斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種新求法*

何郁波

(懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 懷化 418008)

1202年，意大利數(shù)學(xué)家Leonado Fibonacci提出了一個(gè)有趣的兔子問題.某人在一處四周有圍墻的地方養(yǎng)了1對新出生的小兔，假定每對小兔出生后2個(gè)月就長成大兔，而1對大兔每月生1對小兔，并且不考慮兔子死去的情況，那么，第n個(gè)月，兔子的總對數(shù)Fn稱為斐波那契數(shù)，F(xiàn)n構(gòu)成的數(shù)列{Fn}稱為斐波那契數(shù)列，其遞推關(guān)系式為

(1)

斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法有很多[1-2].筆者擬利用冪級數(shù)法、行列式法、差分方程法和遞推關(guān)系式法，來推導(dǎo)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式.

方法1(冪級數(shù)法) 以斐波那契數(shù)列{Fn}作為冪級數(shù)[3]的系數(shù)來構(gòu)造函數(shù)f(x)，即令

(2)

利用(1)式，可得

(3)

(4)

根據(jù)函數(shù)展開成冪級數(shù)的唯一性，比較(2)，(4)式，即得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為

方法2(行列式法) 給定n階三對角行列式Dn[4]，滿足

(5)

其中a,b為實(shí)數(shù).將行列式Dn按第1行展開，得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2,從而

Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=…=bn-2(D2-aD1).

(6)

因?yàn)镈1=a+b,D2=a2+ab+b2，所以由(6)式可知Dn-aDn-1=bn，于是

Dn=aDn-1+bn=a(aDn-2+bn-1)+bn=a2Dn-2+abn-1+bn=…=an-1D1+an-2b2+…+

(7)

在(5)式中令a+b=1,ab=-1，則有

將Dn按第1行展開，得Dn=Dn-1+(-1)1+2(-1)Dn-2=Dn-1+Dn-2,n≥3.記D0=1,D1=1，顯然有Fn=Dn.

方法4(公式法) 對于(1)式，假設(shè)存在常數(shù)α,β，使得

Fn-αFn-1=β(Fn-1-αFn-2),

(8)

則α,β應(yīng)滿足α+β=1,αβ=-1，從而解得

(9)

由(8),(9)式可得

Fn-αFn-1=β(Fn-1-αFn-2)=…=βn-2(F2-αF1).

(10)

將(9)式代入(10)式，得

(11)

(12)

[1] 張新娟.斐波那契數(shù)列通項(xiàng)公式的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009，12(4):56-59.

[2] 宋庭武.用特征方程推導(dǎo)斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010,16(4):91-92.

[3] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001:47-63.

[4] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組，編.高等代數(shù)[M].王萼芳,石生明，修訂.4版.北京：高等教育出版社,2013:50-83.