艾合買提·卡斯木，熱娜·阿斯哈爾

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

近年來，排隊(duì)論中具有休假規(guī)則的排隊(duì)系統(tǒng)受到了廣泛的關(guān)注.[1-3]經(jīng)典的休假策略，是服務(wù)員在休假期間完全停止工作,但可以從事輔助任務(wù).2002年,L D Servi等[4]首次引入了具有工作休假(Working Vacation,簡稱WV)的排隊(duì)模型,即服務(wù)員在休假期間并沒有完全停止工作,而是以較低的速率為顧客服務(wù).之后,V M Chandrasekaran[5]研究了這種休假策略的排隊(duì)模型.2010年,Zhang Mian等[6]研究了具有工作休假和休假中止的M/G/1排隊(duì)模型.2016年，Ehmet Kasim[7]對該模型進(jìn)行了動態(tài)分析,即運(yùn)用C0-半群理論得到了其適定性,當(dāng)服務(wù)率為常數(shù)時(shí),再得到了時(shí)間依賴解的漸近性質(zhì).筆者擬討論在文獻(xiàn)[7] 中出現(xiàn)的3個(gè)不等式.

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，當(dāng)服務(wù)率為常數(shù)時(shí)具有工作休假和休假中止的M/G/1排隊(duì)模型(即具有工作休假和休假中止的M/M/1排隊(duì)模型)可寫為:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

P1，0(0,t)=λP0，0(t),Pn，0(0,t)=0 ?n≥2,

(6)

(7)

P0，0(0)=1,P0，1(0)=0，Pm，0(x,0)=Pm，1(x,0)=0 ?m≥1.

(8)

其中：(x,t)∈[0,∞)×[0,∞);P0,0(t)為t時(shí)刻系統(tǒng)空閑且服務(wù)員處于工作休假狀態(tài)的概率;Pn,0(x,t)dx(n≥1)為t時(shí)刻服務(wù)員處于工作休假狀態(tài)、系統(tǒng)中有n個(gè)顧客且正在接受服務(wù)的顧客已逝去的服務(wù)時(shí)間在[x,x+dx)內(nèi)的概率;Pn,1(x,t)dx(n≥1)為t時(shí)刻服務(wù)員處于正常工作狀態(tài)、系統(tǒng)中有n個(gè)顧客且正在接受服務(wù)的顧客已逝去的服務(wù)時(shí)間在[x,x+dx)內(nèi)的概率;λ為顧客的平均到達(dá)率;θ為服務(wù)員的休假間隔時(shí)間;μ0為服務(wù)員處于工作休假狀態(tài)時(shí)的服務(wù)率;μ1為服務(wù)員處于正常工作狀態(tài)時(shí)的服務(wù)率.

Ehmet Kasim[7]將方程(1)—(8)轉(zhuǎn)化成Banach空間的抽象Cauchy問題，即

并得到如下結(jié)論：

定理1集合

屬于(A+U+E)*的豫解集.這里(A+U+E)*表示A+U+E的共軛算子.

筆者將利用單調(diào)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系證明定理1蘊(yùn)含:在虛軸上，除了0之外的所有點(diǎn)都屬于(A+U+E)*的豫解集.這等價(jià)于當(dāng)γ=iω∈R{0}時(shí),如下不等式同時(shí)成立：

(9)

(10)

(11)

(12)

(9)式顯然成立.對(10)—(12)式，分別引入如下函數(shù)：

容易看出，f(ω),g(ω)和h(ω)都是初等函數(shù),它們對所有ω都連續(xù)可導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，有：

(13)

(14)

(15)

由(13)—(15)式且

可得f(ω)

在排隊(duì)論的動態(tài)分析中，求相應(yīng)主算子的豫解集時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)與(9)—(12)式類似的不等式[3,8],一般仿照上述證明方法即可驗(yàn)證.

[1] DOSHI B T.Queueing Systems with Vacations：A Survey[J].Queueing Systems,1986,1:29-66.

[2] TIAN Naishuo,ZHANG ZHE GEORGE.Vacation Queueing Models:Theory and Applications[M].New York:Springer Science,2006.

[3] GUPUR GENI.On the M/M/1 Queueing Model with Compulsory Server Vacations[J].International Journal of Pure and Applied Mathematics,2010,64:253-304.

[4] SERVI L D,FINN STEVEN G.M/M/1 Queues with Working Vacations (M/M/1/WV)[J].Performance Evaluation,2002,50(1):41-52.

[5] CHANDRASEKARAN V M,INDHIRA K,SARAVANARAJAN M C,et al.A Survey on Working Vacation Queueing Models[J].International Journal of Pure and Applied Mathematics,2016,106(6):33-41.

[6] ZHANG Mian,HOU Zhengting.Performance Analysis of M/G/1 Queue with Working Vacations and Vacation Interruption[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2010,234:2 977-2 985.

[7] KASIM EHMET.Semigroup Methods for the M/G/1 Queueing Model with Working Vacation and Vacation Interruption[J].Journal of Mathematics Research,2016,8(5):56-77.

[8] GUPUR GENI,LI Xuezhi,ZHU Guangtian.Functional Analysis Method in Queueing Theory[M].Hertfordshire:Research Information Ltd.,2001:139.