• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看

      ?

      2-距離空間中(ψ,φ,θ)-壓縮映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

      2018-04-03 01:21:30劉麗亞
      關(guān)鍵詞:偏序不動(dòng)點(diǎn)重合

      劉麗亞,谷 峰

      (杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

      1 預(yù)備知識(shí)

      1963年,G?lhler[1]首次引入了2-距離空間的概念,并較為深入地討論了這一空間的拓?fù)湫再|(zhì).1976年,Iséki等[2]開(kāi)始研究關(guān)于2-距離空間中映象的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.隨后,2-距離空間中的不動(dòng)點(diǎn)理論得到了較大發(fā)展.[3-9]受上述文獻(xiàn)啟發(fā),本文在完備的2-距離空間中,引入一類新的(ψ,φ,θ)-型壓縮條件,并在此條件下研究重合點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性問(wèn)題,得到了一個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理,在很大程度上推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的一些結(jié)果.

      定義1[9]設(shè)X是非空集,d:X×X×X→[0,+∞),滿足:

      (1) 對(duì)每一對(duì)點(diǎn)a,b∈X,a≠b,存在一點(diǎn)c∈X,使得d(a,b,c)≠0;

      (2)d(a,b,c)=0,當(dāng)且僅當(dāng)a,b,c中至少有二元相等;

      (3)d(a,b,c)=d(a,c,b)=d(b,c,a)=d(b,a,c)=d(c,a,b)=d(c,b,a);

      (4)d(a,b,c)≤d(a,b,x)+d(a,x,c)+d(x,b,c),其中x∈X.

      則稱(X,d)為2-距離空間.

      定義2[9](1) 序列{xn}稱為2-距離空間(X,d)中的收斂序列,如果存在x∈X,使得

      (2) 設(shè){xn}是2-距離空間(X,d)中的序列.{xn}稱為X中的Cauchy列,如果

      (3) 2-距離空間(X,d)稱為完備的,如果X中的每一Cauchy列都是X中的收斂列.

      定義3[9]設(shè){xn}是2-距離空間.d稱為是X上的連續(xù)2-距離,如果它關(guān)于三個(gè)變量中的兩個(gè)序列連續(xù).

      定義4[10]設(shè)(X,?)為2-距離空間(X,d)的一個(gè)偏序集,F(xiàn):X→X,ɡ:X→X為兩個(gè)映象.則:

      (1) 稱F是ɡ-不減的,如果?x1,x2∈X,ɡx1?ɡx2?Fx1?Fx2;

      (2) 稱F是ɡ-不增的,如果?x1,x2∈X,ɡx1?ɡx2?Fx1Fx2.

      定義5[11]稱x∈X是映象對(duì)F:X→X和ɡ:X→X的重合點(diǎn),如果Fx=ɡx.

      定義6[11]稱x∈X是映象對(duì)F:X→X和ɡ:X→X的公共不動(dòng)點(diǎn),如果Fx=ɡx=x.

      定義7[11]設(shè)X為非空集,x∈X.映象對(duì)F:X→X和ɡ:X→X稱為在x處是可交換的,若ɡFx=Fɡx.

      引理1[1]設(shè)(X,d)是完備的2-距離空間,{yn}是X中的序列,滿足

      若{yn}不是X中的Cauchy列,則必存在某a0∈X,ε0>0以及正整數(shù)列{mi},{ni},使得:

      (ⅰ)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);

      (ⅱ)d(ymi,yni,a0)≥ε0,d(ymi-1,yni,a0)<ε0,i=1,2,3,….

      2 主要結(jié)果

      本文假設(shè)ψ,φ和θ為以下三種類型的函數(shù)[12]:

      (Ⅰ) 函數(shù)ψ:[0,∞)→[0,∞)滿足:(1)ψ是非減的且關(guān)于每個(gè)變?cè)沁B續(xù)的;(2)ψ(t)=0,當(dāng)且僅當(dāng)t=0.

      (Ⅱ) 函數(shù)φ:[0,∞)→[0,∞)滿足:(1)φ是下半連續(xù)的;(2)φ(t)=0,當(dāng)且僅當(dāng)t=0.

      (Ⅲ) 函數(shù)θ:[0,∞)→[0,∞)滿足:(1)θ是連續(xù)的;(2)θ(t)=0,當(dāng)且僅當(dāng)t=0.

      定理1設(shè)(X,?)是2-距離空間(X,d)上的偏序集.ɡ:X→X為X上的自映象,映象F:X→X是ɡ-不減的,且與ɡ在重合點(diǎn)處可交換.?x0∈X使得ɡx0?Fx0.對(duì)于?x,y,a∈X,滿足

      ψ(d(Fx,Fy,a))?ψ(M(x,y))-φ(M(x,y))+Lθ(N(x,y)).

      (1)

      其中:實(shí)數(shù)L≥0;

      N(x,y)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡy,Fy,a),d(ɡx,Fy,a),d(ɡy,Fx,a)}.

      如果F(x)?ɡ(X),且ɡ(X)是完備的,則ɡ和T在X中有公共不動(dòng)點(diǎn).

      證明由已知條件,?x0∈X滿足ɡx0?Fx0.又由于F(x)?ɡ(X),所以?x1∈X,使得ɡx1=Fx0.同理可知,?x2∈X使得ɡx2=Fx1.又由ɡx0?Fx0可知ɡx0?ɡx1.由于映象F是ɡ-不減的,所以

      ɡx1=Fx0?Fx1=ɡx2.

      依次類推,可得到X中的一個(gè)序列{xn},ɡxn+1=Fxn,n=0,1,2,…,滿足

      ɡx0?ɡx1?ɡx2?…?ɡxn?ɡxn+1?….

      (2)

      在(1)式中令(x,y)=(xn,xn+1),由(2)式可得

      ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))=ψ(d(Fxn,F(xiàn)xn+1,a))≤
      ψ(M(xn,xn+1))-φ(M(xn,xn+1))+Lθ(N(xn,xn+1)).

      (3)

      其中

      (4)

      N(xn,xn+1=min{d(ɡxn,Fxn,a),d(ɡxn+1,Fxn+1,a),d(ɡxn,Fxn+1,a),d(ɡxn+1,Fxn,a)}=
      min{d(ɡxn,ɡxn+1,a),d(ɡxn+1,ɡxn+2,a),d(ɡxn,ɡxn+2,a),d(ɡxn+1,ɡxn+1,a)}=0.

      (5)

      在(3)式中令a=ɡxn,那么(4)式可整理為

      (6)

      當(dāng)a=ɡxn時(shí),結(jié)合(5)和(6)式,(3)式可整理為

      ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,ɡxn))=ψ(d(Fxn,Fxn+1,ɡxn))≤
      ψ(d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1))-φ(d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)).

      當(dāng)d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)>0時(shí),上式出現(xiàn)矛盾,即

      d(ɡxn,ɡxn+2,ɡxn+1)=0,?n=0,1,2,….

      (7)

      當(dāng)d(ɡxn,ɡxn+1,a)0,否則將導(dǎo)致d(ɡxn,ɡxn+1,a)<0,矛盾.于是,根據(jù)(4)和(7)式,

      M(xn,xn+1)=d(ɡxn+1,ɡxn+2,a).

      再由(3)和(5)式,

      ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))≤ψ(d(ɡxn+1,ɡxn+2,a))-φ(d(ɡxn+1,ɡxn+2,a)).

      此時(shí)結(jié)果出現(xiàn)矛盾,故假設(shè)不成立,即

      d(ɡxn,ɡxn+1,a)≥d(ɡxn+1,ɡxn+2,a),n=0,1,2,….

      (8)

      由(8)式可以看出,序列{d(ɡxn,ɡxn+1,a)}是單調(diào)遞減的非負(fù)實(shí)數(shù)列,因此?δ≥0,使得

      (9)

      根據(jù)(3),(7)和(8)式,

      ψ(d(ɡxn+1ɡxn+2,a))≤ψ(d(ɡxn,ɡxn+1,a))-φ(d(ɡxn,ɡxn+1,a)).

      (10)

      如果δ>0,在(10)式兩邊令n→∞,同時(shí)由ψ和φ的性質(zhì)可得

      ψ(δ)≤ψ(δ)-φ(δ)<ψ(δ).

      矛盾.于是證得δ=0,即

      (11)

      接下來(lái)證明

      (12)

      若不然,由引理1知必存在某個(gè)a0∈X,某個(gè)ε0>0以及正整數(shù)列{mi},{ni},使得:

      (ⅰ)mi>ni+1,ni→∞(i→∞);

      (ⅱ)d(ɡxni,ɡxmi,a0)≥ε0,d(ɡxni,ɡxmi-1,a0)<ε0,i=1,2,3,….

      由三角形面積不等式和假設(shè)(Ⅱ)得

      d(ɡxni,ɡxmi,a0)≤d(ɡxni,ɡxmi,ɡxni+1)+d(ɡxni,ɡxni+1,a0)+d(ɡxni+1,ɡxmi,a0).

      在上式兩邊令i→∞,并由(11)式和假設(shè)(Ⅱ)得

      (13)

      再由不等式關(guān)系得

      d(ɡxmi-1,ɡxni+1,a0)≤d(ɡxmi-1,ɡxni+1,ɡxni)+
      d(ɡxmi-1,ɡxni,a0)+d(ɡxni,ɡxni+1,a0),

      d(ɡxni,ɡxmi,a0)≤d(ɡxni,ɡxmi,ɡxmi-1)+
      d(ɡxni,ɡxmi-1,a0)+d(ɡxmi-1,ɡxmi,a0).

      在上面兩個(gè)式子中分別令i→∞,并由(11)式和假設(shè)(Ⅱ)得

      進(jìn)一步整理得

      (14)

      (15)

      由(1)式,

      ψ(d(ɡxni+1,ɡxmi,a0))=ψ(d(Fxni,Fxmi-1,a0))≤
      ψ(M(xni,xmi-1))-φ(M(xni,xmi-1))+Lθ(N(xni,xmi-1)).

      其中

      N(xni,xmi-1)=
      min{d(ɡxni,Fxni,a0),d(ɡxmi-1,Fxmi-1,a0),d(ɡxni,Fxmi-1,a0),d(ɡxmi-1,Fxni,a0)}=
      min{d(ɡxni,ɡxni+1,a0),d(ɡxmi-1,ɡxmi-1,a0),d(ɡxni,ɡxmi,a0),d(ɡxmi-1,ɡxni+1,a0)}.

      將上式兩邊令i→∞,并由(11),(13)—(15)式和假設(shè)(Ⅱ)得

      ψ(ε0)≤ψ(ε0)-φ(ε0)<ψ(ε0).

      矛盾,從而(12)式成立.

      又因?yàn)楱?X)是完備的,于是?x∈X,滿足

      (16)

      再由(1)式,

      ψ(d(Fx,ɡxn+1,a))=ψ(d(Fx,Fxn,a))≤ψ(M(x,xn))-φ(M(x,xn))+Lθ(N(x,xn)).

      其中

      N(x,xn)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡxn,Fxn,a),d(ɡx,Fxn,a),d(ɡxn,Fx,a)}=
      min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡxn,ɡxn+1,a),d(ɡx,ɡxn+1,a),d(ɡxn,Fx,a)}.

      將上式兩邊令n→∞,并由(11)式和注1得

      由ψ和φ的性質(zhì)可得d(Fx,ɡx,a)=0,進(jìn)而ɡx=Fx.由此可知x是ɡ和F的重合點(diǎn).

      現(xiàn)證ɡ和F的重合點(diǎn)唯一.

      事實(shí)上,假設(shè)?x*∈X,x*≠x,使得ɡx*=Fx*.由(1)式可得

      ψ(d(ɡx,ɡx*,a))=ψ(d(Fx,Fx*,a))≤ψ(M(x,x*))-φ(M(x,x*))+Lθ(N(x,x*)).

      (17)

      其中

      (18)

      N(x,x*)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡx*,Fx*,a),d(ɡx,Fx*,a),d(ɡx*,Fx,a)}=
      min{d(ɡx,ɡx,a),d(ɡx*,ɡx*,a),d(ɡx,ɡx*,a),d(ɡx*,ɡx,a)}=0.

      (19)

      將(18)和(19)式代入(17)式可得

      ψ(d(ɡx,ɡx*,a))≤ψ(d(ɡx,ɡx*,a))-φ(d(ɡx,ɡx*,a)).

      由ψ和φ的性質(zhì)可知d(ɡx,ɡx*,a)=0,從而ɡx=ɡx*.即證得ɡ和F的重合點(diǎn)唯一.

      令μ=ɡx=Fx,則Fμ=F(ɡx)=ɡ(Fx)=ɡμ.從而μ也為ɡ和F的重合點(diǎn),由ɡ和F的重合點(diǎn)的唯一性,可得ɡμ=Fμ=ɡx=Fx=μ,即ɡμ=Fμ=μ.從而可得μ是ɡ和F的公共不動(dòng)點(diǎn),證畢.

      推論1設(shè)(X,?)是完備2-距離空間(X,d)上的偏序集且X是完備的.映象F:X→X,實(shí)數(shù)L≥0,且?x,y,a∈X,滿足

      ψ(d(Fx,Fy,a))≤ψ(M(x,y))-φ(M(x,y))+Lθ(N(x,y)),

      其中

      N(x,y)=min{d(x,Fx,a),d(y,Fy,a),d(x,Fy,a),d(y,Fx,a)}.

      則F在X中有不動(dòng)點(diǎn).

      證明令定理1中的自映象ɡ為恒等映象I,即可證得結(jié)論.

      推論2設(shè)(X,?)是2-距離空間(X,d)上的偏序集.ɡ:X→X為X上的自映象,映象F:X→X是ɡ-不減的,且與ɡ在重合點(diǎn)處可交換.?x0∈X使得ɡx0?Fx0,對(duì)于?x,y,a∈X,滿足

      如果F(x)?ɡ(X),且ɡ(X)是完備的,則ɡ和F在X中有公共不動(dòng)點(diǎn).

      3 在積分方程中的應(yīng)用

      令X=C[I]為所有I=[0,1]上的連續(xù)函數(shù)全體,受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā),考慮積分方程在X中是否存在解

      (20)

      這里函數(shù)T:I×X→R.首先,定義偏序關(guān)系:

      x?y?x(t)≤y(t),?t∈I.

      假設(shè):

      (ⅰ)h:I→R,k:I×I→R,t∈I為連續(xù)函數(shù);

      (ⅲ) 對(duì)于?x,y,a∈X,如果x?y,那么有

      令d:X×X×X→[0,+∞),

      容易看出(X,?,d)是偏序2-距離空間.

      x0?x1?x2?…?xn?xn+1?…,

      且{xn}收斂于一點(diǎn)u∈X,即xn?u,?n∈N,則方程(20)在X中有解.

      證明定義函數(shù)F,ɡ:X→X分別為

      ɡx=x(t),?x∈X,t∈I.

      由條件(ⅱ)得

      ɡx(t)?ɡy(t)?Fx(t)?Fy(t),?x,y∈X,t∈I.

      由條件(ⅳ),ɡx0?Fx0.又由條件(ⅲ)可知?x,y,a∈X,且x?y,F(xiàn)x?Fy.

      進(jìn)一步有

      其中

      N(x,y)=min{d(ɡx,Fx,a),d(ɡy,Fy,a),d(ɡx,Fy,a),d(ɡy,Fx,a)}.

      綜上,定理1中的所有條件都滿足,于是?x∈X,使得Fx(t)=x(t),即方程(20)在X中有唯一解.

      [參考文獻(xiàn)]

      [2]ISЁKI K.Fixed point theorems in 2-meric spaces[J].Math Seminar Notes Kobe Univ,1975,3(1):133-136.

      [3]DUNG N V,LE HANG V T.Fixed point theorems for weak C-contractions in partially ordered 2-metric spaces[J].Fixed Point Theory and Applications,2013,161(1):1-12.

      [4]LAHIRI B K,DAS P,DEY L K.Cantor’s theorem in 2-metric spaces and its applications to fixed point problems[J].Taiwan J Math,2011,15(1):337-352.

      [5]ALIOUCHE A,SIMPSON C.Fixed points and lines in 2-metric spaces[J].Adv Math,2012,229(1):668-690.

      [6]CONSTANTIN A.Common fixed points of weakly commuting mappings in 2-metric spaces[J].Math Japon,1991,36(3):507-514.

      [7]LIU Z Q,ZHANG F R.Characterizations of common fixed points in 2-metric space[J].Rostock Math Kolloq,2001,55(1):49-64.

      [8]DUBEY R P.Some fixed point theorems on expansion mappings in 2-metric spaces[J].Pure Appl Math Sci,1990,32(1):33-37.

      [9]張石生.不動(dòng)點(diǎn)理論及其應(yīng)用[M].重慶:重慶出版社,1984:350-412.

      [10]BHASKAR T G,LAKSHMIKANTHAM V.Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications[J].Nonlinear Anal,2006,65(7):1379-1393.

      [12]谷峰,高偉,田巍.不動(dòng)點(diǎn)定理與非線性算子迭代序列的收斂性[M].哈爾濱:黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社,2002:75-93.

      猜你喜歡
      偏序不動(dòng)點(diǎn)重合
      一類抽象二元非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)的存在性與唯一性
      活用“不動(dòng)點(diǎn)”解決幾類數(shù)學(xué)問(wèn)題
      基于有限辛空間的一致偏序集和Leonard對(duì)
      相對(duì)連續(xù)偏序集及其應(yīng)用
      電力系統(tǒng)單回線自適應(yīng)重合閘的研究
      電子制作(2017年10期)2017-04-18 07:23:07
      可消偏序半群的可消偏序擴(kuò)張與商序同態(tài)
      考慮暫態(tài)穩(wěn)定優(yōu)化的自適應(yīng)重合閘方法
      不動(dòng)點(diǎn)集HP1(2m)∪HP2(2m)∪HP(2n+1) 的對(duì)合
      偏序群S上S-偏序系的內(nèi)射包*
      一類非錐映射減算子的不動(dòng)點(diǎn)定理及應(yīng)用
      裕民县| 柘城县| 博爱县| 论坛| 云和县| 双江| 嘉善县| 安庆市| 芜湖县| 腾冲县| 绥芬河市| 庆安县| 会宁县| 大冶市| 上思县| 绥宁县| 威信县| 巧家县| 长春市| 泉州市| 南乐县| 景德镇市| 武陟县| 张家界市| 嘉祥县| 章丘市| 五大连池市| 霍州市| 南木林县| 江西省| 上杭县| 神池县| 盐源县| 河源市| 陇川县| 梁平县| 正镶白旗| 乌鲁木齐市| 阿克| 太原市| 乌什县|