孫　雪，李秀英，唐玉潔

（常熟理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

1　引言

隨著研究的問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，近年來(lái)提出的一些分?jǐn)?shù)階模型中，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階不再是一個(gè)固定的常數(shù)，而是會(huì)隨時(shí)間或空間變化而變化的一個(gè)函數(shù)，這就出現(xiàn)了變分?jǐn)?shù)階微分方程. 變分?jǐn)?shù)階微分方程可以更好地模擬蛋白質(zhì)的松弛過(guò)程、人造橡膠的磁力流變性質(zhì)、地下水的運(yùn)動(dòng)過(guò)程等很多現(xiàn)象，為實(shí)際應(yīng)用中很多復(fù)雜問(wèn)題的研究提供幫助. 變分?jǐn)?shù)階微分方程已經(jīng)成功應(yīng)用于物理、數(shù)據(jù)處理、信號(hào)處理等領(lǐng)域，應(yīng)用前景十分廣闊，因此，對(duì)變分?jǐn)?shù)階微分方程的研究是非常有意義的. 關(guān)于變分?jǐn)?shù)階非局部問(wèn)題存在唯一性的研究已經(jīng)有了一些成果[1－3]. 由于變分?jǐn)?shù)階微分方程含有變階指數(shù)部分，相應(yīng)的數(shù)值求解方法的研究更為復(fù)雜，相關(guān)的研究成果也相對(duì)較少，還有待進(jìn)一步深入研究.

再生核希爾伯特空間及其相關(guān)理論不僅在信號(hào)分析、統(tǒng)計(jì)與優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)理論等方面具有重要的應(yīng)用，也是函數(shù)逼近的理想空間框架，該空間的函數(shù)近似具有一致收斂性，而且，近似函數(shù)的Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)仍然具有一致收斂性. 因此，再生核希爾伯特空間也是Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)數(shù)值處理的理想空間框架. 近年來(lái)，在此空間框架下，充分利用再生核希爾伯特空間相關(guān)理論的優(yōu)勢(shì)，我們研究了微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值方法，取得了一定的研究成果[4－8]. 本文將在再生核希爾伯特空間框架下研究變分?jǐn)?shù)階非局部邊值問(wèn)題的再生核配置法.

2　數(shù)值方法

考慮下面的變分?jǐn)?shù)階非局部問(wèn)題：

其中Dα(x)表示α階Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，是線性非局部邊界條件算子，f(x)滿足解的存在唯一性.

Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Dα(x)u(x)定義為：

設(shè){x1,x2,…,xN}是區(qū)間[0,1]上的點(diǎn)集，記ψi(x)=K(x,xi),i=1,2,…,N，其中K(x,y)是再生核空間W3[0,1]再生核函數(shù)，我們尋求如下形式的近似解：

其中ci，di是待定常數(shù)，

令（2）在內(nèi)部點(diǎn)滿足（1），邊界滿足定解條件，可得

注意到未知數(shù)ci，di的個(gè)數(shù)有N+M個(gè)，而（3）的方程個(gè)數(shù)為N，剩下的M個(gè)方程通過(guò)下面的限制獲得

結(jié)合（3）和（4）便可求得未知系數(shù)ci，di.

為了分析近似解uN,M(x)的誤差，我們定義余項(xiàng)函數(shù)為

定理1.1如果則存在一個(gè)正常數(shù)c，滿足

證明注意到

因?yàn)棣譱(x),pl(x)∈C4[0,1]，從而可得RN,M(x)∈C2[0,1].

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，可以得到

命題得證.

3　數(shù)值算例

考慮下面的變分?jǐn)?shù)階非局部問(wèn)題

圖1　近似解的絕對(duì)誤差

參考文獻(xiàn)：

[1]BAI Z. On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem[J]. Nonlinear Anal， 2010， 72： 916－924.

[2]ZHONG W， LIN W. Nonlocal and multiple－point boundary value problem for fractional differential equations[J]. Comput Math Appl，2010， 59： 1345－1351.

[3]ZHANG X G， HAN Y F. Existence and uniqueness of positive solutions for higher order nonlocal fractional differential equations[J]. Appl Math Lett， 2012， 25： 555－560.

[4]GENG F Z， QIAN S P， LI S. A numerical method for singularly perturbed turning point problems with an interior layer[J].Journal of Computational and Applied Mathematics， 2013， 255：97－105.

[5]CUI M G， LIN Y Z. Nonlinear Numerical Analysis in Reproducing Kernel Space[M]. New York： Nova Science Pub. Inc.，2009：15－50.

[6]GENG F Z， CUI M G. Solving a nonlinear system of second order boundary value problems[J]. J Math Anal Appl， 2007，327：1167－1181.

[7]LI X Y， WU B Y. A continuous method for nonlocal functional differential equations with delayed or advanced arguments[J]. J Math Anal Appl， 2014， 409： 485－493.

[8]LI X Y， WU B Y. A new numerical method for variable order fractional functional differential equations[J]. Appl Math Lett，2017， 68： 80－86.

[9]LI X Y， WU B Y. Error estimation for the reproducing kernel method to solve linear boundary value problems[J]. J Comp Appl Math， 2013， 243： 10－15.