

式中：I為截面慣性矩，I=D-3/12。數(shù)值計算中為避免散亂節(jié)點擾動，采用規(guī)則節(jié)點離散方案，但各坐標(biāo)方向的標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點間距不同，且hx=2hy。hy=0.4的場節(jié)點離散方案見圖8。為便于讀者直觀了解FPM求解該問題的效果，給出hy=0.2離散方案的計算結(jié)果，見圖9。

2種導(dǎo)數(shù)近似方法分別采用MLS法和MLSc法的數(shù)值計算收斂性比較見圖10（最密節(jié)點間距取hy=0.05）。由此可以看出，a不作常數(shù)考慮時，不論是位移解還是應(yīng)力解，其計算收斂性要比另外的方案明顯變差，只是在節(jié)點較為稀疏時，似乎a不作常數(shù)考慮的解更精確。但須注意到，在節(jié)點非常稀疏的情況下，求解精度本身是非常粗糙的，不具有代表性，所以此處的結(jié)論依然應(yīng)該是：a不作常數(shù)考慮時，求解收斂性并不具有優(yōu)勢。

無網(wǎng)格方法對局部支撐域尺度參數(shù)αS的敏感性，不僅直接反映數(shù)值方法計算的穩(wěn)定性，也可以反映近似計算的穩(wěn)定性。因此，對支撐域尺度參數(shù)的數(shù)值計算影響效果進行分析，hy=0.2時的計算結(jié)果見圖11。顯然，不論是位移解還是應(yīng)力解，a參與導(dǎo)數(shù)計算的數(shù)值結(jié)果明顯要差得多，換句話說，a參與導(dǎo)數(shù)計算的情況下，數(shù)值方法的計算穩(wěn)定性會變差。必須注意的是，支撐域尺度參數(shù)αS=3.4時，a參與導(dǎo)數(shù)計算的效果出現(xiàn)偶發(fā)性的好轉(zhuǎn)，而圖9的結(jié)果正好采用這一參數(shù)，均不具有普遍性，因此此處的結(jié)論依然類似，a不作為常數(shù)考慮或a參與導(dǎo)數(shù)計算時，在數(shù)值計算的穩(wěn)定性上不具有優(yōu)勢。

3.4 算例4

在矩形域Ω（0≤x≤a，-b/2≤y≤b/2）上，當(dāng)取a=b=1時，泊松方程可定義為

其函數(shù)圖像見圖12。采用FPM求解該問題，問題域采用不規(guī)則節(jié)點離散，見圖13。

取x=0.8的輸出路徑，選擇21個等間距分布的取值點，此結(jié)果輸出路徑上的數(shù)值計算收斂性見圖14。由此可以得到與前幾個算例類似的結(jié)論：（1）總體上，a參與導(dǎo)數(shù)計算的求解結(jié)果會更差，雖然在隨機節(jié)點高度稠密區(qū)間，即ha<0.02時，a參與導(dǎo)數(shù)計算的結(jié)果似乎更好些，但這個區(qū)間對經(jīng)典MLS而言，數(shù)值解已經(jīng)喪失精確性，其優(yōu)劣性的評價意義不大；（2）改進的MLSc法的數(shù)值解嚴(yán)格收斂，而MLS會隨著節(jié)點稠密變得非常不穩(wěn)定。

4 結(jié) 論

通過4個數(shù)值算例驗證，均得出a參與導(dǎo)數(shù)運算的負(fù)面影響，這顯然與EFG方法的建議不同。其中，2個算例是通過曲面擬合的方式直接檢驗MLS的導(dǎo)數(shù)近似效果，對問題的評價具有普遍意義。此外，采用FPM通過2個數(shù)值求解算例評價a參與導(dǎo)數(shù)運算的優(yōu)劣性。單用一種具體的方法評價，雖然有失全面性和公允性，但至少可以說明一個問題：EFG方法中認(rèn)為a參與導(dǎo)數(shù)運算使數(shù)值求解更精確，這個結(jié)論不是對任何方法都適用的，不具有普遍性。

在EFG方法[10]中，對a參與導(dǎo)數(shù)運算的效果評價通過一個簡單小片試驗算例進行驗證，場節(jié)點非常稀疏，精確解又是一個簡單的二次多項式，加上EFG方法只會使用一階導(dǎo)數(shù)近似，因此其論據(jù)支持顯然偏弱，說服力不夠，將其結(jié)論不加鑒別的普遍推廣，是不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

從原理性分析的角度來看，系數(shù)向量a不參與導(dǎo)數(shù)運算是完全合理的。簡單地說，多項式函數(shù)的求導(dǎo)與系數(shù)無關(guān)，將a作為函數(shù)處理并參與導(dǎo)數(shù)運算，會增加問題的復(fù)雜性。更重要的是，經(jīng)過本文的初步數(shù)值驗證，這種處理會使情況變差而非向好。

此外，數(shù)值算例也對核近似方法MLSc和經(jīng)典的MLS法進行比較，進一步證明MLSc法是一種嚴(yán)格收斂和計算穩(wěn)定的有效方法。此數(shù)值檢驗結(jié)果完全符合文獻[20]的理論解釋。MLSc法的改進措施很簡單，但對提升MLS方法的計算效果卻非常顯著。

在MLS導(dǎo)數(shù)近似中，系數(shù)向量a不應(yīng)當(dāng)參與導(dǎo)數(shù)運算，建議采用更簡單的MLSc方法使計算更加精確和穩(wěn)定，其在無網(wǎng)格近似方法的選擇比較中更具有競爭力。

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（編輯 武曉英）