數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究現(xiàn)狀及展望

覃 淋 姚 芳

(首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100048)

0 引 言

國(guó)際HPM組織自上世紀(jì)70年代成立以來(lái)，經(jīng)過(guò)四十多年的發(fā)展，在理論與實(shí)踐研究方面都取得了較大的發(fā)展．現(xiàn)在HPM研究已由早期的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)、理論探討逐漸轉(zhuǎn)向理論研究和經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的同時(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的實(shí)踐研究．在國(guó)內(nèi)，上世紀(jì)90年代末開(kāi)始有學(xué)者關(guān)注數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要作用[1].總體而言，數(shù)學(xué)史的研究主要還是“為歷史而歷史”和“為數(shù)學(xué)而歷史”，“為教育而歷史”的研究較少．在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，“依歷史而教育”事實(shí)上是一個(gè)比較困難的研究課題．

自2005年在西安召開(kāi)了第一屆全國(guó)HPM會(huì)議以來(lái)，中國(guó)的HPM研究已走過(guò)了十多個(gè)年頭，取得了較大的發(fā)展．HPM研究的難點(diǎn)是這個(gè)領(lǐng)域的互通問(wèn)題，數(shù)學(xué)教育研究者及廣大數(shù)學(xué)教師缺乏數(shù)學(xué)史方面系統(tǒng)而專(zhuān)業(yè)的背景，而數(shù)學(xué)史專(zhuān)家在數(shù)學(xué)課程方面缺乏較為深入的了解．但近年來(lái)這種局面有所改觀．實(shí)際上，關(guān)于HPM的研究最初是在數(shù)學(xué)史研究者中展開(kāi)的，現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育研究者及一線教師也加入到這個(gè)領(lǐng)域中來(lái)，推動(dòng)了HPM研究的進(jìn)一步發(fā)展．2017年5月在大連召開(kāi)了第七屆數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會(huì)，在此次研討會(huì)上，進(jìn)行了“數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂優(yōu)質(zhì)課觀摩會(huì)”，如此以來(lái)，HPM的研究在實(shí)質(zhì)性的課堂實(shí)施層面有了較大的發(fā)展．因此，本文就近年來(lái)HPM在中國(guó)的發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行嘗試性概述．

1972年，在英國(guó)?？巳?Exeter)召開(kāi)的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME-2)上，由數(shù)學(xué)史家P S Jones和數(shù)學(xué)教育家Leo Rogers倡議，組織了一個(gè)“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)小組”(a work group on ‘history and pedagogy of mathematics’)．1976年，在德國(guó)召開(kāi)的ICME-3上，P S Jones和R Stowasser以“用數(shù)學(xué)史作為課程設(shè)計(jì)的關(guān)鍵性工具”(history of mathematics as a critical tool for curriculum design)為題，召開(kāi)了多次會(huì)議．在這次大會(huì)上，“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)小組”與國(guó)際數(shù)學(xué)教育心理學(xué)組織(the international group for the psychology of mathematics education，簡(jiǎn)稱(chēng)PME)一起成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(ICMI)下轄的兩個(gè)附屬研究小組．此時(shí)，該小組的名稱(chēng)非常冗長(zhǎng)，叫作“與ICMI合作的數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)國(guó)際研究小組”(international study group on relations between history and pedagogy of mathematics，cooperating with the international commission on mathematical instruction，簡(jiǎn)稱(chēng)ISGHPM)．

在ISGHPM成立之初，主要關(guān)注師范院校中數(shù)學(xué)史課程的開(kāi)設(shè)，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系的認(rèn)識(shí)，教育取向數(shù)學(xué)史資源的開(kāi)發(fā)，數(shù)學(xué)史的文化作用等方面[2].

1980年，在美國(guó)舉辦的ICME-4會(huì)議上，選出了ISGHPM 的兩位新主席B Meserve和R Stowasser．同年，英國(guó)數(shù)學(xué)教育家Leo Rogers 創(chuàng)辦了HPM通訊，并擔(dān)任主編，在北美也出版了類(lèi)似的HPM通訊，只不過(guò)二者都是地方性的HPM通訊．直到1984年舉辦的ICME-5會(huì)議上，兩種HPM通訊整合為HPM通訊，從此HPM通訊成為一個(gè)國(guó)際性的刊物．同年，ISGHPM以ICME-5衛(wèi)星會(huì)議的形式舉辦，此后，這一傳統(tǒng)延續(xù)至今．同時(shí)，在B Meserve的建議下，ISGHPM的名稱(chēng)也改為了今天所熟知的HPM (international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics)，現(xiàn)通常把這一研究領(lǐng)域本身稱(chēng)為HPM．

經(jīng)過(guò)四十多年的發(fā)展，HPM已經(jīng)進(jìn)入越來(lái)越多的學(xué)者的視線中，成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的重要課題之一．隨著HPM研究的持續(xù)深入，其研究范圍越來(lái)越廣，超越了對(duì)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值的探討．縱觀HPM的研究，我們發(fā)現(xiàn)，目前HPM領(lǐng)域的研究工作包括以下幾個(gè)主要方面：(1)關(guān)于“為何”及“如何”的討論．(2) 歷史相似性的實(shí)證研究．(3)教育取向的數(shù)學(xué)史研究．(4)HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及數(shù)學(xué)教材．(5)HPM與數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展．下面就這五個(gè)方面分別進(jìn)行闡述．

1 關(guān)于“為何”以及“如何”的討論

“為什么在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史？”討論的是數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，也是HPM研究討論最早最多的一個(gè)問(wèn)題．事實(shí)上，關(guān)于這一點(diǎn)，早在HPM成立以前就受到關(guān)注．法國(guó)數(shù)學(xué)家泰爾凱(O Terquem，1782—1862)在其主辦的《新數(shù)學(xué)年刊》的附錄《數(shù)學(xué)歷史、傳記與文獻(xiàn)通報(bào)》(1855)中先后刊登了一系列數(shù)學(xué)家的傳記，對(duì)與中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史專(zhuān)題非常關(guān)注．

此外，數(shù)學(xué)家德·摩根(A De Morgan，1806—1871)、鄒騰(H G Zeathen，1839—1920)等都強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用．HPM的先驅(qū)者卡約里(F Cajori，1859—1930)和史密斯(D E Smith，1860—1944)也在其著作中大力強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值．如卡約里在其著作《數(shù)學(xué)史》(1926)的前言中指出：“如果用歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的計(jì)算和證明，學(xué)生的興趣就會(huì)大大增加．……通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歷史的介紹，能夠讓學(xué)生明白：數(shù)學(xué)并不是一門(mén)呆板乏味的學(xué)科，而是一門(mén)不斷進(jìn)步且生動(dòng)有趣的學(xué)科.”[3]

在HPM成立后，學(xué)者們對(duì)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值進(jìn)行了更深入的討論．從研究情況來(lái)看，大致可分為列舉式和分類(lèi)式兩種．

蕭文強(qiáng)認(rèn)為數(shù)學(xué)史具有使數(shù)學(xué)易于親近，增進(jìn)學(xué)生理解以及滲透多元文化觀點(diǎn)等教育價(jià)值[4]．弗維爾(J Fauvel，1947—2001)列舉了激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)人文的一面，改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀，提供跨學(xué)科合作等15條運(yùn)用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)的理由[5]. 這些價(jià)值包含了學(xué)生的、教師的、課堂的、文化的、社會(huì)的層面，但缺乏一定的系統(tǒng)性．

在此基礎(chǔ)上，一些學(xué)者運(yùn)用分類(lèi)的方式討論了數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值．如有學(xué)者從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)本質(zhì)、教師教學(xué)背景和知識(shí)儲(chǔ)備、數(shù)學(xué)情感及對(duì)數(shù)學(xué)作為文化活動(dòng)的鑒賞等方面總結(jié)了數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要作用[6]. I Gulikers等建立了一個(gè)三維度的分類(lèi)框架，每個(gè)維度上都從教師和學(xué)生兩個(gè)方面論述了數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值[7]. U T Jankvist從“工具”和“目標(biāo)”兩方面討論了數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值[8].

總之，對(duì)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值的討論所涉及的范圍是非常廣的．除數(shù)學(xué)本身外，還有人文、文化、情感、認(rèn)知等方面的因素．關(guān)于數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的討論是非常重要的，它直接影響教師是否在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史，也在一定程度上影響著怎樣將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)．

雖然數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值已得到數(shù)學(xué)教育工作者的廣泛認(rèn)可，對(duì)于是否在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史也持肯定態(tài)度，但對(duì)于“如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)”，卻仍無(wú)定論，不同學(xué)者有不同的觀點(diǎn)．

弗維爾總結(jié)了在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的12種方法[5]，C Tzanakis等總結(jié)了在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的三種方式[6]：(1)提供直接的歷史信息；(2)借鑒歷史進(jìn)行教學(xué)；(3)通過(guò)數(shù)學(xué)及其文化背景發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)．U T Jankvist則提出了另外的3種方法[8]：(1)講述法，即在教學(xué)過(guò)程中補(bǔ)充相關(guān)的歷史信息；(2)模塊法，即設(shè)計(jì)一些與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史專(zhuān)題；(3)歷史啟發(fā)法，這是一種間接運(yùn)用歷史的方法，如發(fā)生教學(xué)法．

此外，還有學(xué)者提出了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的一些教學(xué)模式，具有較強(qiáng)的實(shí)踐性．如L Radford提出的“歷史-心理認(rèn)知發(fā)展模式”[6].

國(guó)內(nèi)有學(xué)者做過(guò)此方面的研究，如洪萬(wàn)生提出的“資源聯(lián)絡(luò)教學(xué)模式”[9]，該模式細(xì)分了3類(lèi)材料：原始文獻(xiàn)、二手材料和教學(xué)材料．其中第一、二項(xiàng)材料是數(shù)學(xué)史研究范圍內(nèi)的工作，而教學(xué)材料則是在原始文獻(xiàn)和二手材料啟發(fā)下形成的，這三類(lèi)材料都是為教學(xué)服務(wù)的．蘇意雯提出了“邏輯、歷史、學(xué)生認(rèn)知”三面向的教學(xué)模式[10]，學(xué)習(xí)工作單是該教學(xué)模式的一個(gè)具體體現(xiàn)．汪曉勤在已有研究的基礎(chǔ)上，提出了附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式4類(lèi)運(yùn)用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)的方法[11].

雖然學(xué)者們提出了各種融歷史于數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，但在教學(xué)實(shí)踐中并不容易操作．實(shí)際教學(xué)中，教師需要根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來(lái)采取不同的方式融入數(shù)學(xué)史料．這里我們將教師對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)分為三個(gè)層次：(1) 沒(méi)有融數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)的意識(shí)，稱(chēng)為意識(shí)層面的“無(wú)米之炊”．(2)有融數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)的意識(shí)，但沒(méi)有可供使用的數(shù)學(xué)史料，稱(chēng)為材料層面的“無(wú)米之炊”．(3)有融數(shù)學(xué)史于教學(xué)的意識(shí)和可供教學(xué)使用的史料，但不知如何將史料融入教學(xué)，或是低水平的融入史料，稱(chēng)為方法層面的“無(wú)米之炊”．其中(1)(2)是在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史料的前提，(3)是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界是“無(wú)痕融入”，在不增加學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的前提下幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的困難．即通過(guò)人類(lèi)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過(guò)程，來(lái)尋求學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遭遇的困難的解決途徑，真正做到學(xué)生學(xué)習(xí)的是數(shù)學(xué)，而不是數(shù)學(xué)史．

2 歷史相似性的實(shí)證研究

所謂歷史相似性，也叫歷史發(fā)生原理，是指?jìng)€(gè)體的認(rèn)知發(fā)展遵循人類(lèi)的認(rèn)知發(fā)展．追溯此觀點(diǎn)的歷史，可上溯到19世紀(jì)．

法國(guó)哲學(xué)家孔德(A Comte，1798—1857)認(rèn)為，個(gè)體教育必然在其次第連續(xù)的重大階段仿效群體的教育，在感情上如此，思想上亦是如此[12]. 斯賓塞(H Spenser，1820—1903)進(jìn)一步明確指出[13]：“兒童所受的教育在方式和安排上都必須同歷史上人類(lèi)的教育一致，即個(gè)體知識(shí)的起源遵循種族知識(shí)的起源．”后來(lái)這一觀點(diǎn)得到了數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家的認(rèn)同，他們認(rèn)為個(gè)體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上也遵循歷史發(fā)生原理．

不過(guò)，早期學(xué)者似乎認(rèn)為，個(gè)體知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程與人類(lèi)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程具有嚴(yán)格相似性．隨著研究的深入，人們已逐漸擺脫了“嚴(yán)格相似性”的狹隘觀點(diǎn)．此后，一些學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了更為詳細(xì)的論述．如龐加萊(1899)認(rèn)為[14]：“教育工作者的任務(wù)是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先的經(jīng)歷，迅速通過(guò)某些階段而不跳過(guò)任何階段.”史密斯(1900)認(rèn)為，“困擾世界的東西也會(huì)以相似的方式困擾兒童，兒童在其發(fā)展過(guò)程中會(huì)以類(lèi)似的方式來(lái)克服類(lèi)似的困難.”[15]F·克萊因(1932)指出[16]：“個(gè)體的成長(zhǎng)要經(jīng)歷種族成長(zhǎng)的所有階段，順序相同，只是所經(jīng)歷的時(shí)間縮短．而教授數(shù)學(xué)和其他任何事情一樣，至少在一般意義上要遵循這項(xiàng)定律，教學(xué)應(yīng)慢慢將其引向更高級(jí)的事物，遵循人類(lèi)從知識(shí)的原始狀態(tài)到更高級(jí)形式的道路.”

波利亞(1965)指出，“教一門(mén)學(xué)科(或概念)時(shí)，應(yīng)當(dāng)讓孩子重復(fù)人類(lèi)思維發(fā)展那些關(guān)鍵性步驟．……在了解人類(lèi)是怎樣獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)之后，才能更好地判斷孩子應(yīng)該怎樣去學(xué)習(xí)這些知識(shí).”[17]弗賴(lài)登塔爾(H Freudenthal，1905—1990)強(qiáng)調(diào)“年輕人的學(xué)習(xí)應(yīng)該重蹈人類(lèi)的學(xué)習(xí)過(guò)程，盡管方式變了.”[18]

從以上名家的論述，可以得出最明顯的結(jié)論：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的順序，歷史是教學(xué)的指南．歷史相似性的實(shí)證研究很重要，只要對(duì)某一數(shù)學(xué)內(nèi)容的歷史相似性得到驗(yàn)證，就可以通過(guò)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中遇到的問(wèn)題來(lái)預(yù)測(cè)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遇到的認(rèn)知困難，根據(jù)學(xué)生的問(wèn)題所在，進(jìn)行針對(duì)性的教學(xué)，幫助學(xué)生克服障礙.

國(guó)外較早做這方面工作的是P Harper(1987)，他利用丟番圖著作《算術(shù)》中的問(wèn)題，對(duì)兩所學(xué)校1～6年級(jí)144名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)符號(hào)代數(shù)的理解與符號(hào)代數(shù)的發(fā)展過(guò)程具有歷史相似性[19]. L E Moreno等調(diào)查了36名尚未接觸實(shí)無(wú)窮概念的數(shù)學(xué)系大一學(xué)生，發(fā)現(xiàn)他們?cè)诿媾R包含無(wú)窮小概念的問(wèn)題時(shí)，其反應(yīng)和歷史上數(shù)學(xué)家的反應(yīng)是相似的[20]. A Bakker的研究則表明學(xué)生對(duì)平均值的理解與歷史上人們對(duì)平均數(shù)的理解具有相似性[21]．Y Thomaidis等就負(fù)數(shù)大小關(guān)系問(wèn)題對(duì)初中生進(jìn)行了測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的理解和所犯錯(cuò)誤與歷史上數(shù)學(xué)家的理解和所犯錯(cuò)誤，在某種程度上相似[22].

國(guó)內(nèi)學(xué)者在這一方面也做過(guò)一些研究．如汪曉勤等借鑒西方學(xué)者的研究方法，考察高一學(xué)生在“虛數(shù)相乘問(wèn)題”和“無(wú)窮級(jí)數(shù)求和問(wèn)題”的認(rèn)知上是否與歷史上數(shù)學(xué)家們的理解具有相似性．結(jié)果表明：高一學(xué)生對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)在很大程度上重蹈了歷史發(fā)展過(guò)程[23]. 此外，還有一些學(xué)位論文涉及此方面的研究[24-25].

從實(shí)證研究的具體內(nèi)容來(lái)看，涉及范圍很廣，包括代數(shù)、函數(shù)、三角、數(shù)列、級(jí)數(shù)、古典概率、平均值等．相關(guān)統(tǒng)計(jì)表明，HPM領(lǐng)域的實(shí)證研究論文僅有100多篇[26].

3 教育取向的數(shù)學(xué)史研究

最初，數(shù)學(xué)史的研究目的是“為歷史而歷史”和“為數(shù)學(xué)而歷史”，隨著數(shù)學(xué)史研究的深入以及國(guó)際HPM組織的建立與發(fā)展，“為教育而歷史”也成為數(shù)學(xué)史研究的主要目的之一．“為教育而歷史”是HPM研究的基礎(chǔ)性工作．只有了解一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、數(shù)學(xué)概念、公式、定理和符號(hào)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，才能討論概念理解的歷史相似性和借鑒歷史進(jìn)行教學(xué)．

早在19世紀(jì)，就有學(xué)者開(kāi)始關(guān)注與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史專(zhuān)題[27]. 泰爾凱曾關(guān)注以下問(wèn)題：圓錐曲線的歷史、對(duì)數(shù)的歷史、概率論的歷史等．卡約里早年也曾研究過(guò)許多這類(lèi)問(wèn)題：為什么用x表示未知數(shù)？為什么等差數(shù)列又叫算術(shù)級(jí)數(shù)？“數(shù)學(xué)歸納法”的名稱(chēng)是如何產(chǎn)生的？這些問(wèn)題具有明顯的教育取向．教育取向的數(shù)學(xué)史研究主要是對(duì)教材中相關(guān)數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、術(shù)語(yǔ)等的起源和演進(jìn)歷程進(jìn)行研究，不是為歷史而歷史，是為教育而歷史．美國(guó)的MathematicsTeacher雜志就刊登有不少這方面的文獻(xiàn)[28].

國(guó)內(nèi)學(xué)者在這一方面做過(guò)不少研究，如汪曉勤等的《中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史》(2002)就是較早的文獻(xiàn)之一[29]. 文獻(xiàn)[30]考察了歷史上最早構(gòu)造的弦表，并詳細(xì)分析了它的構(gòu)造原理．此外，還有許多研究涉及圓周率π、數(shù)列、圓錐曲線等的歷史[31-33].

從研究?jī)?nèi)容可看出，HPM為數(shù)學(xué)史的研究提供了比較豐富的問(wèn)題．在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師常會(huì)遇到學(xué)生提出的各種各樣的為什么？但并不是所有的為什么都可以通過(guò)邏輯的手段來(lái)解決，如以下一些問(wèn)題：

虛數(shù)是虛無(wú)飄渺的數(shù)嗎？

無(wú)理數(shù)是毫無(wú)道理的數(shù)嗎？

為什么稱(chēng)未知數(shù)為“元”？

“象限”、“卦限”是如何來(lái)的？

再如，為什么一天有24小時(shí)？一周有7天？為什么直角是90°，平角是180°？[34]諸如此類(lèi)的問(wèn)題，邏輯手段無(wú)法解決，只有借助歷史的手段，才能給出一個(gè)比較完美的解釋?zhuān)?/p>

4 HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)及數(shù)學(xué)教材

將數(shù)學(xué)史知識(shí)與具體教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，一直是HPM研究的主要目的之一，迄今為止，已積累了較多的案例．1995年，美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)在國(guó)家科學(xué)基金的資助下成立了數(shù)學(xué)史及其教學(xué)應(yīng)用研究所，專(zhuān)門(mén)致力于開(kāi)發(fā)運(yùn)用數(shù)學(xué)史于課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)．V J Katz主編的UsingHistorytoTeachMathematics：AnInternationalPerspective(2000)中也涉及了一些教學(xué)案例，書(shū)中還提出了HPM視角下教學(xué)設(shè)計(jì)的具體步驟[35]：(1)了解所講授主題的歷史發(fā)展過(guò)程．(2)確定該主題歷史發(fā)展過(guò)程中的主要步驟．(3)選擇合適的話題對(duì)歷史材料進(jìn)行改編、重構(gòu)，使其適合課堂教學(xué)．(4)設(shè)計(jì)一系列聯(lián)系緊密的問(wèn)題．

如P Ransom選取歷史上的勾股定理應(yīng)用問(wèn)題用于教學(xué)[36]，M Kool選擇了16世紀(jì)荷蘭教科書(shū)中的年齡問(wèn)題、行程問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)，并將原教科書(shū)中的解法稱(chēng)作“班級(jí)中額外的一名學(xué)生”.[37]

在臺(tái)灣，基于HPM的教學(xué)設(shè)計(jì)主要采取學(xué)習(xí)工作單的形式．大陸也有不少基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例設(shè)計(jì)，如文獻(xiàn)[38]以橢圓為例，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于HPM視角的教學(xué)設(shè)計(jì)．文中首先通過(guò)對(duì)橢圓發(fā)展歷史的研究，將橢圓的歷史分為橢圓的發(fā)現(xiàn)、截線定義形成、焦半徑性質(zhì)的獲得、機(jī)械作圖的產(chǎn)生等7個(gè)環(huán)節(jié)．然后教學(xué)設(shè)計(jì)從球的影子、水杯等實(shí)例出發(fā)，利用旦德林雙球，推導(dǎo)出橢圓焦半徑性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了古希臘截線定義到課本軌跡定義的自然過(guò)渡[38].

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步的研究則是將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材，這也是HPM一直所關(guān)注的一個(gè)課題. 從目前的研究來(lái)看，主要集中在以下幾方面：一是對(duì)教材中的數(shù)學(xué)史料進(jìn)行分類(lèi)和統(tǒng)計(jì)[39]，二是就數(shù)學(xué)史料融入數(shù)學(xué)教材的方式、原則等進(jìn)行討論[40]，三是從HPM的視角對(duì)不同教材就具體內(nèi)容進(jìn)行比較[41].

雖然許多數(shù)學(xué)教育工作者已認(rèn)識(shí)到應(yīng)該在數(shù)學(xué)教材中融入數(shù)學(xué)史，教材中的數(shù)學(xué)史應(yīng)該是衡量教材質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)之一．但對(duì)于數(shù)學(xué)史如何融入數(shù)學(xué)教材、史料的選擇標(biāo)準(zhǔn)等問(wèn)題，并沒(méi)有一個(gè)較為清晰的認(rèn)識(shí)．

5 HPM與數(shù)學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展

在HPM成立之初，主要討論數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，并未與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展聯(lián)系在一起．隨著HPM研究的持續(xù)深入，HPM與教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展這一主題引起了研究者的廣泛關(guān)注．

實(shí)際上，早在上世紀(jì)20年代，已有學(xué)者認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史在職前教師教育中的重要性[42]．1998年，在法國(guó)舉辦的“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用”的國(guó)際研討會(huì)，主題之一便是數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的價(jià)值．2012年在韓國(guó)召開(kāi)的ICME-12的HPM衛(wèi)星會(huì)議上，其中兩場(chǎng)專(zhuān)題討論的主題之一，便是“為什么職前教師需要數(shù)學(xué)史？”[26]在HPM2012會(huì)議上，U T Jankvist等指出，MKT(mathematical knowledge for teaching)應(yīng)成為HPM研究的一個(gè)重要方向，并認(rèn)為數(shù)學(xué)史可以促進(jìn)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展[43].

相關(guān)研究也表明HPM對(duì)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展有促進(jìn)作用．蘇意雯通過(guò)個(gè)案研究了教師實(shí)施HPM教學(xué)后的改變，研究發(fā)現(xiàn)：教師的反思和批評(píng)能力增強(qiáng)了，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)更為宏觀，由教師為中心轉(zhuǎn)向了以學(xué)生為主體的教學(xué)[10]. 汪曉勤通過(guò)個(gè)案研究[11]，發(fā)現(xiàn)初中教師在HPM介入教學(xué)后，發(fā)生了以下變化：教師逐漸形成了自己的教學(xué)風(fēng)格，對(duì)教材的批判能力有了提升，對(duì)教材的拓展意識(shí)有了增強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律有了更深刻的理解．

總之，目前相關(guān)研究已表明，HPM對(duì)數(shù)學(xué)教師而言，至少有以下幫助：(1)促進(jìn)教師對(duì)數(shù)學(xué)的理解，改變教師的數(shù)學(xué)觀;(2)幫助教師理解學(xué)生，預(yù)測(cè)學(xué)生的認(rèn)知障礙;(3)滲透數(shù)學(xué)的文化價(jià)值;(4)促進(jìn)教師教學(xué)觀念的轉(zhuǎn)變．

6 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，在HPM研究領(lǐng)域，關(guān)于“為何”和“如何”的討論比較多，但“如何”的討論是見(jiàn)仁見(jiàn)智，迄今并無(wú)定論．歷史相似性實(shí)證研究的案例較少，其研究方法有待改善，研究工具也待開(kāi)發(fā)．教育取向的數(shù)學(xué)史研究盡管文獻(xiàn)較多，但仍需HPM研究者及中小學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步合作．雖然一線教師認(rèn)可數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，但許多因素都制約著教師在課堂上運(yùn)用數(shù)學(xué)史，如課時(shí)、考試、可用于教學(xué)的史料的缺乏以及教師本身等．HPM與教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展是HPM近年來(lái)研究的重要方向之一，目前國(guó)內(nèi)很多師范院校都開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)史課程，但與數(shù)學(xué)實(shí)際課堂的融入研究需要進(jìn)一步開(kāi)發(fā)．不少學(xué)者認(rèn)為為職前教師開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)史課程，不能只停留在講講故事、看看圖片的表面層次上．但對(duì)于具體如何操作，師范院校的數(shù)學(xué)史課程應(yīng)該包含哪些內(nèi)容？應(yīng)該以怎樣的形式開(kāi)設(shè)？如何通過(guò)數(shù)學(xué)史知識(shí)提高數(shù)學(xué)教師的教學(xué)技能？數(shù)學(xué)史可以促進(jìn)職前教師哪些方面的發(fā)展？這些問(wèn)題并沒(méi)有清晰的認(rèn)識(shí)．

從上述分析可以看出，目前HPM研究領(lǐng)域的一些不足之處．(1)研究工具缺乏，研究方法不夠完善．(2) 理論研究與教學(xué)實(shí)踐存在鴻溝．HPM和PME在ICME-3大會(huì)上同時(shí)成為ICMI下轄的附屬組織．但PME的研究工具和方法都已有較大的發(fā)展，在目前國(guó)際數(shù)學(xué)教育界占據(jù)比較重要的地位．相比而言，HPM研究則缺乏比較科學(xué)、系統(tǒng)的研究工具，在研究規(guī)范方面也有待提高．雖然一些教育上的實(shí)驗(yàn)表明，在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史料能夠在一定程度上提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，但對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)影響并不明顯[44]. 這在一定程度上影響著教師對(duì)數(shù)學(xué)史的態(tài)度，導(dǎo)致HPM研究成果在課堂實(shí)踐中遭遇“高評(píng)價(jià)，低應(yīng)用”．HPM2012大會(huì)的主要議題之一便是“融歷史于數(shù)學(xué)教育的理論框架”，會(huì)議上，T H Kjeldsen所作大會(huì)報(bào)告“為數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)運(yùn)用數(shù)學(xué)史：融數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教育的一個(gè)理論框架”，就是這方面的一個(gè)討論[45]. 在HPM2016上，該議題仍是大會(huì)的主要內(nèi)容之一．

因此，在未來(lái)HPM研究中，關(guān)于‘HPM研究’的方法論研究應(yīng)該是后續(xù)HPM研究的重要方向之一．只有建立合理的理論框架、科學(xué)系統(tǒng)的研究工具、規(guī)范的研究方法，HPM的研究成果才能被更多的學(xué)者接受，才能更具生命力．

HPM研究中另一個(gè)值得關(guān)注的方向是HPM與PME相結(jié)合的研究．從直覺(jué)上而言，數(shù)學(xué)史可以通過(guò)影響人的非智力因素(如情感、態(tài)度、信念等)來(lái)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知和思考有積極影響．

HPM和PME是數(shù)學(xué)教育研究的兩個(gè)重要領(lǐng)域，但二者也有一些不同之處．PME的關(guān)注點(diǎn)在‘人’，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)認(rèn)知，討論如何讓人更容易的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．HPM的關(guān)注點(diǎn)在‘?dāng)?shù)學(xué)’本身，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的人文性和文化價(jià)值，討論如何讓數(shù)學(xué)更接近人[44]. 從二者的發(fā)展情況來(lái)看，雖然HPM比PME更早成立，但PME已成為數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)基礎(chǔ)性領(lǐng)域，PME每年輪流在世界各地區(qū)舉行年會(huì)，有自己的一套規(guī)范的研究方法．HPM則還處于一個(gè)經(jīng)驗(yàn)積累的階段，沒(méi)有一套規(guī)范的研究方法，在許多方面還未達(dá)成共識(shí)．因此，在HPM與PME相結(jié)合的研究中，除了研究數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過(guò)程的影響,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過(guò)程與數(shù)學(xué)思維發(fā)展的歷史進(jìn)程之間的關(guān)系以及歷史上數(shù)學(xué)家們解決問(wèn)題的心理和思維過(guò)程外，還應(yīng)借鑒PME的研究方法，開(kāi)發(fā)出適合HPM研究的工具．