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      Bergman-Hartogs域上的兩類雙全純映照子族

      2018-04-03 01:21:01王朝君崔艷艷
      關(guān)鍵詞:雙全河南大學(xué)周口

      王朝君,崔艷艷,劉 浩

      (1.周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 周口 466001; 2.河南大學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究所,河南 開封 475001)

      1 預(yù)備知識(shí)

      1995年,Roper-Suffridge算子的引入在單變量解析函數(shù)與多復(fù)變量雙全純映照之間架起了一座橋梁,也為在多復(fù)變空間中構(gòu)造具有特殊幾何性質(zhì)的雙全純映照提供了保障.雙全純映照及其延拓主要研究各類雙全純映照子族,而隨著各類雙全純映照子族的不斷出現(xiàn),其在Roper-Suffridge延拓算子下的幾何不變性引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.

      本文將Roper-Suffridge延拓算子進(jìn)一步推廣為

      F(w,z)=(w(1)(f′(z1))δ1,…,w(s)(f′(z1))δs,f(z1)+G([f′(z1)]γz0),(f′(z1))γz0)′.

      (1)

      F(z)=(f(z1)+G([f′(z1)]γz0),(f′(z1))γz0)′.

      (2)

      下面主要討論算子(1)在域

      上保持α次β型螺形映照及復(fù)數(shù)λ階殆星映照的性質(zhì),并得到算子(2)也具有同樣性質(zhì).

      引理1[1]設(shè)Ω∈Cn是有界星形圓形域,其Minkowski泛函ρ(z)除去一個(gè)低維流形Ω0外一階可導(dǎo),則?z=(z1,…,zn)∈ΩΩ0,

      引理4[3]設(shè)f(z)是單位圓盤D上的正規(guī)化雙全純函數(shù),α≥2,則

      2 主要結(jié)論及其證明

      (3)

      由引理2得

      (4)

      其中

      (5)

      則q(z1)∈H(D),|q(z1)|<1且

      (6)

      (1+2)I=2α(1-itanβ)G(w,z)+(i2αtanβ-1)(1+2)=

      (7)

      (8)

      從而由(7)—(8)式及引理5―7得

      注1在定理1中若只考慮算子(1)中的后兩個(gè)元素,則得到算子(2)在單位球Bn上也保持α次β型螺形性.若令β=0,則得到相應(yīng)的關(guān)于α次星形映照的結(jié)論.

      證明由復(fù)數(shù)λ階殆星映照的定義,只需證明

      (9)

      (10)

      由f(z1)是D上的復(fù)數(shù)λ階殆星函數(shù)知Req(z1)>0,q(z1)∈H(D),q(0)=1且

      (11)

      由引理8,

      (12)

      根據(jù)(4),(10)與(11)式,

      與定理1類似論證可得結(jié)論成立.

      [參考文獻(xiàn)]

      [1]LIU T S,REN G B.Growth theorem of convex mappings on bounded convex circular domains[J].Science in China,1998,41(2):123-130.

      [2]唐言言.Bergman-Hartogs型域上的Roper-Suffridge算子[D].開封:河南大學(xué),2016.

      [3]MUIR J R.A class of Loewner chain preserving extension operators[J].J Math Anal Appl,2008,337(2):862-879.

      [4]AHLFORS L V.Complex analysis [M].3rd ed.New York:Mc Graw-Hill Book Co,1979:123-128.

      [5]DUREN P L.Univalent functions[M].New York:Springer-Verlag,1983:57-58.

      [6]GRAHAM I,KOHR G.Geometric function theory in one and higher dimensions[M].New York:Marcel Dekker,2003:27-32.

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