陳森林，梁 斌，李 丹，陶湘明

（1.水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072； 2.武漢大學(xué) 水利水電學(xué)院，湖北 武漢 430072；3.中國(guó)電建集團(tuán) 成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川 成都 610000）

1 研究背景

水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度是實(shí)現(xiàn)水能資源高效利用的重要技術(shù)手段，也是水電站及其水庫(kù)制定和實(shí)施中長(zhǎng)期運(yùn)行計(jì)劃的核心問(wèn)題。隨著運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)工程及智能算法的逐步引入，水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度模型的求解方法和調(diào)度規(guī)則的研究得到了快速的發(fā)展。

在水庫(kù)發(fā)電優(yōu)化調(diào)度模型求解的眾多方法中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法（Dynamic Programming）以其適用于多時(shí)間段序貫決策并能靈活處理非線性、不連續(xù)優(yōu)化模型等特點(diǎn)而在水庫(kù)調(diào)度領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［1］。隨著大量水庫(kù)電站的建成和投入使用，優(yōu)化算法的研究也由針對(duì)單個(gè)水庫(kù)或單個(gè)目標(biāo)向梯級(jí)水庫(kù)和多目標(biāo)轉(zhuǎn)變。為了避免庫(kù)群系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度模型求解的“維數(shù)災(zāi)”問(wèn)題，相關(guān)專家和學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行了諸多改進(jìn)。趙銅鐵鋼等［1］分析了水庫(kù)調(diào)度目標(biāo)函數(shù)的凹性和決策的單調(diào)性，提出了搜索域縮減算法和鄰域搜索算法。Tolson等［2］開發(fā)了一種全搜索域上產(chǎn)生初始解、通過(guò)迭代逐漸逼近局部空間內(nèi)的動(dòng)態(tài)降維算法。Zhang等［3］提出了基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法與遺傳算法的平行算法。紀(jì)昌明等［4］提出了基于泛函分析思想的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。孫平等［5］提出了一種基于狀態(tài)組合遍歷和多層嵌套兩種多維動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的求解模式。鐘平安等［6］研究了場(chǎng)景樹在水庫(kù)調(diào)度隨機(jī)規(guī)劃中的應(yīng)用。H.R.Howson［7］利用貝爾曼最優(yōu)化原理，提出了漸近優(yōu)化算法（Progressive Optimality Algorithm，POA）。以POA算法為依托，結(jié)合梯級(jí)調(diào)度的實(shí)際情況，相關(guān)學(xué)者對(duì)算法做了進(jìn)一步的改進(jìn)。李瑋等［8］將大系統(tǒng)分解協(xié)調(diào)理論以及POA逐步逼近思想相結(jié)合對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)。周佳等［9］運(yùn)用懲罰函數(shù)和約束轉(zhuǎn)換對(duì)POA算法進(jìn)行改進(jìn)。程春田等［10-11］提出了智能縮減系統(tǒng)求解規(guī)模策略和保證系統(tǒng)實(shí)用性的可視化交互法。馮仲愷等［12］結(jié)合正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法提出了正交試驗(yàn)POA算法（OPOA）。張誠(chéng)等［13］基于逐步差分和變階段優(yōu)化改進(jìn)策略，提出了變階段逐步優(yōu)化算法。在智能算法方面，Schardong A等［14］提出了一種自適應(yīng)多目標(biāo)差分進(jìn)化算法與網(wǎng)絡(luò)流算法結(jié)合的混合算法。Haddad O B等［15］運(yùn)用生物地理優(yōu)化算法（BBO）來(lái)解決水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題，在單庫(kù)調(diào)度與多庫(kù)聯(lián)調(diào)計(jì)算中都取得了良好的調(diào)度效果。

由于庫(kù)容曲線、水電站下游流量關(guān)系曲線采用離散值數(shù)值關(guān)系，使得水能計(jì)算中動(dòng)力指標(biāo)（庫(kù)蓄水量、發(fā)電流量、發(fā)電水頭及出力等）只能采用數(shù)值計(jì)算方法，從而導(dǎo)致傳統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度模型的表達(dá)及其求解只能采用離散數(shù)值方法。針對(duì)這一問(wèn)題，本文基于水庫(kù)特性曲線的函數(shù)化，建立了水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度的解析函數(shù)模型，并基于POA算法原理提出了解析優(yōu)化方法—APOA算法。通過(guò)獅子灘水庫(kù)應(yīng)用表明，APOA優(yōu)化結(jié)果與POA相近，但計(jì)算效率顯著提高。

由于目前難以證明不同水庫(kù)的庫(kù)容-水位關(guān)系和下游流量-水位關(guān)系符合某種函數(shù)型式，應(yīng)用函數(shù)進(jìn)行描述（稱為“一次應(yīng)用”）必然存在一定的擬合誤差。但因水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電調(diào)度重點(diǎn)在于過(guò)程（庫(kù)水位、出力等）和相關(guān)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)（發(fā)電量、用水量、保證率等），所以，發(fā)電調(diào)度（稱為“二次應(yīng)用”）的計(jì)算精度才是關(guān)鍵。

2 特性曲線和動(dòng)力指標(biāo)的函數(shù)表達(dá)

2.1 特性曲線的函數(shù)化表達(dá)

（1）水庫(kù)庫(kù)容-水位關(guān)系函數(shù)。由于出力公式中水頭的計(jì)算需要由庫(kù)容推求水庫(kù)水位，因此，以庫(kù)容為自變量、庫(kù)水位為因變量的函數(shù)關(guān)系用三次多項(xiàng)式表達(dá)：

式中：Zup為水庫(kù)水位，m；V為水庫(kù)蓄水量（庫(kù)容），（×l）m3；A、B、C、D為水庫(kù)庫(kù)容-水位關(guān)系函數(shù)的參數(shù)。

為了保證式（1）的擬合精度，Zup和V的數(shù)量級(jí)應(yīng)該相當(dāng)或接近，因此，水庫(kù)庫(kù)容宜取l=104、106或108的數(shù)量單位，并在水庫(kù)調(diào)度方程中進(jìn)行換算。

由于受測(cè)算方法和河床沖淤等影響，壩前水位以下水庫(kù)的蓄水容積無(wú)法得到準(zhǔn)確值，所以，水庫(kù)調(diào)度計(jì)算中以數(shù)值形式表達(dá)的庫(kù)容曲線并不是真實(shí)的水位-庫(kù)容關(guān)系。同時(shí)，水庫(kù)實(shí)際調(diào)度中，相對(duì)庫(kù)蓄水量而言，庫(kù)水位數(shù)值的準(zhǔn)確性更受關(guān)注。

（2）水電站下游流量-水位關(guān)系函數(shù)。假設(shè)水庫(kù)出流為水電站出流（出現(xiàn)棄水時(shí)再另外處理），下游流量水位關(guān)系一般可用二次多項(xiàng)式表示為：

式中：Zdown為水電站下游水位，m；Q為水電站發(fā)電流量，m3/s；a、b、c為下游流量-水位關(guān)系函數(shù)的參數(shù)。

（3）水電站發(fā)電流量-水頭損失關(guān)系函數(shù)。由于受短期和廠內(nèi)機(jī)組負(fù)荷分配及多方面計(jì)算條件的概化影響，中長(zhǎng)期調(diào)度的水頭損失屬于一個(gè)統(tǒng)計(jì)值，但在水能計(jì)算中又不能完全忽略。因此，在水能規(guī)劃或水電站實(shí)際運(yùn)行中，水電站水頭損失一般取固定值、或根據(jù)發(fā)電引水管道系統(tǒng)推求發(fā)電流量-水頭損失關(guān)系的二次函數(shù)關(guān)系：

式中：ΔH為水電站水頭損失，m；α為水電站發(fā)電流量-水頭損失關(guān)系函數(shù)的參數(shù)。

（4）水電站預(yù)想出力-水頭關(guān)系函數(shù)。預(yù)想出力為水電站實(shí)際運(yùn)行中可能承擔(dān)的最大出力（負(fù)荷），與水電站運(yùn)行的凈水頭有關(guān)。凈水頭大于設(shè)計(jì)水頭時(shí)，預(yù)想出力等于水電站裝機(jī)容量，否則，預(yù)想出力與凈水頭成正比關(guān)系，可用分段線性函數(shù)關(guān)系表達(dá)：

式中：H、Hsj分別為水電站凈水頭和設(shè)計(jì)水頭，m；Py、Pyx分別為水電站裝機(jī)容量和水頭H下的預(yù)想出力，kW；β為水電站預(yù)想出力-水頭關(guān)系函數(shù)的參數(shù)。

2.2 水電站動(dòng)力指標(biāo)函數(shù)表達(dá)對(duì)任意一個(gè)時(shí)段t，如果已知時(shí)段初、末庫(kù)蓄水量，基于水庫(kù)特性曲線的函數(shù)關(guān)系，可以將水電站動(dòng)力指標(biāo)表示為函數(shù)形式。

（1）發(fā)電流量。由水庫(kù)水量平衡方程可得發(fā)電流量：

式中：It、Qt分別為t時(shí)段平均入庫(kù)流量和發(fā)電流量（暫不考慮棄水），m3/s；Vt-1、Vt分別為t時(shí)段初、末水庫(kù)蓄水量，（×l）m3；λt為庫(kù)蓄水量到流量的轉(zhuǎn)換系數(shù)，

為t時(shí)段的時(shí)段長(zhǎng)，h。

（2）水電站凈水頭?；跁r(shí)段內(nèi)要素線性變化假設(shè)和式（1）—（3），任一時(shí)段t水電站凈水頭為：

式中：Ht為t時(shí)段水電站凈水頭，m；、ΔHt分別為t時(shí)段平均庫(kù)水位、下游水位及水頭損失，m。

（3）水電站出力。根據(jù)出力公式和式（6），可得t時(shí)段水電站平均出力：

式中：K為水電站出力系數(shù)；Pt為水電站t時(shí)段平均出力，kW。

由式（7）既可由流量推求出力（“以水定電”顯式計(jì)算），也可由出力推求流量（“以電定水”非線性函數(shù)方程迭代計(jì)算）。

3 水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度的解析函數(shù)模型

3.1 目標(biāo)函數(shù)以水電站調(diào)度期總發(fā)電量最大為準(zhǔn)則的目標(biāo)函數(shù)為：

式中：T為調(diào)度期總時(shí)段數(shù)；ET為調(diào)度期最優(yōu)總發(fā)電量，kW?h。

3.2 約束條件

（1）水庫(kù)蓄水量約束。包括水庫(kù)蓄水量的上、下限約束：

（2）綜合利用約束。主要指通過(guò)發(fā)電產(chǎn)生的下游用水需求（上游用水可在式（5）考慮）：

式中：Qmint為t時(shí)段水庫(kù)下泄流量的下限，m3/s。

（3）出力約束

水電站主要存在預(yù)想出力的Pmaxt限制，而電力系統(tǒng)則可能同時(shí)存在上下限限制，因此，式（11）是水電站和電力系統(tǒng)兩種約束的合集。

（4）水庫(kù)蓄水量邊界約束。包括調(diào)度期初始和終止水庫(kù)蓄水量約束：

式中：VBeg、VEnd分別為調(diào)度期初始和終止水庫(kù)蓄水量，m3。

以式（1）—式（7）為基礎(chǔ)，式（8）為目標(biāo)函數(shù)，式（9）—式（12）為約束條件，構(gòu)成了水電站中長(zhǎng)期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度的解析函數(shù)模型（目標(biāo)函數(shù)與約束條件均為解析函數(shù)）。值得注意的是，為了保證庫(kù)水位和蓄水量計(jì)算的一致性，和VBeg、VEnd應(yīng)根據(jù)相應(yīng)的庫(kù)水位由式（1）推求，不應(yīng)采用原庫(kù)容曲線插值得到的數(shù)值。

由式（8）可知，解析函數(shù)模型與傳統(tǒng)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型主要區(qū)別在于兩個(gè)方面：一是前者的動(dòng)力指標(biāo)全部通過(guò)函數(shù)計(jì)算，而后者則需要進(jìn)行曲線插值等數(shù)值計(jì)算；二是前者將水庫(kù)水量平衡約束耦合到目標(biāo)函數(shù)，建立了以庫(kù)蓄水量Vt為決策變量的非線性函數(shù)模型。

4 優(yōu)化模型求解方法——APOA算法

由于突變型約束條件式（9）—式（11）的限制，該解析函數(shù)模型目前仍然難以整體解析求解。但基于水庫(kù)水電站特點(diǎn)和約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以將約束條件合并為兩類約束：一是“水量約束”，包含式（9）和式（10）；二是“出力約束”，包含式（11）。這兩類約束均可以分別進(jìn)行耦合處理。

在動(dòng)態(tài)規(guī)劃改進(jìn)算法中，POA算法將全過(guò)程的優(yōu)化分解為逐個(gè)二階段優(yōu)化問(wèn)題，并應(yīng)用一維搜索求解二階段問(wèn)題，既有效減少了決策變量的搜索空間，又回避了后效性問(wèn)題。因此，我們借鑒POA算法的基本思路，提出了基于POA算法的解析方法（Analytic Progressive Optimality Algorithm，APOA），APOA與POA法的本質(zhì)區(qū)別在于二階段優(yōu)化問(wèn)題的求解方法，APOA采用單一變量的函數(shù)求極值方法（不需離散狀態(tài)變量），而POA采用一維數(shù)值搜索方法。

由于式（9）—式（12）的約束導(dǎo)致解析函數(shù)模型的二階段優(yōu)化問(wèn)題仍然難以直接求解，所以APOA法由二步算法組成：第一步，確定庫(kù)蓄水量Vt，即以式（8）為基礎(chǔ)建立二階段優(yōu)化模型，采用無(wú)約束函數(shù)（不考慮棄水）求極值方法，并考慮“水量約束”，推求“初步最優(yōu)解”；第二步，確定兩個(gè)時(shí)段的出力、發(fā)電流量及棄水流量，即如果“初步最優(yōu)解”不能滿足出力約束式（11），則按照一定規(guī)則對(duì)其進(jìn)行修正（可能包括棄水流量計(jì)算），最終得到解析函數(shù)模型的最優(yōu)解。

4.1 考慮“水量約束”的二階段優(yōu)化模型對(duì)于任意兩個(gè)相連時(shí)段t和t+1，涉及3個(gè)時(shí)刻的庫(kù)蓄水量Vt-1、Vt及Vt+1，從POA算法可知，Vt-1和Vt+1為已知值，而Vt為待求的優(yōu)化決策變量。

（1）目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)式（8）可整理得二階段優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為：

p4為常數(shù)項(xiàng)，由于不影響式（13）的極值點(diǎn)（或駐點(diǎn)）求解，可不做討論；Wt和Wt+1為常數(shù)項(xiàng)，分別由下式計(jì)算：

由此可見，二階段發(fā)電量最大模型的目標(biāo)函數(shù)為Vt的一元三次多項(xiàng)式。

（2）約束條件。根據(jù)約束條件式（9）和式（10），可以確定同時(shí)考慮庫(kù)蓄水量和綜合利用約束下Vt的可行域。由式（5）和式（10）可得：

基于式（14），整理式（15）可得：

綜合約束式（9）和式（16）可得：

以式（13）為目標(biāo)函數(shù)，式（17）為約束條件，就構(gòu)成了考慮“水量約束”的二階段優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

4.2 二階段優(yōu)化模型求解方法如果出現(xiàn)，則說(shuō)明二階段問(wèn)題無(wú)可行解（“初始解”存在或迭代計(jì)算中出現(xiàn)的），此時(shí)應(yīng)保證t時(shí)段為可行解，即按照和取大值原則推求t時(shí)段出力和發(fā)電流量即可。否則，按以下方法推求。

應(yīng)用式（5）可將式（13）的p1整理為：

對(duì)式（13）求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0可得：

式（19）為二次多項(xiàng)式方程，其判別式為：

根據(jù)判別式（20）的取值不同，式（13）的“初步最優(yōu)解”確定方法如下：

（2）若Δ>0，則式（19）在( )-∞,+∞上有兩個(gè)不同實(shí)根ν1和ν2（不妨設(shè)ν1<ν2）：

4.3 考慮出力范圍約束的最優(yōu)解根據(jù)“初步最優(yōu)解”Vt，由式（7）可以計(jì)算兩個(gè)時(shí)段的出力Pt和Pt+1。雖然Vt滿足“水量約束”，但Pt和Pt+1還必須滿足“出力約束”，這里先討論出力范圍約束。根據(jù)Pt和Pt+1與式（11）的出力范圍，理論上可能存在9種組合情形（如表2所示）。通過(guò)多個(gè)實(shí)例水庫(kù)實(shí)際年份長(zhǎng)系列優(yōu)化的計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)，各水庫(kù)在滿足“水量約束”下“初步最優(yōu)解”的每一個(gè)二階段的出力組合占比情況如表3所示（其數(shù)值主要與各水庫(kù)的徑流過(guò)程、初始與終止水位及“水量約束”有關(guān)）。

表1 “初步最優(yōu)解”確定方法

圖1 極值點(diǎn)與可行域的位置關(guān)系

從表3的實(shí)例計(jì)算結(jié)果可知，主要集中于①②⑤，且從⑤所占比例來(lái)看，大部分情形下均不需要進(jìn)行修正。其中，情形①②⑥主要出現(xiàn)在豐水期水庫(kù)蓄水以抬高后期水位所致（參見圖6）、情形④⑧則出現(xiàn)在枯水期消落段。因此，基于水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度實(shí)際和POA算法原理，應(yīng)優(yōu)先保證t時(shí)段滿足“出力約束”，如果t+1時(shí)段無(wú)法滿足“出力約束”，可以留給下一個(gè)二階段問(wèn)題解決，因此，表2的9種情形可以分為5種處理類型：

表2 二階段出力組合情形分類

（1）“不需要修正”型。情形⑤的“初步最優(yōu)解”也滿足“出力約束”，不需要修正；

（2）“二保一”型。情形①⑨應(yīng)尋求Pt滿足“出力約束”（放棄Pt+1約束，留待后續(xù)計(jì)算解決）；

（3）“優(yōu)先保證”型。情形②⑧應(yīng)優(yōu)先保證Pt滿足“出力約束”（可能引起Pt+1不滿足約束，留待后續(xù)計(jì)算解決）；

（4）“二步修正”型。情形③⑦應(yīng)首先保證Pt滿足邊界“出力約束”，可能直接轉(zhuǎn)換為⑤，也可能分別轉(zhuǎn)換為情形④⑥再繼續(xù)調(diào)整；

（5）“全?！毙汀ａ槍?duì)情形④⑥，應(yīng)在保證Pt可行的條件下，尋求Pt+1也達(dá)到邊界“出力約束”。

從POA算法的全過(guò)程順序計(jì)算流程角度看，“出力約束”檢驗(yàn)與“初步最優(yōu)解”的修正方法，應(yīng)該先判斷t時(shí)段、后判斷t+1時(shí)段，對(duì)每個(gè)時(shí)段先判斷下限再判斷上限，因此，表2的8種不可行情形可由以下（最多）4步方法進(jìn)行修正：

圖2 APOA的“初步最優(yōu)解”修正算法流程

此外需要說(shuō)明的是，每個(gè)二階段優(yōu)化問(wèn)題，可以通過(guò)4次“以電定水”（最大、最小出力）計(jì)算，確定滿足“出力約束”的Vt上下限，再與式（17）取交集得到，這樣就不需要進(jìn)行出力修正。由于“以電定水”需要迭代計(jì)算，計(jì)算效率較低，如果只用于少量時(shí)段的修正則更有利于提高計(jì)算效率。

5 實(shí)例應(yīng)用及成果分析

獅子灘水庫(kù)是重慶龍溪河梯級(jí)的龍頭水庫(kù)，具有多年調(diào)節(jié)能力，該水庫(kù)以發(fā)電為主，兼顧防洪、灌溉、養(yǎng)殖、航運(yùn)、旅游等綜合利用任務(wù)。正常蓄水位為347 m，前汛期防洪限制水位346.3 m，后汛期防洪限制水位346.8 m，死水位為328.5 m，調(diào)節(jié)庫(kù)容7.33億m3。發(fā)電保證率為90%，保證出力為15 100 kW，裝機(jī)容量為54 200 kW。水庫(kù)特性曲線及擬合情況如圖3和圖4所示。

圖3 庫(kù)容-水位關(guān)系曲線

圖4 下游流量-水位關(guān)系曲線

為了驗(yàn)證解析函數(shù)模型和APOA算法的科學(xué)性和高效性，本文分別針對(duì)典型年和長(zhǎng)系列兩種優(yōu)化問(wèn)題開展應(yīng)用研究，并與POA算法的兩種計(jì)算方案進(jìn)行對(duì)比：（1）POA-Ⅰ算法。即傳統(tǒng)的POA算法，庫(kù)容水位以及下游水位流量關(guān)系的插值計(jì)算均采用分段線性插值，其二階段優(yōu)化過(guò)程和迭代遞推過(guò)程使用離散狀態(tài)變量的方法尋優(yōu)。（2）POA-Ⅱ算法。與POA-Ⅰ的不同之處在于，采用式（1）和式（2）的庫(kù)容水位以及下游水位流量關(guān)系函數(shù)計(jì)算。

5.1 典型年優(yōu)化計(jì)算給定年初末水位均為死水位，分別選取10%、50%及90%水平年的入庫(kù)徑流（如圖5所示），針對(duì)以上計(jì)算方案，可得到各種算法不同典型年的最優(yōu)庫(kù)蓄水位過(guò)程線（如圖6所示，其中pre-APOA為僅滿足“水量約束”的“初步最優(yōu)解”過(guò)程）、水位誤差（如圖7所示）以及年發(fā)電量（如表4所示）。

（1）從表4可見，APOA算法與POA-Ⅰ算法的發(fā)電量相差僅0.03%～0.25%，水位過(guò)程相差最大不超過(guò)0.11 m（如圖7所示），因此，對(duì)于水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電調(diào)度而言，解析函數(shù)模型及APOA算法幾乎沒(méi)有降低優(yōu)化計(jì)算精度（受多種因素影響，POA算法的計(jì)算結(jié)果嚴(yán)格來(lái)說(shuō)也不是真實(shí)最優(yōu)解）。

（2）對(duì)比APOA和pre-APOA的蓄水過(guò)程（如圖6所示）可知，不考慮“出力約束”的枯水年水位過(guò)程（最小出力按保證出力限制的最優(yōu)解）全部高于考慮“出力約束”的過(guò)程，平水年和豐水年則比較接近，僅少數(shù)時(shí)段偏高。這種現(xiàn)象正確反映了水庫(kù)前期力爭(zhēng)蓄水、以抬高后期發(fā)電水頭的客觀規(guī)律。

圖5 獅子灘水庫(kù)典型年逐月入庫(kù)流量

圖6 獅子灘水庫(kù)各典型年優(yōu)化調(diào)度蓄水過(guò)程線

圖7 各典型年APOA和POA-Ⅰ的水位相差過(guò)程線

5.2 長(zhǎng)系列優(yōu)化計(jì)算為了檢驗(yàn)本文方法的高效性，對(duì)獅子灘水庫(kù)1958—2005年逐月徑流進(jìn)行長(zhǎng)系列優(yōu)化計(jì)算（式（11）的最小出力為保證出力），相關(guān)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)如表5所示。

由上述計(jì)算成果可知，APOA法與傳統(tǒng)POA算法相比，主要指標(biāo)誤差很?。òl(fā)電保證率還略有提高），但APOA算法耗時(shí)僅為傳統(tǒng)POA算法的1/20。由此表明，解析函數(shù)模型及APOA算法在保證不降低計(jì)算精度的前提下，能顯著減小優(yōu)化計(jì)算時(shí)間。

表4 不同算法典型年發(fā)電量（單位：億kW·h）

表5 獅子灘水庫(kù)中長(zhǎng)期優(yōu)化調(diào)度計(jì)算結(jié)果

6 結(jié)論

本文針對(duì)現(xiàn)行水庫(kù)發(fā)電優(yōu)化調(diào)度數(shù)學(xué)模型一直采用數(shù)值計(jì)算方法的缺陷，基于庫(kù)容-水位關(guān)系和尾水流量-水位關(guān)系的函數(shù)化，建立了水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度的解析函數(shù)模型，并借鑒傳統(tǒng)POA算法提出了解析函數(shù)模型的APOA算法。通過(guò)獅子灘水庫(kù)典型年和長(zhǎng)系列應(yīng)用、并與POA算法對(duì)比表明，該解析優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及APOA算法在不降低計(jì)算精度的前提下，能顯著減小水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度的計(jì)算時(shí)間。因此，該解析函數(shù)模型及APOA算法不僅具有算法穩(wěn)定、計(jì)算效率極高的特點(diǎn)，而且為水庫(kù)中長(zhǎng)期發(fā)電優(yōu)化調(diào)度的解析研究途徑進(jìn)行了有益的探索。

［1］趙銅鐵鋼，雷曉輝，蔣云鐘，等.水庫(kù)調(diào)度決策單調(diào)性與動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法改進(jìn)［J］.水利學(xué)報(bào)，2012，43（4）：414-421.

［2］TOLSON B A，SHOEMAKER C A.Dynamically dimensioned search algorithm for computationally efficient water?shed model calibration［J］.Water Resources Research，2007，43（1）：208-214.

［3］ZHANG Z，ZHANG S，WANG Y，et al.Use of parallel deterministic dynamic programming and hierarchical adaptive genetic algorithm for reservoir operation optimization［J］.Computers&Industrial Engineering，2013，65（2）：310-321.

［4］紀(jì)昌明，李傳剛，劉曉勇，等.基于泛函分析思想的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法及其在水庫(kù)調(diào)度中的應(yīng)用研究［J］.水利學(xué)報(bào)，2016，47（1）：1-9.

［5］孫平，王麗萍，蔣志強(qiáng)，等 .兩種多維動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法在梯級(jí)水庫(kù)優(yōu)化調(diào)度中的應(yīng)用［J］.水利學(xué)報(bào)，2014，45（11）：1327-1335.

［6］XU B，ZHONG P，ZAMBON R C，et al.Scenario tree reduction in stochastic programming with recourse for hy?dropower operations［J］.Water Resources Research，2015，51（8）：6359-6380.

［7］HOWSON H R，SANCHO N G F.A new algorithm for the solution of multi-state dynamic programming problems［J］.Mathematical Programming，1975，8（1）：104-116.

［8］李瑋，郭生練，郭富強(qiáng)，等.水電站水庫(kù)群防洪補(bǔ)償聯(lián)合調(diào)度模型研究及應(yīng)用［J］.水利學(xué)報(bào)，2007，38（7）：826-831.

［9］周佳，馬光文，張志剛.基于改進(jìn)POA算法的雅礱江梯級(jí)水電站群中長(zhǎng)期優(yōu)化調(diào)度研究［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2010，29（3）：18-22.

［10］程春田，楊鳳英，武新宇，等.基于模擬逐次逼近算法的梯級(jí)水電站群優(yōu)化調(diào)度圖研究［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2010，29（6）：71-77.

［11］程春田，申建建，武新宇.大規(guī)模復(fù)雜水電優(yōu)化調(diào)度系統(tǒng)的實(shí)用化求解策略及方法［J］.水利學(xué)報(bào)，2012，43（7）：785-795.

［12］馮仲愷，廖勝利，程春田，等 .庫(kù)群長(zhǎng)期優(yōu)化調(diào)度的正交逐步優(yōu)化算法［J］.水利學(xué)報(bào)，2014，45（8）：903-911.

［13］張誠(chéng)，周建中，王超，等.梯級(jí)水電站優(yōu)化調(diào)度的變階段逐步優(yōu)化算法［J］.水力發(fā)電學(xué)報(bào)，2016，35（4）：12-21.

［14］SCHARDONG A，SIMONOVIC S P.Coupled self-adaptive multi-objective differential evolution and network flow algorithm approach for optimal reservoir operation［J］.Journal of Water Resources Planning&Management，2015，141（10）：04015015.

［15］HADDAD O B，HOSSEINI-MOGHARI S M，LOAICIGA H A.Biogeography-based optimization algorithm for optimal operation of reservoir systems［J］.Journal of Water Resources Planning&Management，2016，142（1）：04015034.