一類歐拉積分公式與廣義菲涅爾積分的計算*

邢家省，楊小遠

(北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，數(shù)學、信息與行為教育部重點實驗室,北京 100191)

歐拉積分公式[1-3]是數(shù)學分析中的經(jīng)典結(jié)果.費定暉等[1]利用對含參變量積分的求導方法，給出了歐拉公式的證明，但證明過程較為繁瑣.華羅庚[3]指出，利用復圍道積分方法也可得到歐拉積分公式，但這種證明所用的知識點較多.筆者發(fā)現(xiàn)，利用歐拉積分公式可以對幾類重要的廣義積分[1-14]給出統(tǒng)一的處理，而這幾類廣義積分在現(xiàn)有文獻中是分別給予解決的，并且解決的辦法相當復雜.筆者利用積分交換次序定理[1-7]，給出了一類廣義積分的計算結(jié)果，在導出結(jié)果的過程中完全是利用數(shù)學分析自身已有的理論方法.

1 一類歐拉積分公式的簡便證明

定理1僅出現(xiàn)在文獻[4-5]中，原因是證明過程相當復雜，限制了它的傳播.筆者給出了其簡短的證明過程.

證明記

文獻[1]中給出了定理2的證明，但證明過程較為繁瑣.筆者利用對變量求導的方法，給出了簡潔的證明過程，以便于理解和應用.

對-1

定理3得證.

利用定理2，可得如下結(jié)論：

2 歐拉積分公式的直接應用

定理6[1-3]設(shè)k>0,λ>-1，則有

定理7[1-3]設(shè)k>0,λ>0，則有

3 歐拉積分公式在廣義菲涅爾積分計算中的應用

證明利用定理8、Γ函數(shù)的性質(zhì)和余元公式，[1-5]可得

證明利用定理10 和Γ函數(shù)的性質(zhì)及余元公式，[1-5]可得

定理12[1-4]設(shè)p>1，則有：

4 歐拉積分公式在一些廣義積分計算中的應用

定理15[1-4,6]設(shè)k>0,-1<λ<1，則有

于是

利用定理15，可得如下結(jié)論：

利用積分交換次序的理論方法，可以證明

(1)

利用(1)式，可得如下結(jié)論：

定理17[2,15]設(shè)k>0,0<λ<1，則有

利用(2)式，可得

于是

證明利用貝塔函數(shù)的性質(zhì)、Γ函數(shù)的性質(zhì)和余元公式，[1-5]可得

文獻[11-12]中，實際上是利用復圍道積分的理論方法進行兩道路上積分的轉(zhuǎn)換，給出了一類廣義積分的計算，其嚴格理論方法可見文獻[3].

[1] 費定暉,周學圣.吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解5[M].濟南:山東科學技術(shù)出版社,1980:709-751.

[2] 黃玉民,李成章.數(shù)學分析(下冊)[M].2版.北京:科學出版社,2007:518-556.

[3] 華羅庚,著.高等數(shù)學引論(第三冊)[M].王 元,校.北京:高等教育出版社,2009:129-133.

[4] 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2002:819-831.

[5] 常庚哲,史濟懷.數(shù)學分析教程(下冊)[M].北京:高等教育出版社,2003:344-359.

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[7] 白玉蘭,陳述濤.一個二次廣義積分的順序交換問題[J].哈爾濱師范大學自然科學學報,1987,3(3):13-18.

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[9] LEONARD I E.More on Fresnel Integrals[J].American Mathematical Monthly,1988,95(5):431-433.

[10] 邢家省,楊小遠,白 璐.兩無窮區(qū)間上積分交換次序充分條件的改進及其應用[J].四川理工學院學報(自然科學版),2016,29(1)：87-92.

[11] 邢家省,楊小遠.廣義菲涅爾積分的積分交換次序計算方法[J].四川理工學院學報(自然科學版)，2016,29(3)：85-92.

[12] 邢家省,楊小遠,白 璐.菲涅爾積分計算中的一致收斂性的證明方法[J].吉首大學學報(自然科學版)，2016，37(5)：1-9.

[13] 邢家省,楊義川，王擁軍.菲涅爾積分的幾種計算方法[J].四川理工學院學報(自然科學版)，2016,29(5)：88-96.

[14] 邢家省,楊義川,王擁軍.函數(shù)列的廣義積分的極限定理及其應用[J].吉首大學學報(自然科學版)，2016，37(6)：1-9.